北師大七年級下數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對稱單元測試題(帶答案)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 七年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對稱單元測試題

一.選擇題(共 10 小題)
1.如圖,OP 為∠AOB 的角平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是 C、D,則下列結(jié)論 錯(cuò)誤的是( )


 
A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
2.如圖,在△ABC 中,AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于 E,D 兩點(diǎn),EC=4,△ABC
的周長為 23,則△ABD 的周長為( )
A.13 B.15 C.17 D.19
3.如圖,在△ABC 中,DE 是 AC 的垂直平分線,△ABC 的周長為 19cm,△ABD 的周長 為 13cm,則 AE 的長為( )
A.3cm B.6cm C.12cm D.16cm

4.如圖所示,線段 AC 的垂直平分線交線段 AB 于點(diǎn) D,∠A=50°,則∠BDC=( )

A.50° B.100° C.120° D.130°
 ACE 的平 分線相交于點(diǎn) D,則∠D 的度數(shù)為( )
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°

6.一個(gè)等腰三角形一邊長為 4cm,另一邊長為 5cm,那么這個(gè)等腰三角形的周長是( )
A.13cm B.14cm C.13cm 或 14cm D.以上都不對
7.下列圖形中不是軸對稱圖形的是( )

A.   B.     C.     D.

8.如圖,把一張矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊后,點(diǎn) A 落在 CD 邊上的點(diǎn) A′處,點(diǎn) B 落在點(diǎn)

B′處,若∠2=40°,則圖中∠1 的度數(shù)為( )

A.115° B.120° C.130° D.140°
 
9.如圖,D 是直角△ABC 斜邊 BC 上一點(diǎn),AB=AD,記∠CAD=α,∠ABC=β.若α=10°, 則β的度數(shù)是( )
A.40° B.50° C.60° D.不能確定

10.如圖,∠B=∠C,∠1=∠3,則∠1 與∠2 之間的關(guān)系是( )

A.∠1=2∠2 B.3∠1?∠2=180° C.∠1+3∠2=180° D.2∠1+∠2=180°

二.填空題(共 10 小題)
11.如圖,OP 為∠AOB 的平分線,PC⊥OB 于點(diǎn) C,且 PC=3,點(diǎn) P 到 OA 的距離為  .
 


第 11 題圖 第 12 題圖 第 13 題圖
12.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 48°,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為  .

13.如圖,在△ABC 中,AB=AC=6,AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E,交 BC 于點(diǎn) D,連接
AD,若 AD=4,則 DC=  .
14.如圖,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分線,DE⊥AB 于點(diǎn) E,S△ABC=7,DE=2,AB=4, 則 AC 的長是  .
15.如圖所示,已知△ABC 的周長是 20,OB、OC 分別平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC 于
D,且 OD=3,則△ABC 的面積是  .
 

16.如圖,△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于點(diǎn) D.已知 BD:CD=3:2,點(diǎn)

D 到 AB 的距離是 6,則 BC 的長是  .
 
17.如圖,△ABC 中,∠A=80°,∠B=40°,BC 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D,連結(jié) DC,如 果 AD=3,BD=8,那么△ADC 的周長為  .
18.如圖,∠AOB 是一角度為 10°的鋼架,要使鋼架更加牢固,需在其內(nèi)部添加一些鋼管:

EF、FG、GH…,且 OE=EF=FG=GH…,在 OA、OB 足夠長的情況下,最多能添加這樣的 鋼管的根數(shù)為  .
 
 

19.已知:如圖,△ABC 中,BO,CO 分別是∠ABC 和∠ACB 的平分線,過 O 點(diǎn)的直線 分別交 AB、AC 于點(diǎn) D、E,且 DE∥BC.若 AB=6cm,AC=8cm,則△ADE 的周長為  .

20.如圖,四邊形 ABCD 中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在 BC、CD 上分別找一點(diǎn) M、

N,使△AMN 周長最小時(shí),則∠AMN+∠ANM 的度數(shù)為  . 三.解答題(共 10 小題)
21.如圖,在△ABC 中,∠ACB=90 ?,BE 平分∠ABC,交 AC 于 E,DE 垂直平分 AB 于
D,求證:BE+DE=AC.

22.如圖,在△ABC 中,AB=AC,點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn),DE、DF 分別垂直 AB、AC 于 點(diǎn) E 和 F.求證:DE=DF.
 
 
23.如圖,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,BD 是∠ABC 的平分線,求∠BDC 的度數(shù).

24.如圖,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 邊上的中線,AE⊥BE 于點(diǎn) E,且 BE= . 求證:AB 平分∠EAD.
 
 

25.如圖,△ABC 是等邊三角形,BD 平分∠ABC,延長 BC 到 E,使得 CE=CD. 求證:BD=DE.
 
 
26.如圖,在△ABC 中,DM、EN 分別垂直平分 AC 和 BC,交 AB 于 M、N 兩點(diǎn),DM 與
EN 相交于點(diǎn) F.
(1)若△CMN 的周長為 15cm,求 AB 的長;

(2)若∠MFN=70°,求∠MCN 的度數(shù).


 
27.如圖,在△ABC 中,AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D,交 AC 于點(diǎn) E,且 AC=15cm,
△BCE 的周長等于 25cm.

(1)求 BC 的長;(2)若∠A=36°,并且 AB=AC.求證:BC=BE

28.已知點(diǎn) D、E 在△ABC 的 BC 邊上,AD=AE,BD=CE,為了判斷∠B 與∠C 的大小關(guān) 系,請你填空完成下面的推理過程,并在空白括號(hào)內(nèi),注明推理的根據(jù).
解:作 AM⊥BC,垂足為 M
∵AD=AE,
∴△ADE 是  三角形,
∴DM=EM (  ) 又∵BD=CE,
∴BD+DM=  ,即 BM=  ; 又∵  (自己所作),
∴AM 是線段  的垂直平分線;
∴AB=AC (  )
∴  .
 
29.電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔 P,按照設(shè)計(jì)要求,發(fā)射塔 P 到兩城鎮(zhèn) A、B 的距 離必須相等,到兩條高速公路 m 和 n 的距離也必須相等.請?jiān)趫D中作出發(fā)射塔 P 的位置.(尺 規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
 
 
 
30.以點(diǎn) A 為頂點(diǎn)作兩個(gè)等腰直角三角形(△ABC,△ADE),如圖 1 所示放置,使得一直 角邊重合,連接 BD,CE.
(1)說明 BD=CE;
(2)延長 BD,交 CE 于點(diǎn) F,求∠BFC 的度數(shù);
(3)若如圖 2 放置,上面的結(jié)論還成立嗎?請簡單說明理由.
 

北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)第五章生活中的軸對稱單元測

試題

參考答案與試題解析


一.選擇題(共 10 小題)

1.(2018•懷化)如圖,OP 為∠AOB 的角平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是 C、D, 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )


A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出 PC=PD,再利用 HL 證明△OCP≌△ODP,根據(jù)全等 三角形的性質(zhì)得出∠CPO=∠DPO,OC=OD.
【解答】解:∵OP 為∠AOB 的角平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是 C、D,
∴PC=PD,故 A 正確;
在 Rt△OCP 與 Rt△ODP 中,

,

∴△OCP≌△ODP,
∴∠CPO=∠DPO,OC=OD,故 C、D 正確. 不能得出∠CPD=∠DOP,故 B 錯(cuò)誤.
故選 B.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了 全等三角形的判定與性質(zhì),得出 PC=PD 是解題的關(guān)鍵.


2.(2018•天門)如圖,在△ABC 中,AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于 E,D 兩點(diǎn),EC=4,

△ABC 的周長為 23,則△ABD 的周長為( )


A.13 B.15 C.17 D.19
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AD=DC,AE=CE=4,求出 AC=8,AB+BC=15,求 出△ABD 的周長為 AB+BC,代入求出即可.
【解答】解:∵AC 的垂直平分線分別交 AC、BC 于 E,D 兩點(diǎn),
 
∴AD=DC,AE=CE=4, 即 AC=8,
∵△ABC 的周長為 23,
∴AB+BC+AC=23,
∴AB+BC=23?8=15,
∴△ABD 的周長為 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15, 故選 B.
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用,能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是 解此題的關(guān)鍵,注意:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.


3.(2018•恩施州)如圖,在△ABC 中,DE 是 AC 的垂直平分線,△ABC 的周長為 19cm,

△ABD 的周長為 13cm,則 AE 的長為( )


A.3cm  B.6cm  C.12cm D.16cm
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AD=DC,AE=CE= AC,求出 AB+BC+AC=19cm,
AB+BD+AD=AB+BC=13cm,即可求出 AC,即可得出答案.
【解答】解:∵DE 是 AC 的垂直平分線,
∴AD=DC,AE=CE= AC,
∵△ABC 的周長為 19cm,△ABD 的周長為 13cm,
∴AB+BC+AC=19cm,AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm,
∴AC=6cm,
∴AE=3cm, 故選 A.
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用,能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是 解此題的關(guān)鍵,注意:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.


4.(2018•黃石)如圖所示,線段 AC 的垂直平分線交線段 AB 于點(diǎn) D,∠A=50°,則∠BDC=

( )

 

A.50° B.100° C.120° D.130°
 
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到 DA=DC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCA=∠A, 根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可.
【解答】解:∵DE 是線段 AC 的垂直平分線,
∴DA=DC,

∴∠DCA=∠A=50°,

∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°, 故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì),掌握線段的垂直平分
線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.


5.(2018•棗莊)如圖,在△ABC 中,AB=AC,∠A=30°,E 為 BC 延長線上一點(diǎn),∠ABC

與∠ACE 的平分線相交于點(diǎn) D,則∠D 的度數(shù)為( )
 

A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°

【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2,∠3=∠4,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1+∠
2=∠3+∠4+∠A,∠1=∠3+∠D,則 2∠1=2∠3+∠A,利用等式的性質(zhì)得到∠D= ∠A,然 后把∠A 的度數(shù)代入計(jì)算即可.
【解答】解:∵∠ABC 的平分線與∠ACE 的平分線交于點(diǎn) D,

∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ACE=∠A+∠ABC, 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,
∴2∠1=2∠3+∠A,
∵∠1=∠3+∠D,
∴∠D= ∠A= ×30°=15°. 故選 A.
 
【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是 180°和三角形外角性質(zhì) 進(jìn)行分析.


6.(2018•湘西州)一個(gè)等腰三角形一邊長為 4cm,另一邊長為 5cm,那么這個(gè)等腰三角形 的周長是( )
A.13cmB.14cm C.13cm 或 14cm D.以上都不對
【分析】分 4cm 為等腰三角形的腰和 5cm 為等腰三角形的腰,先判斷符合不符合三邊關(guān)系, 再求出周長.
【解答】解:當(dāng) 4cm 為等腰三角形的腰時(shí), 三角形的三邊分別是 4cm,4cm,5cm 符合三角形的三邊關(guān)系,
∴周長為 13cm;
當(dāng) 5cm 為等腰三角形的腰時(shí), 三邊分別是,5cm,5cm,4cm,符合三角形的三邊關(guān)系,
∴周長為 14cm, 故選 C
【點(diǎn)評】此題是等腰三角形的性質(zhì)題,主要考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系, 分類考慮是解本題的關(guān)鍵.


7.(2018•瀘州)下列圖形中不是軸對稱圖形的是( )

A.   B.     C.     D.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.
【解答】解:根據(jù)軸對稱圖形的概念可知:A,B,D 是軸對稱圖形,C 不是軸對稱圖形, 故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念:軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分沿對 稱軸折疊后可重合.


8.(2018•聊城)如圖,把一張矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊后,點(diǎn) A 落在 CD 邊上的點(diǎn) A′

處,點(diǎn) B 落在點(diǎn) B′處,若∠2=40°,則圖中∠1 的度數(shù)為( )

 

A.115° B.120° C.130° D.140°
 
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出∠BFE=∠EFB',∠B'=∠B=90°,根據(jù)三角形內(nèi) 角和定理求出∠CFB'=50°,進(jìn)而解答即可.
【解答】解:∵把一張矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊后,點(diǎn) A 落在 CD 邊上的點(diǎn) A′處,點(diǎn) B

落在點(diǎn) B′處,

∴∠BFE=∠EFB',∠B'=∠B=90°,

∵∠2=40°,

∴∠CFB'=50°,

∴∠1+∠EFB'?∠CFB'=180°, 即∠1+∠1?50°=180°, 解得:∠1=115°,
故選 A.
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用,能綜合運(yùn)用性 質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵,注意:折疊后的兩個(gè)圖形全等.


9.(2018•莊河市自主招生)如圖,D 是直角△ABC 斜邊 BC 上一點(diǎn),AB=AD,記∠CAD=α,

∠ABC=β.若α=10°,則β的度數(shù)是( )

 

A.40° B.50° C.60° D.不能確定

【分析】根據(jù) AB=AD,可得出∠B=∠ADB,再由∠ADB=α+∠C,可得出∠C=β?10°,再 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出β即可.
【解答】解:∵AB=AD,
∴∠B=∠ADB,

∵α=10°,∠ADB=α+∠C,
 
∴∠C=β?10°,

∵∠BAC=90°,

∴∠B+∠C=90°, 即β+β?10°=90°, 解得β=50°,
故選 B.
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì),是基 礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.


10.(2018•孝感模擬)如圖,∠B=∠C,∠1=∠3,則∠1  與∠2 之間的關(guān)系是(   )

 

A.∠1=2∠2 B.3∠1?∠2=180°    C.∠1+3∠2=180°      D.2∠1+∠2=180°

【分析】由已知條件∠B=∠C,∠1=∠3,在△ABD 中,由∠1+∠B+∠3=180°,可推出結(jié)論.

【解答】解:∵∠1=∠3,∠B=∠C,∠1+∠B+∠3=180°,

∴2∠1+∠C=180°,

∴2∠1+∠1?∠2=180°,

∴3∠1?∠2=180°. 故選 B.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用.


二.填空題(共 10 小題)

11.(2018•常德)如圖,OP 為∠AOB 的平分線,PC⊥OB 于點(diǎn) C,且 PC=3,點(diǎn) P 到 OA

的距離為  3  .
 
 
【分析】過 P 作 PD⊥OA 于 D,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得 PD=PC, 從而得解.
【解答】解:如圖,過 P 作 PD⊥OA 于 D,
∵OP 為∠AOB 的平分線,PC⊥OB,
∴PD=PC,
∵PC=3,
∴PD=3. 故答案為:3.
 

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.


12.(2018•通遼)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 48°,則該等腰三角形的底角的 度數(shù)為  69°或 21°   .
【分析】分兩種情況討論:①若∠A<90°;②若∠A>90°;先求出頂角∠BAC,再利用三角 形內(nèi)角和定理即可求出底角的度數(shù).
【解答】解:分兩種情況討論:

①若∠A<90°,如圖 1 所示:

∵BD⊥AC,

∴∠A+∠ABD=90°,

∵∠ABD=48°,

∴∠A=90°?48°=42°,

∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C= (180°?42°)=69°;

②若∠A>90°,如圖 2 所示: 同①可得:∠DAB=90°?48°=42°,
∴∠BAC=180°?42°=138°,

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠C=   (180°?138°)=21°;
 
綜上所述:等腰三角形底角的度數(shù)為 69°或 21°. 故答案為:69°或 21°.


【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補(bǔ)角的定義;注意分類討論方法的運(yùn)用, 避免漏解.


13.(2018•牡丹江)如圖,在△ABC 中,AB=AC=6,AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E,交

BC 于點(diǎn) D,連接 AD,若 AD=4,則 DC=  5  .


【分析】過 A 作 AF⊥BC 于 F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 BF=CF= BC,由 AB 的垂直 平分線交 AB 于點(diǎn) E,得到 BD=AD=4,設(shè) DF=x,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解:過 A 作 AF⊥BC 于 F,
∵AB=AC,
∴BF=CF= BC,
∵AB 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) E,
∴BD=AD=4, 設(shè) DF=x,
∴BF=4+x,
∵AF2=AB2?BF2=AD2?DF2, 即 16?x2=36?(4+x)2,
∴x=0.5,
∴DF=0.5,
∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5,
 
故答案為:5.


【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì).此題難度不大,注意掌握 轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.


14.(2018•營口模擬)如圖,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分線,DE⊥AB 于點(diǎn) E,S△ABC=7,
DE=2,AB=4,則 AC 的長是  3  .


【分析】過點(diǎn) D 作 DF⊥AC 于 F,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得 DE=DF, 再根據(jù) S△ABC=S△ABD+S△ACD 列出方程求解即可.
【解答】解:如圖,過點(diǎn) D 作 DF⊥AC 于 F,
∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分線,DE⊥AB,
∴DE=DF,
由圖可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
×4×2+ ×AC×2=7, 解得 AC=3.
故答案為 3.


【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.


15.(2018•邯鄲二模)如圖所示,已知△ABC 的周長是 20,OB、OC 分別平分∠ABC 和∠

ACB,OD⊥BC 于 D,且 OD=3,則△ABC 的面積是  30  .


 
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn) O 到 AB、AC、BC 的距離都相 等(即 OE=OD=OF),從而可得到△ABC 的面積等于周長的一半乘以 3,代入求出即可.


【解答】解:如圖,連接 OA,過 O 作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,
∵OB、OC 分別平分∠ABC 和∠ACB,
∴OE=OF=OD=3,
∵△ABC 的周長是 22,OD⊥BC 于 D,且 OD=3,
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×(AB+BC+AC)×3
= 20×3=30, 故答案為:30.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),判斷出三角形的面積與
周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.


16.(2018•白云區(qū)校級二模)如圖,△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于點(diǎn) D.已 知 BD:CD=3:2,點(diǎn) D 到 AB 的距離是 6,則 BC 的長是  15  .
 

【分析】作 DE⊥AB 于 E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到 CD=DE,根據(jù)題意求出 BD 的長,計(jì) 算即可.
【解答】解:作 DE⊥AB 于 E,

∵AD 平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,

∴CD=DE=6,又 BD:CD=3:2,
∴BD=9,
∴BC=BD+DC=15, 故答案為:15.


 
【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì),掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解 題的關(guān)鍵.


17.(2018•句容市一模)如圖,△ABC 中,∠A=80°,∠B=40°,BC 的垂直平分線交 AB 于 點(diǎn) D,連結(jié) DC,如果 AD=3,BD=8,那么△ADC 的周長為  19  .
 
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到 DB=DC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的 性質(zhì)證明 CA=CD=DB=8,根據(jù)三角形周長公式計(jì)算即可.
【解答】解:∵BC 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) D,
∴DB=DC,

∴∠DCB=∠B=40°,

∵∠A=80°,∠B=40°,

∴∠ACB=60°,

∴∠ACD=20°,

∴∠ADC=80°,

∴CA=CD=DB=8,
∴△ADC 的周長=AD+AC+CD=19, 故答案為:19.
【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì), 掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.


18.(2018•河北模擬)如圖,∠AOB 是一角度為 10°的鋼架,要使鋼架更加牢固,需在其內(nèi) 部添加一些鋼管:EF、FG、GH…,且 OE=EF=FG=GH…,在 OA、OB 足夠長的情況下,
最多能添加這樣的鋼管的根數(shù)為  8  .

【分析】根據(jù)已知利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì),找出圖中存在的規(guī)律,根據(jù) 規(guī)律及三角形的內(nèi)角和定理不難求解.

【解答】解:∵添加的鋼管長度都與 OE 相等,∠AOB=10°,
 
∴∠GEF=∠FGE=20°,…從圖中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有好幾個(gè)等腰三角形,即第一個(gè)等腰三角形的 底角是 10°,第二個(gè)是 20°,第三個(gè)是 30°,四個(gè)是 40°,五個(gè)是 50°,六個(gè)是 60°,七個(gè)是 70°, 八個(gè)是 80°,九個(gè)是 90°就不存在了.所以一共有 8 個(gè).
故答案為 8.
【點(diǎn)評】此題考查了三角形的內(nèi)角和是 180 度的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性 質(zhì);發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關(guān)鍵.


19.(2018•淮安一模)已知:如圖,△ABC 中,BO,CO 分別是∠ABC 和∠ACB 的平分 線,過 O 點(diǎn)的直線分別交 AB、AC 于點(diǎn) D、E,且 DE∥BC.若 AB=6cm,AC=8cm,則△
ADE 的周長為  14cm  .
 
【分析】兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,以及根據(jù)角平分線性質(zhì),可得△OBD、△EOC 均為等 腰三角形,由此把△AEF 的周長轉(zhuǎn)化為 AC+AB.
【解答】解:∵DE∥BC
∴∠DOB=∠OBC,
又∵BO 是∠ABC 的角平分線,
∴∠DBO=∠OBC,
∴∠DBO=∠DOB,
∴BD=OD, 同理:OE=EC,
∴△ADE 的周長=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm. 故答案是:14cm.
 
【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì),正確證明△OBD、△EOC
均為等腰三角形是關(guān)鍵.


20.(2018•廣東校級一模)如圖,四邊形 ABCD 中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在 BC、

CD 上分別找一點(diǎn) M、N,使△AMN 周長最小時(shí),則∠AMN+∠ANM 的度數(shù)為  100°   .
 
 

【分析】作點(diǎn) A 關(guān)于 BC 的對稱點(diǎn) A′,關(guān)于 CD 的對稱點(diǎn) A″,根據(jù)軸對稱確定最短路線問

題,連接 A′A″與 BC、CD 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) M、N,利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出

∠A′+∠A″,再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得

∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″),然后計(jì)算即可得解.

【解答】解:如圖,作點(diǎn) A 關(guān)于 BC 的對稱點(diǎn) A′,關(guān)于 CD 的對稱點(diǎn) A″, 連接 A′A″與 BC、CD 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) M、N,
∵∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,

∴∠A′+∠A″=180°?∠130°=50°, 由軸對稱的性質(zhì)得:∠A′=∠A′AM,∠A″=∠A″AN,
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)=2×50°=100°. 故答案為:100°.
 
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題,軸對稱的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,三角 形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),確定出點(diǎn) M、N 的位置是解題的關(guān) 鍵,要注意整體思想的利用.

三.解答題(共 10 小題)
 
21.(2018•歷下區(qū)一模)如圖,在△ABC 中,∠ACB=90 ?,BE 平分∠ABC,交 AC 于 E,

DE 垂直平分 AB 于 D, 求證:BE+DE=AC.
【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出 CE=DE,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出 AE=BE,代入
AC=AE+CE 求出即可.

【解答】證明:∵∠ACB=90°,

∴AC⊥BC,
∵ED⊥AB,BE 平分∠ABC,
∴CE=DE,
∵DE 垂直平分 AB,
∴AE=BE,
∵AC=AE+CE,
∴BE+DE=AC.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用,注意:線段垂直平分線上 的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.


22.(2018•歷下區(qū)一模)如圖,在△ABC 中,AB=AC,點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn),DE、DF

分別垂直 AB、AC 于點(diǎn) E 和 F. 求證:DE=DF.
 
【分析】D 是 BC 的中點(diǎn),那么 AD 就是等腰三角形 ABC 底邊上的中線,根據(jù)等腰三角形 三線合一的特性,可知道 AD 也是∠BAC 的角平分線,根據(jù)角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離 相等,那么 DE=DF.
【解答】證明: 證法一:連接 AD.
∵AB=AC,點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)
∴AD 平分∠BAC(三線合一性質(zhì)),
∵DE、DF 分別垂直 AB、AC 于點(diǎn) E 和 F.
∴DE=DF(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等). 證法二:在△ABC 中,
 
∵AB=AC

∴∠B=∠C(等邊對等角) …(1 分)

∵點(diǎn) D 是 BC 邊上的中點(diǎn)

∴BD=DC             …(2 分)

∵DE、DF 分別垂直 AB、AC 于點(diǎn) E 和 F

∴∠BED=∠CFD=90°…(3 分) 在△BED 和△CFD 中
∵ ,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF(全等三角形的對應(yīng)邊相等).

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì);利用等腰三角形三線合 一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.


23.(2018•長春二模)如圖,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,BD 是∠ABC 的平分線, 求∠BDC 的度數(shù).

【分析】首先由 AB=AC,利用等邊對等角和∠A 的度數(shù)求出∠ABC 和∠C 的度數(shù),然后由 BD 是∠ABC 的平分線,利用角平分線的定義求出∠DBC 的度數(shù),再根據(jù)三角形的內(nèi)角和 定理即可求出∠BDC 的度數(shù).

【解答】解:∵AB=AC,∠A=40°,

∴∠ABC=∠C= =70°,
∵BD 是∠ABC 的平分線,

∴∠DBC=   ∠ABC=35°,
 
∴∠BDC=180°?∠DBC?∠C=75°.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),角平分線的定義,三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),解答 本題的關(guān)鍵是正確識(shí)圖,利用等腰三角形的性質(zhì):等邊對等角求出∠ABC 與∠C 的度數(shù).


24.(2018•西城區(qū)一模)如圖,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 邊上的中線,AE⊥BE

于點(diǎn) E,且 BE= . 求證:AB 平分∠EAD.
 
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 BD= BC,AD⊥BC 根據(jù)角平分線的判定定理即可得 到結(jié)論..
【解答】證明:∵AB=AC,AD 是 BC 邊上的中線,
∴BD= BC,AD⊥BC,
∵BE= BC,
∴BD=BE,
∵AE⊥BE,
∴AB 平分∠EAD.
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解 題的關(guān)鍵.


25.(2018•門頭溝區(qū)一模)如圖,△ABC 是等邊三角形,BD 平分∠ABC,延長 BC 到 E, 使得 CE=CD.
求證:BD=DE.

 

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°,再根據(jù)角之間的關(guān) 系求得∠DBC=∠CED,根據(jù)等角對等邊即可得到 DB=DE.
 
【解答】證明:∵△ABC 是等邊三角形,BD 是中線,

∴∠ABC=∠ACB=60°.

∠DBC=30°(等腰三角形三線合一). 又∵CE=CD,
∴∠CDE=∠CED.
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED,
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°.
∴∠DBC=∠DEC.
∴DB=DE(等角對等邊).
【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運(yùn)用;利用三

角形外角的性質(zhì)得到∠CDE=30°是正確解答本題的關(guān)鍵.

 

26.(2018 春•吉州區(qū)期末)如圖,在△ABC 中,DM、EN 分別垂直平分 AC 和 BC,交 AB

于 M、N 兩點(diǎn),DM 與 EN 相交于點(diǎn) F.
(1)若△CMN 的周長為 15cm,求 AB 的長;

(2)若∠MFN=70°,求∠MCN 的度數(shù).


【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得 AM=CM,BN=CN, 然后求出△CMN 的周長=AB;
(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠MNF+∠NMF,再求出∠A+∠B,根據(jù)等邊對等 角可得∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解.
【解答】解:(1)∵DM、EN 分別垂直平分 AC 和 BC,
∴AM=CM,BN=CN,
∴△CMN 的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,
∵△CMN 的周長為 15cm,
∴AB=15cm;


(2)∵∠MFN=70°,

∴∠MNF+∠NMF=180°?70°=110°,
 
∵∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF,

∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°,

∴∠A+∠B=90°?∠AMD+90°?∠BNE=180°?110°=70°,

∵AM=CM,BN=CN,
∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,

∴∠MCN=180°?2(∠A+∠B)=180°?2×70°=40°.

【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),等邊對等角的 性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,(2)整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.


27.(2018 春•滕州市期末)如圖,在△ABC 中,AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D,交

AC 于點(diǎn) E,且 AC=15cm,△BCE 的周長等于 25cm.
(1)求 BC 的長;

(2)若∠A=36°,并且 AB=AC.求證:BC=BE.


【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得 AE=BE,然后求出
△BCE 的周長=AC+BC,再求解即可;

(2)根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C=72°,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的 距離相等可得 AE=BE,根據(jù)等邊對等角可得∠ABE=∠A,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與 它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BEC=72°,從而得到∠BEC=∠C,然后根據(jù)等角對等邊求解.
【解答】(1)解:∵AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D,
∴AE=BE,
∴△BCE 的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,
∵AC=15cm,
∴BC=25?15=10cm;


(2)證明:∵∠A=36°,AB=AC,

∴∠C= (180°?∠A)= (180°?36°)=72°,
∵AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D,
∴AE=BE,
 
∴∠ABE=∠A,

由三角形的外角性質(zhì)得,∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°,

∴∠BEC=∠C,
∴BC=BE.
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),三角形的一個(gè) 外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),等角對等邊的性質(zhì),綜合題難度不大,熟記各 性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.


28.(2018 春•衡陽縣校級期末)已知點(diǎn) D、E 在△ABC 的 BC 邊上,AD=AE,BD=CE,為 了判斷∠B 與∠C 的大小關(guān)系,請你填空完成下面的推理過程,并在空白括號(hào)內(nèi),注明推理
的根據(jù).
解:作 AM⊥BC,垂足為 M
∵AD=AE,
∴△ADE 是 等腰 三角形,
∴DM=EM ( 等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線  ) 又∵BD=CE,
∴BD+DM=  CE+EM  ,即 BM=  CM  ; 又∵  AM⊥BC  (自己所作),
∴AM 是線段  BC  的垂直平分線;
∴AB=AC ( 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等  )
∴ ∠B=∠C  .


【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得 DM=EM,結(jié)合已知條件,根據(jù)等式的性質(zhì),得 BM=CM,從而根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),得 AB=AC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證 明.
【解答】解:作 AM⊥BC,垂足為 M
∵AD=AE,
∴△ADE 是等腰三角形,
∴DM=EM (等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線) 又∵BD=CE,
∴BD+DM=CE+EM,即 BM=CM; 又∵AM⊥BC(自己所作),
∴AM 是線段 BC 的垂直平分線;
∴AB=AC (線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)
∴∠B=∠C.
 
故答案為:等腰,等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線,CE+EM,CM,AM⊥BC,BC, 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,∠B=∠C.


【點(diǎn)評】此題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì).等腰三角形底邊上的 高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合;等腰三角形的兩個(gè)底角相等.


29.(2018 秋•西市區(qū)校級期中)電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔 P,按照設(shè)計(jì)要求, 發(fā)射塔 P 到兩城鎮(zhèn) A、B 的距離必須相等,到兩條高速公路 m 和 n 的距離也必須相等.請
在圖中作出發(fā)射塔 P 的位置.(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
 
【分析】根據(jù)題意,P 點(diǎn)既在線段 AB 的垂直平分線上,又在兩條公路所夾角的平分線上.故 兩線交點(diǎn)即為發(fā)射塔 P 的位置.
【解答】解:設(shè)兩條公路相交于 O 點(diǎn).P 為線段 AB 的垂直平分線與∠MON 的平分線交點(diǎn)

或是與∠QON 的平分線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置.如圖,滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè),即 P、P′.


【點(diǎn)評】此題考查了線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì),屬基本作圖題.
 
30.(2018 春•長清區(qū)期末)以點(diǎn) A 為頂點(diǎn)作兩個(gè)等腰直角三角形(△ABC,△ADE),如 圖 1 所示放置,使得一直角邊重合,連接 BD,CE.
 

(1)說明 BD=CE;
(2)延長 BD,交 CE 于點(diǎn) F,求∠BFC 的度數(shù);
(3)若如圖 2 放置,上面的結(jié)論還成立嗎?請簡單說明理由.

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到 AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE,利 用“SAS”可證明△ADB≌△AEC,則 BD=CE;
(2)由△ADB≌△AEC 得到∠ACE=∠DBA,利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠BFC=180°

?∠ACE?∠CDF=180°?∠DBA?∠BDA=∠DAB=90°;

(3)與(1)一樣可證明△ADB≌△AEC,得到 BD=CE,∠ACE=∠DBA,利用三角形內(nèi) 角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°.
【解答】解:(1)∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形,

∴AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE,

∵在△ADB 和△AEC 中,

,


∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴BD=CE;

(2)∵△ADB≌△AEC,
∴∠ACE=∠ABD,

而在△CDF 中,∠BFC=180°?∠ACE?∠CDF

又∵∠CDF=∠BDA

∴∠BFC=180°?∠DBA?∠BDA

=∠DAB
 
=90°;

(3)BD=CE 成立,且兩線段所在直線互相垂直,即∠BFC=90°.理由如下:


∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形

∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°,

∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE,
∵在△ADB 和△AEC 中,

,


∴△ADB≌△AEC(SAS)
∴BD=CE,∠ACE=∠DBA,

∴∠BFC=∠CAB=90°.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì):判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、

“ASA”、“AAS”;全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).


本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chuyi/1175231.html

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