成都外國語學校高2013級2011—2012學年度下期期中考試
高二數(shù)學試卷

一、：(共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。)
1.復數(shù) 的實部與虛部之和為 （ ）
A．0 B． C． 1 D． 2
2．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 ，方差是 ，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上 ，得到
一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（ 　）
A． B． C． D．
3、滿足 的復數(shù) 的對應點的軌跡是(　 　)
A．1個圓 B．線段 C．2個點 D．2個圓
4. 已知 、 為實數(shù)，則 是 的（ ）
　 A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5、若點 在以點 為焦點的拋物線 （ 為參數(shù)）上，則 等于( )
A． B． C． D．
6．已知點 的極坐標是 ，則過點 且垂直極軸的直線方程是 （ ）
A． B． C． D．
7. 下列命題中真命題為（　 　�。�
A． ，使 　 B． ，
C． D． ，
8. 甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個數(shù)字,記為 ,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為 ,其中 ,若 ,就稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這 個游戲,則他們“心有靈犀”的概率為 ( )
A． B． C． D．
9. 設(shè) ，函數(shù) 的導函數(shù)是 ，且 是奇函數(shù)，若曲線y = f(x)的某一切線斜率是 ，則切點的橫坐標是（ ）
A． ln2 B．?ln2 C． D．

10．在一次商貿(mào)交易會上，商家在柜臺開展促銷抽獎活動，甲、乙兩人相約同一天上午去該柜臺參與抽獎. 若甲計劃在9：00～9：40之間趕到，乙計劃在9：20～10：00之間趕到，則甲比乙提前到達的概率為（ ）
A． B． C． D．
11. 函數(shù) （b、c、d為常數(shù)），已知當 或 時 只有一個實根，當 時， 有三個相異實根，現(xiàn)給出下面命題： ① 和 有一個相同實數(shù)根
② 和 有一個相同的實根
③ 的任一根大于 的任一根
④ 的任一根小于 的任一根.
其中錯誤命題的個數(shù)是 （ ）
A． 4 B．3 C． 2 D．1
12、（）已知函數(shù) ，方程 的實根個數(shù)為 ( )
A．2 B．4 C． 5 D． 6
（理）已知函數(shù) ，方程 有四個實數(shù)根，則 的取值范圍為( )
A． B． C． D．
二、題（共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在試題的橫線上）
13．抽取 輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖
如右圖所示，估計此200輛汽車的平均時速為 .

14.在直角坐標系中，曲線 的參數(shù)方程為 ，以原點為極點，以 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 在極坐標系中的方程為 ．若曲線 與 有兩個不同的交點，則實數(shù) 的取值范圍是 ．
15、設(shè)有一個邊長為1的正三角形，設(shè)為A1，將A1的每邊三等分，在中間的線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后得到的圖形記為A2，將A2的每邊三等分，再重復上述過程，得到圖形A3，再重復上述過程，得到圖形A4，則A4的周長是_________________。

16.下列說法,其中正確命題的序號為___ ________．
①.若函數(shù) 在 處上有極大值，則實數(shù) 或6
②.對于R上可導的任意函數(shù) ，若滿足 ，則必有
③.若函數(shù) 在 上有最大值，則實數(shù) 的取值范圍為
④.已知函數(shù) 是定義在R上的奇函數(shù), , ,則不等式 的解集是
三、解答題（6個小題，共74分，解答應寫出字說明、證明過程或演算步驟）
17. （本小題滿分12分）為了了解某工廠開展群眾體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B,C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調(diào)查，已知A,B，C區(qū)中分別有18，27，18個工廠
（Ⅰ）求從A,B,C區(qū)中分別抽取的工廠個數(shù)；
（Ⅱ）若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調(diào)查結(jié)果的對比，求這2個
工廠中至少有1個自A區(qū)的概率。

18.（本題滿分12分）設(shè)命題p：函數(shù) 是R上的減函數(shù)，命題q：函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3在 上的值域為[－1,3]，若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求 的取值范圍．
19、（本題滿分12分）已知直線 的參數(shù)方程為： （t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為： ．
（1）求直線 被曲線C截得的弦長，
（2）若直線 與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的中點坐標.

20. （本題滿分12分）設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù),其圖象在點 處的切線與直線 垂直,導函數(shù) 的最小值為 .
(1)求 , , 的值;
（2）若 時， 恒成立，求 的范圍;
(3)設(shè) ,當 時,求 的最小值.

21. (本題滿分12分）已知橢圓 ，過中心O作互相垂直的線段OA、OB與橢圓交于A、B,
求： （1） 的值
（2）判定直線AB與圓 的位置關(guān)系
（科）（3）求 面積的最小值
（理科）（3）求 面積的最大值

22. (本題滿分14分)已知函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2)若 恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
（科(3)證明: .
（理科(3)證明: .

成都外國語學校高2013級2011—2012學年度高二下期期中考試
數(shù)學試卷(答案)

命題人：杜仕彪 審題人：方蘭英

一、：(共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。)
1.復數(shù) 的實部與虛部之和為 （ ）C
A．0 B． C． 1 D. 2
2．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 ，方差是 ，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上 ，得到
一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（ �。� D
A． B． C． D．
3、滿足 的復數(shù) 的對應點的軌跡是(　 　)A
A．1個圓 B．線段 C．2個點 D．2個圓
4. 已知 、 為實數(shù)，則 是 的（ ）B
　 A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5、若點 在以點 為焦點的拋物線 （ 為參數(shù)）上，則 等于( )C
A． B． C． D．
6．已知點 的極坐標是 ，則過點 且垂直極軸的直線方程是 （ ）C
A． B． C． D．
7. 下列命題中真命題為（　 　�。〣
A． ，使 　 B． ，
C． D． ，
8. 甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個數(shù)字,記為 ,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為 ,其中 ,若 ,就稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這 個游戲,則他們“心有靈犀”的概率為 ( ) D
A． B． C． D．
9. 設(shè) ，函數(shù) 的導函數(shù)是 ，且 是奇函數(shù)，若曲線y = f(x)的某一切線斜率是 ，則切點的橫坐標是（ ）A
A． ln2 B．?ln2 C． D．

10．在一次商貿(mào)交易會上，商家在柜臺開展促銷抽獎活動，甲、乙兩人相約同一天上午去該柜臺參與抽獎. 若甲計劃在9：00～9：40之間趕到，乙計劃在9：20～10：00之間趕到，則甲比乙提前到達的概率為（ ）B
A． B． C． D．
11. 函數(shù) （b、c、d為常數(shù)），已知當 或 時 只有一個實根，當 時， 有三個相異實根，現(xiàn)給出下面命題： ① 和 有一個相同實數(shù)根
② 和 有一個相同的實根
③ 的任一根大于 的任一根
④ 的任一根小于 的任一根.
其中錯誤命題的個數(shù)是 （ ）D
A． 4 B．3 C． 2 D．1
12、（）已知函數(shù) ，方程 的實根個數(shù)為 ( ) A
A．2 B．4 C． 5 D． 6
（理）已知函數(shù) ，方程 有四個實數(shù)根，則 的取值范圍為( ) C
A． B． C． D．
二、題（共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在試題的橫線上）
13．抽取 輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖
如右圖所示，估計此200輛汽車的平均時速為 . 62

14.在直角坐標系中，曲線 的參數(shù)方程為 ，以 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 在極坐標系中的方程為 ．若曲線 與 有兩個不同的交點，則實數(shù) 的取值范圍是 ．
15、設(shè)有一個邊長為1的正三角形，設(shè)為A1，將A1的每邊三等分，在中間的線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后得到的圖形記為A2，將A2的每邊三等分，再重復上述過程，得到圖形A3，再重復上述過程，得到圖形A4，則A4的周長是_________________。

16.下列說法,其中正確命題的序號為___ ________． ④
①.若函數(shù) 在 處上有極大值，則實數(shù) 或6
②. 對于R上可導的任意函數(shù) ，若滿足 ，則必有
③. 若函數(shù) 在 上有最大值，則實數(shù) 的取值范圍為
④. 已知函數(shù) 是定義在R上的奇函數(shù), , ,則不等式 的解集是
三、解答題（6個小題，共74分，解答應寫出字說明、證明過程或演算步驟）

17. （本小題滿分12分）為了了解某工廠開展群眾體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B,C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調(diào)查，已知A,B，C區(qū)中分別有18，27，18個工廠
（Ⅰ）求從A,B,C區(qū)中分別抽取的工廠個數(shù)；
（Ⅱ）若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調(diào)查結(jié)果的對比，求這2個
工廠中至少有1個自A區(qū)的概率。
解 （1）工廠總數(shù)為18+27+18=63，樣本容量與總體中的個體數(shù)比為 ，所以從
A,B,C三個區(qū)中應分別抽取的工廠個數(shù)為2，3，2.
（2）設(shè) 為在A區(qū)中抽得的2個工廠， 為在B區(qū)中抽得的3個工廠，
為在C區(qū)中抽得的2個工廠，這7個工廠中隨機的抽取2個，全部的可能結(jié)果
有： 種，隨機的抽取的2個工廠至少有一個自A區(qū)的結(jié)果有 ，
,同理 還能組合5種，一共有11種.
所以所求的概率為
18.（本題滿分12分）設(shè)命題p：函數(shù) 是R上的減函數(shù)，命題q：函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3在 上的值域為[－1,3]，若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求 的取值范圍．
18. 解：由0<a－32<1得32<a<52，
∵f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域為[－1,3]，則2≤a≤4，
∵p且q為假，p或q為真， ∴p、q為一真一假，
若p真q假，得32<a<2; 若p假q真，得52≤a≤4.
綜上可知，a的取值范圍是32，2或52，4.
19、（本題滿分12分）已知直線 的參數(shù)方程為： （t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為： ．
（1）求直線 被曲線C截得的弦長，
（2）若直線 與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的中點坐標.
19．（1）由曲線
得 化成普通方程 ① 5分
（2）方法一：把直線參數(shù)方程化為標準參數(shù)方程
（ 為參數(shù)） ②把②代入①
整理，得 設(shè)其兩根為 ，則 8分
從而弦長為 10分
（2）由（1）當（*）中 時為中點，中點為
20. （本題滿分12分）設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù),其圖象在點 處的切線與直線 垂直,導函數(shù) 的最小值為 .
(1)求 , , 的值;
（2）若 時， 恒成立，求 的范圍;
(3)設(shè) ,當 時,求 的最小值.
20.解:(1)∵ 為奇函數(shù),∴ ,即 ,
∴ ,又∵ 的最小值為 ,∴ ;
又直線 的斜率為 ,因此, , ∴ ,
∴ , , 為所求.
(2) 在 上的最大是32，
(3)由(1)得 ,∴當 時, ,
∴ 的最小值為 .
21. (本題滿分12分）已知橢圓 ，過中心O作互相垂直的線段OA、OB與橢圓交于A、B,
求： （1） 的值
（2）判定直線AB與圓 的位置關(guān)系 相交
（科）（3）求 面積的最小值
（理科）（3）求 面積的最大值

22. (14分)已知函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2)若 恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
（科）(3) 利用（2）的結(jié)論， 證明: .
（理科） (3) 利用（2）的結(jié)論，證明: .
20. (1) 的定義域為 , ,………1分
當 時,函數(shù) 的遞增區(qū)間為 ,………2分
當 時，函數(shù) 的遞增區(qū)間為 ,減區(qū)間為 .………4分
(2)由 得 ,………5分
令 ,則 ………6分
當 時 ,函數(shù)遞增；當 時 ,函數(shù)遞減�！�……8分
， ………10分
(3)由(1)可知若 ，當 時有 ,………11分
即有 ，即 ,即有 (x>1), ………12
（）令 ，則 , ,………14
(理)令 ，則 , ,………13分
= (n>1)

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