中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題基礎(chǔ)知識(shí)回顧五 四邊形
一、單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：
二、考試目標(biāo)要求：
1.探索并了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，了解正多邊形的概念.
2.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性質(zhì)，了解它們之間的
關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.
3.探索并掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是平行四邊形的條.
4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是矩形、菱形、正方形的條.
5.探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是等腰梯形的條.
6.通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面， 并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì).
三、知識(shí)考點(diǎn)梳理
知識(shí)點(diǎn)一、多邊形的有關(guān)概念和性質(zhì)
1.多邊形的定義：
在平面內(nèi)，由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
2.多邊形的性質(zhì)：
(1)多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)•180°；
(2)推論：多邊形的外角和是360°；
(3)對(duì)角線條數(shù)公式：n邊形的對(duì)角線有 條；
(4)正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.
知識(shí)點(diǎn)二、四邊形的有關(guān)概念和性質(zhì)
1.四邊形的定義：
同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形.
2.四邊形的性質(zhì)：
(1)定理：四邊形的內(nèi)角和是360°；
(2)推論：四邊形的外角和是360°.
知識(shí)點(diǎn)三、平行四邊形
1.平行四邊形的定義：
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
2.平行四邊形的性質(zhì)：
(1)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；
(2)平行四邊形的對(duì)角相等；
(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分；
3.平行四邊形的判定方法：
(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)；
(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
(3)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
4.面積公式：
S=ah(a是平行四邊形的一條邊長，h是這條邊上的高).
知識(shí)點(diǎn)四、矩形
1.矩形的定義：
有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2.矩形的性質(zhì):
矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
(1)矩形的對(duì)邊平行且相等；
(2)矩形的四個(gè)角都相等，且都是直角；
(3)矩形的對(duì)角線互相平分且相等.
3.矩形的判定方法：
(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形(定義)；
(2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；
(3)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.
4.面積公式：
S=ab(a、b是矩形的邊長).
知識(shí)點(diǎn)五、菱形
1.菱形的定義：
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2.菱形的性質(zhì)：
菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
(1)菱形的對(duì)邊平行，四條邊都相等；
(2)菱形的對(duì)角相等；
(3)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
3.菱形的判定方法：
(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(定義)；
(2)四條邊都相等的四邊形是菱形；
(3)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
4.面積公式：
S=ah(a是平行四邊形的邊長，h是這條邊上的高)或s= mn(m、n是菱形的兩條對(duì)角線長).
知識(shí)點(diǎn)六、正方形
1.正方形的定義：
有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形；或有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形.
2.正方形的性質(zhì):
正方形具有平等四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)；
(1)正方形的對(duì)邊平行，四條邊都相等；
(2)正方形的四個(gè)角都是直角；
(3)正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
3.正方形的判定方法：
(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；
(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
(3)對(duì)角線相等的菱形是正方形；
(4)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.
4.面積公式：
S=a2(a是邊長)或s= b2(b正方形的對(duì)角線長).
平行四邊形和特殊的平行四邊形之間的聯(lián)系:
知識(shí)點(diǎn)七、梯形
1.梯形的定義：
一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形.
(1)互相平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長的底叫做下底.
(2)不平行的兩邊叫做梯形的腰.
(3)梯形的四個(gè)角都叫做底角.
2.直角梯形：
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.
3.等腰梯形：
兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.
4.等腰梯形的性質(zhì)：
(1)等腰梯形的兩腰相等；
(2)等腰梯形同一底上的兩個(gè)底角相等.
(3)等腰梯形的對(duì)角線相等.
5. 等腰梯形的判定方法：
(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形(定義)；
(2)同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；
(3)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.
6.梯形中位線：
連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線.
7.面積公式：
S= (a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).
知識(shí)點(diǎn)八、平面圖形的鑲嵌
1.平面圖形的鑲嵌的定義：
用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪.
2.平面圖形鑲嵌的條：
(1)同種正多邊形鑲嵌成一個(gè)平面的條：周角是否是這種正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的整倍數(shù).在正多邊形里
只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌.
(2)n種正多邊形組合起鑲嵌成一個(gè)平面的條：
�、賜個(gè)正多邊形中的一個(gè)內(nèi)角的和的倍數(shù)是360°；
�、趎個(gè)正多邊形的邊長相等，或其中一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長是另一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長的整數(shù)
倍.
四、規(guī)律方法指導(dǎo)
1.數(shù)形結(jié)合思想
多邊形是反映了數(shù)的抽象性與形的直觀性這一對(duì)矛盾的對(duì)立統(tǒng)一，以及在一定條下的互相轉(zhuǎn)化，由數(shù)構(gòu)形，由形思數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想.尤其在平行四邊形和矩形、菱形、正方形、梯形中，圖形的特點(diǎn)非常鮮明，與我們現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系很大，利用它們的性質(zhì)和判定能解決實(shí)際中的問題.
2.分類討論思想
根據(jù)題目中的已知判斷是哪種特殊的平行四邊形，不同的特殊的平行四邊形的性質(zhì)和判定不同.結(jié)合各自的特點(diǎn)進(jìn)行分類，得出最終的結(jié)論.
3.化歸與轉(zhuǎn)化思想
要記清和分清平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定，要體會(huì)化歸思想的應(yīng)用，如：多邊形轉(zhuǎn)化為三角形；平行四邊形、梯形及特殊的平行四邊形性質(zhì)的討論通過對(duì)角線轉(zhuǎn)化為全等三角形等.
4.注意觀察、分析、總結(jié)
在判斷邊相等或角相等的問題上，常以平行四邊形、梯形及特殊的平行四邊形的性質(zhì)或判定為依據(jù)，當(dāng)條結(jié)論的關(guān)系無法找到時(shí)，可以通過輔助線將圖形適當(dāng)變化，使條集中，以便應(yīng)用條達(dá)到解題的目的，由繁變簡(jiǎn)，一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化.
5.四邊形知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系
經(jīng)典例題透析
考點(diǎn)一、多邊形及鑲嵌
1．若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的 倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是______.
考點(diǎn)：本題考查n邊形的內(nèi)角和公式：(n-2)•180°和多邊形的外角和是360°.
解析：設(shè)正多邊形邊數(shù)為n，由題意得：
(n-2)•180°=360°×3，解得n=8，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是八邊.
2．下列正多邊形中，能夠鋪滿地面的是( )
A、正五邊形 B、正六邊形 C、正七邊形 D、正八邊形
考點(diǎn)：鑲嵌的條：周角是這種正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的整倍數(shù).
思路點(diǎn)拔：在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌.
答案：B
3．一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)共引出三條對(duì)角線，此多邊形一定是( )
A.四邊形 B. 五邊形 C.六邊形 D.三角形
思路點(diǎn)拔：n邊形的對(duì)角線從一個(gè)頂點(diǎn)共引(n-3)條對(duì)角線.
解析：根據(jù)題意列式為n-3=3，∴n=6.故選C.
4. 一個(gè)同學(xué)在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得的內(nèi)角和為1125°，當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少了一個(gè)內(nèi)角.少了的這個(gè)內(nèi)角是_________度，他求的是_________邊形的內(nèi)角和.
思路點(diǎn)拔：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和能被180°整除，本題內(nèi)角和1125°除以180°后有余數(shù)，則少的內(nèi)角應(yīng)和這個(gè)余數(shù)互補(bǔ).
解析：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n，少算的內(nèi)角度數(shù)為x，
由題意得：(n-2)•180°=1125°+ x°，∴n=
∵n為整數(shù)，0°＜x＜180°，∴符合條的x只有135°，解得n=9.應(yīng)填135、九.
總結(jié)升華：多邊形根據(jù)內(nèi)角或外角求邊數(shù)，或是根據(jù)邊數(shù)求內(nèi)角或?qū)蔷�條數(shù)等題是重點(diǎn)，只需要記住各公式或之間的聯(lián)系，并準(zhǔn)確計(jì)算.
舉一反三：
【變式1】如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為135°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為( )
A.6 B.7 C.8 D.以上答案都不對(duì)
思路點(diǎn)拔：在本題可利用外角去求邊數(shù)，每個(gè)外角為45°，外角和是360°，有幾個(gè)外角就有幾條邊.
解析：∵多邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為135°，∴每個(gè)外角為45°
又∵多邊形外角和為360°，∴邊數(shù)=360°÷45°=8，故選C.
【變式2】多邊形的內(nèi)角和隨著邊數(shù)的增加而______，邊數(shù)增加一條時(shí)，它的內(nèi)角和增加_____度.
解析：多邊形每增加一邊，內(nèi)角和就增加180°.
答案：增加、180.
考點(diǎn)二、平行四邊形
5. 平行四邊形的周長為40，兩鄰邊的比為2：3，則這一組鄰邊長分別為________.
考點(diǎn)：平行四邊形的邊的性質(zhì).
思路點(diǎn)拔：掌握平行四邊形的對(duì)邊相等.
解析：∵□ABCD中，AB=CD，BC=AD，周長為40
∴AB+BC=20，又∵AB：BC=2：3，
令A(yù)B=2k，BC=3k，∴2k+3k=20，解得k=4，
∴這一組鄰邊長分別為8和12.
6. 已知O是□ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，AC=24，BD=38，AD=14，那么△OBC的周長等于_______.
考點(diǎn)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.
解析：□ABCD中，OC= AC=12，OB= BD=19，BC=AD=14
∴△OBC的周長=OB+OC+BC=19+12+14=45.
7. 如圖，BD是□ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需要增加的一個(gè)條是______________.
考點(diǎn)：平行四邊形的判定.
思路點(diǎn)拔：本題可以利用平行四邊形的判定中的一組對(duì)邊平行且相等；也可以利用對(duì)角線互相平分判定等.答案不唯一.
條一：增加的條為∠AFE=∠CEF.
證明：∵∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE，∠AFD=∠CEB
∵□ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE
∴△ADF≌△CBE，∴AF=CE
∴四邊形AECF是平行四邊形.
條二：增加的條為BE=DF.
解法一：可利用SAS證明△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，得AE=CF，AF=CE
∴四邊形AECF是平行四邊形.
解法二：連結(jié)AC交BD于O
□ABCD中，OA=OC，OB=OD
∵BE=DF， ∴OB-BE=OD-DF，得OE=OF
∴四邊形AECF是平行四邊形.
總結(jié)升華：借助平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行線段或角相等的證明，或利用平行四邊形的判定條確定四邊形的形狀，是考查的重點(diǎn).
舉一反三：
【變式1】在平行四邊形ABCD中，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，如右圖，
與△ABO面積相等的三角形有( )個(gè).
A、1 B、2 C、3 D、4
解析：兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形面積都相等，等底等高.
∴與△ABO面積相等的三角形有△AOD、△COD、△BOC.故選C
【變式2】如圖，△ABC中∠ACB=90°，點(diǎn)D、E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長線上，且∠CDF=∠A.
求證：四邊形DECF是平行四邊形.
考點(diǎn)：本題要求會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)證明結(jié)論：
(1)三角形的中位線性質(zhì)；
(2)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；
(3)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四形.
證明：∵D、E分別是AC，AB的中點(diǎn)，∴CE是△ABC的中位線
∴AE= AB，DE∥BC 即DE∥CF
∵△ABC中∠ACB=90°，E是AB的中點(diǎn)，∴CE= AB
∴CE=AE，∴∠A=∠ECD
∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ECD，∴CE∥DF
∴四邊形DECF是平行四邊形.
考點(diǎn)三、矩形
8．如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，∠AOB=60°，AB=8，則矩形對(duì)角線的長_________.
考點(diǎn)：矩形的性質(zhì).
思路點(diǎn)拔：掌握矩形的對(duì)角線相等,會(huì)用一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形
解析：在矩形ABCD中，AC=BD，OA= AC，OB= BD
∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形
∴OA=AB=8，∴AC=2OA=16，故應(yīng)填16.
9. 如右圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對(duì)折，使C點(diǎn)落在E處且 與AD相交于點(diǎn)O.寫出一組相等的線段__________.(不包括 和 ).
思路點(diǎn)拔：理解折疊前后圖形的變化，△BCD≌△BED，也可證出△AOB≌△EOD，找出對(duì)應(yīng)量相等.
解析：OD=OB或OE=OA、AB=ED、BE=AD等
總結(jié)升華：矩形在平行四邊形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步特殊化，結(jié)合矩形的對(duì)角線平分且相等，會(huì)運(yùn)用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì).
舉一反三：
【變式1】四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，在下列條中，不能判定它是矩形的是( )
A.AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°
B.AO=CO，BO=DO，AC=BD
C.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
D.∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
思路點(diǎn)拔：本題應(yīng)結(jié)合圖形去解決，掌握矩形的判定方法.
解析：A選項(xiàng)由AB=CD，AD=BC判定是□ABCD，再利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可得；B選項(xiàng)由AO=CO，BO=DO判定是□ABCD，再利用對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；D選項(xiàng)由∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC判定是□ABCD，再利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可得；而C選項(xiàng)卻不能判定,舉反例如直角梯形.故選C.
【變式2】矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊成2cm和3cm，則這個(gè)矩形的面積為__________.
考點(diǎn)：矩形的面積公式
思路點(diǎn)拔：在沒有圖形的題中，畫圖時(shí)應(yīng)考慮全面，本題體現(xiàn)了分類的思想，被分的兩部分長度不確定
解析：如圖(1)若AE=3，ED=2，則矩形邊長分別3和5，面積為15cm2
如圖(2)若AE=2，ED=3，則矩形邊長分別2和5，面積為10cm2
則這個(gè)矩形面積就為10cm2和15cm2.
考點(diǎn)四、菱形
10．在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC、BD的長分別為5厘米、10厘米，則菱形ABCD的面積為_________厘米2.
考點(diǎn)：菱形面積.
思路點(diǎn)拔：菱形的對(duì)角線互相垂直，面積公式有兩個(gè)：(1)底乘高；(2)對(duì)角線乘積的一半.
解：菱形ABCD的面積= AC×BD= ×5×10=25cm2.
11．能夠判別一個(gè)四邊形是菱形的條是( )
A.對(duì)角線相等且互相平分 B.對(duì)角線互相垂直且相等
C.對(duì)角線互相平分 D.一組對(duì)角相等且一條對(duì)角線平分這組對(duì)角
考點(diǎn)：菱形的判定
解析：A選項(xiàng)可判定為矩形；B選項(xiàng)不能判定是平行四邊形，∴也不能判定是菱形；C選項(xiàng)只能判定是平行四邊形；D選項(xiàng)由等角對(duì)等邊和三角形全等得到四條邊都相等.故選D.
總結(jié)升華：菱形在平行四邊形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步特殊化，菱形的對(duì)角線互相垂直，把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，常利用這一性質(zhì)求線段和角，以及菱形的面積.
舉一反三：
【變式1】已知菱形的一條對(duì)角線與邊長相等，則菱形的兩個(gè)鄰角度數(shù)分別為 ( )
A. 45°， 135° B. 60°， 120° C. 90°， 90° D. 30°， 150°
思路點(diǎn)拔：菱形的一條對(duì)角線與邊長相等，則構(gòu)成等邊三角形，從而求出菱形的內(nèi)角度數(shù).
答案：B
【變式2】如圖，已知AD平分∠BAC，DE∥AC， DF∥AB， AE=5.
(1)判斷四邊形AEDF的形狀?
(2)它的周長是多少?
考點(diǎn)：菱形的判定
思路點(diǎn)拔：利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形的判定方法證明.
證明：(1)∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD
∵DE∥AC， DF∥AB
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠CAD=∠ADE
∴∠BAD=∠ADE， ∴AE=DE
∴平行四邊形AEDF是菱形.
(2)∵平行四邊形AEDF是菱形，AE=5
∴菱形AEDF的周長=4AE=4×5=20.
【變式3】如圖，菱形ABCO的邊長為2，∠AOC=45°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為___________.
思路點(diǎn)拔：利用數(shù)形結(jié)合的思想，可先求A點(diǎn)坐標(biāo)，再向右平移2個(gè)單位.
解析：過A作AD⊥OC于D，
∵∠AOC=45°，OA=2，∴AD=OD= ，∴A( ， )
∵AB=2，∴B(2+ ， ).
考點(diǎn)五、正方形
12．正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )
A.四個(gè)角都是直角 B.對(duì)角線互相平分 C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線相等
思路點(diǎn)拔：正方形是滿足矩形和菱形的所有性質(zhì).∴正方形的對(duì)角線互相垂直，而矩形對(duì)角線則不一定互相垂直.
答案：C.
13．如圖，以A、B為頂點(diǎn)作位置不同的正方形，一共可以作( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
思路點(diǎn)拔：本題考查學(xué)生解題能力，容易將AB是對(duì)角線的情況忽略，而錯(cuò)誤的選B.
解析：如圖，共有3個(gè).
14．圖中的矩形是由六個(gè)正方形組成，其中最小的正方形的面積為1，求這個(gè)矩形的長和寬各是多少？
思路點(diǎn)拔：本題利用正方形的邊長相等，及矩形的對(duì)邊相等，設(shè)某個(gè)正方形的邊長為x，并用x表示矩形的對(duì)這得出相應(yīng)的方程，求出矩形的長和寬.
解：設(shè)右下方正方形的邊長為 ，則左下方正方形的邊長為 +1，
左上方正方形的邊長為 +2，右上方正方形的邊長為 +3，
根據(jù)長方形的對(duì)邊相等可列方程2 + +1= +2+ +3，解這個(gè)方程得 =4，
∴長方形的長為13，寬為11.
總結(jié)升華：正方形的性質(zhì)很多，往往是在判定矩形或菱形的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步判定正方形，∴做正方形的問題時(shí)，要考慮全面，有選擇的運(yùn)用正方形的知識(shí)解題.
舉一反三：
【變式1】下列選項(xiàng)正確的是( )
A.四邊相等的四邊形是正方形 B.對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
C.對(duì)角線垂直的平行四邊形是正方形 D.四角相等的四邊形是正方形
考點(diǎn)：正方形的判定方法.
思路點(diǎn)拔：掌握正方形的判定方法要從邊、角、對(duì)角線各方面考慮.
解析：A、C選項(xiàng)能判定是菱形；D選項(xiàng)能判定是矩形；故應(yīng)選B.
【變式2】正方形ABCD中，對(duì)角線BD長為16cm，P是AB上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到AC、BD的距離之和等于__cm.
思路點(diǎn)拔：本題方法很多，(1)可以利用三角形面積去求：連接PO，△ABO的面積等于△APO和△BPO的面積之和；(2)也可證明矩形PEOF，得PF=EO，再證PE=AE，從而得出結(jié)論.總之，P在AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到AC、BD的距離之和總等于對(duì)角線長的一半.
解析：PE+PF=OA=8cm
【變式3】(1)順次連結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )
A、平行四邊形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
(2)順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )
A、平行四邊形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
(3)順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )
A、平行四邊形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
(4)順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )
A、平行四邊形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形的判定由原四邊形的對(duì)角線決定.
思路點(diǎn)拔：規(guī)律：順次連結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是平行四邊形；順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是菱形；順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是矩形；順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是正方形.
答案：(1)A (2)C (3)B (4)D
考點(diǎn)六、梯形
15．等腰梯形 中， ， cm， cm， ，則梯形的腰長是_________cm.
考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì).
思路點(diǎn)拔：梯形常作的輔助線是作梯形的高，將梯形分成一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形；本題也可平移一腰，將梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)等邊三角形.
解析：過A作AE∥CD交BC于E
∵AD∥EC， ∴EC=AD=5，AE=CD，∴BE=BC-EC=9-5=4
∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∴AB=AE
∵∠C=60°，∴△ABE是等邊三角形
∴AB=BE=4cm，即梯形的腰長是4cm.
16. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，則此梯形的面積是( )
(A)24 (B)20 (C)16 (D)12
思路點(diǎn)拔：梯形常作的輔助線還有就是平移對(duì)角線，將梯形分成一個(gè)三角形以及一個(gè)平行四邊形.
解析：過D作DE∥AC交BC延長線于E，可得CE=AD，DE=AC，∴BE=10，
∴△BDE的三邊為6、8、10，∴△BDE為直角三角形，
∵△ADB和△CED等底等高，∴梯形ABCD的面積等于△BDE的面積.
即梯形ABCD的面積=6×8× =24.
17．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于點(diǎn)O.有下列四個(gè)結(jié)論：
�、貯C=BD；②梯形ABCD是軸對(duì)稱圖形；③∠ADB=∠DAC；④△AOD≌△ABO.
其中正確的是( ).
(A)①③④ (B)①②④ (C)①②③ (D)②③④
考點(diǎn)：本題考查的是等腰梯形的性質(zhì).
答案：C
總結(jié)升華：解決梯形問題時(shí)，輔助線是常用的方法，除上述輔助線之外，還可以延長兩腰交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形；若已知一腰中點(diǎn)，可連結(jié)一頂點(diǎn)和這個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)成兩個(gè)全等的三角形.
舉一反三：
【變式1】已知梯形的上底長為3 ，中位線長為6 ，則下底長為______ .
考點(diǎn)：梯形的中位線性質(zhì).
思路點(diǎn)拔：梯形的中位線平行兩底，且等于上、下底和的一半.
答案：9.
【變式2】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∠ABC和∠BCD互余，若AD=4，BC=10，則EF=_________.
解析：過E作E∥AB，EN∥CD，交BC于、N，可求N=BC-AD=10-4=6
∵∠ABC和∠BCD互余，可得Rt△EN，再證EF是Rt△EP斜邊上的中線，
可求EF的長= N= ×6=3.
【變式3】已知等腰梯形ABCD，AD∥BC ，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且 .求證： .
思路點(diǎn)拔：利用梯形的性質(zhì)可證明三角形全等.
證明：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠CDA
∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA
∴∠BAD-∠EAD=∠CDA-∠EDA，即∠BAE=∠CDE
∴△BAE≌△CDE，∴EB=EC.
中考題萃
1.(北京市)(4分)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于720°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(赤峰市)(3分)分別剪一些邊長相同的①正三角形，②正方形，③正五邊形，④正六邊形，如果用其
中一種正多邊形鑲嵌，可以鑲嵌成一個(gè)平面圖案的有( )
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④都可以
3.(湖北省襄樊市)(3分)順次連接等腰梯形四邊中點(diǎn)所得四邊形是( )
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.等腰梯形
4.(衡陽市)(3分)如圖，在平行四邊形 中， ， 為垂足，如果 ，那么
的度數(shù)是( )
A. B. C. D.
5.(廣州)(3分)如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，把陰影部分剪下，用剪下的陰影部分拼成一個(gè)正方
形，那么新正方形的邊長是( )
A. B.2 C. D.
6.(永春縣)(3分)四邊形的外角和等于__________度.
7.如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，AD，則∠CAD的度數(shù)是__________°.
8.(佳木斯市)(3分)一幅圖案.在某個(gè)頂點(diǎn)處由三個(gè)邊長相等的正多邊形鑲嵌而成.其中的兩個(gè)分別是正
方形和正六邊形，則第三個(gè)正多邊形的邊數(shù)是__________.
9.(江蘇省宿遷市)(3分)若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的 倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是______.
10.(安順市)(4分)若順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則原四邊形可能是__________.(寫出
兩種即可)
11.(赤峰市)(4分)如圖，已知 平分 ， ， ，則 ________.
12.(佛市)(3分)如圖，已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP = BC，則∠ACP度數(shù)是__________.
13.(湖南省懷化市)(2分)如圖，在平行四邊形ABCD中，DB=DC、 ，CE BD于E，則
__________.
14.(海南省)(3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AB=6cm，則AE=__________cm.
15.(莆田市)(3分)如圖，大正方形網(wǎng)格是由16個(gè)邊長為1的小正方形組成，則圖中陰影部分的面積是
__________.
16.(廣州)(3分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，AD=6，BC=8，則梯形的高為 .
17.(莆田市)(3分)如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD=2AB，若沿過點(diǎn)D的折痕DE將A角翻折，使點(diǎn)
A落在BC上的A1處，則∠EA1B=______________度.
18.(湖北省荊門市)(3分)如圖，矩形紙片ABCD中，AD=9，AB=3，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為
EF，那么折痕EF的長為________.
19.(江蘇省宿遷市)(3分)如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)
、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則P+PN的最小值是_________.
20.(內(nèi)蒙古)(6分)如圖，在梯形 中，AD∥BC， ， ，AE⊥BD于E， .
求梯形 的高.
21.(湖北省荊州市)(6分)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE=AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE，求證：DF=DC.
22.(北京市)(5分)如圖，在梯形 中， ， ， ， ， ，求 的長.
23.(湖北省荊門市)(10分)某人定制了一批地磚，每塊地磚(如圖(1)所示)是邊長為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH.
(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；
(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最省？
答案與解析
1.B 2.C 3.A 4.D 5.C
6.360 7.36 8.12 9.八邊
10.矩形、等腰梯形、正方形、對(duì)角線相等的四邊形
11.3 12.22.5度 13.25° 14.6 15.10
16.7 17.60 18. 19.5
20.解：∵AD∥BC，∴∠2=∠3
又AB=AD，∴∠1=∠3.
∠ABC=∠C=60°
∴∠1=∠2=30°
在Rt△ABE中，
， ，
∴AB=2
作AF⊥BC垂足為F，
在Rt△ABF中，
∴梯形 的高為 .
21.證明：∵AD=AE
∴∠ADE=∠FED
又AD∥BC
∴∠ADE=∠DEC
∴∠DEC=∠DEF
又DF⊥AE，四邊形ABCD是矩形
∴∠DFE=∠C=90°
又DE=DE
∴△DEF≌△DEC(AAS)
∴DF=DC.
22.解法一：如圖1，分別過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，
于點(diǎn) .
.
又 ，
四邊形 是矩形.
.
在 中， ，
.
解法二：如圖2，過點(diǎn) 作 ，分別交 于點(diǎn) .
，
.
23.解：(1) 四邊形EFGH是正方形.
圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點(diǎn)按順(逆)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的，
故CE=CF=CG.∴△CEF是等腰直角三角形.因此四邊形EFGH是正方形.
(2) 設(shè)CE=x， 則BE=0.4-x，每塊地磚的費(fèi)用為y，那么
y= x ×30+ ×0.4×(0.4-x)×20+
=10(x -0.2x+0.24)
=10［(x-0.1)2+0.23］ (0＜x＜0.4).
當(dāng)x=0.1時(shí)，y有最小值，即費(fèi)用為最省，此時(shí)CE=CF=0.1.
答：當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí)，總費(fèi)用最省.
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