2018中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第1編教材知識梳理篇第5章圖形的相似

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

第五章 圖形的相似與解直角三角形
第一節(jié) 圖形的相似與位似
河北五年中考命題規(guī)律
年份 題號 考查點(diǎn) 考查內(nèi)容 分值 總分
2018 15 相似三角形判定 從一個三角形紙片剪下一個三角形,判定與原三角形相似條件 2 11
 23 位似圖形的性質(zhì) 利用位似圖形的性質(zhì)證線段的數(shù)量和位置關(guān)系 9 
2018年 13 相似三角形、相似多邊形的判定 根據(jù)已知方式變換后得到新圖形,判定兩個圖形是否相似 3 3
2018年 11 相似三角形的判定及性質(zhì) 以菱形為背景,利用菱形的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)求線段長度 3 3
2017、2018年均未考查
命題規(guī)律 縱觀河北近五年中考,本考點(diǎn)共考查了4次,題型有選擇題、解答題,分值2~11分,難度中偏下,基礎(chǔ)題為主,其中相似三角形的判定和性質(zhì)考查了3次,相似多邊形考查了1次(選擇題).
 
河北五年中考真題及模擬
                  

  圖形相似的判定及性質(zhì)
 
1.(2018河北中考)如圖,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是( C )
 ,A)  ,B)  ,C)    ,D)
2.(2018年河北中考)在研究相似問題時,甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下:
甲:將邊長為3,4,5的三角形按圖①的方式向外擴(kuò)張,得到新三角形,它們的對應(yīng)邊間距均為1,則新三角形與原三角形相似. 圖①
 
圖②
乙:將鄰邊為3和5的矩形按圖②的方式向外擴(kuò)張,得到新矩形,它們的對應(yīng)邊間距均為1,則新矩形與原矩形不相似.
對于兩人的觀點(diǎn),下列說法正確的是( A )
A.兩人都對  B.兩人都不對
C.甲對,乙不對  D.甲不對,乙對
  圖形的位似
3.(2017保定中考模擬)圖中兩個四邊形是位似圖形,它的位似中心是( D )
 
A.點(diǎn)M  B.點(diǎn)N  C.點(diǎn)O  D.點(diǎn)P
4.(2017保定中考模擬)若如圖所示的兩個四邊形相似,則α的度數(shù)是( A )
 
A.87°  B.60°  C.75°  D.120°

 
5.(2017唐山中考模擬)如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,若∠B=∠ADE,則下列結(jié)論正確的個數(shù)是( D )
①∠B和∠A互為補(bǔ)角;②∠A和∠ADE互為余角;③△ABC∽△ADE;④如果AB=2AD,則S△ADE∶S△ABC=1∶4;⑤△ABC與△ADE位似.
A.4  B.2  C.1  D.3
6.(2018滄州八中一模)如圖,在△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是邊AB,AC,BC上的點(diǎn),DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于( A )
A.5∶8  B.3∶8
C.3∶5  D.2∶5

7.(2018石家莊二十八中一模)如圖,在 ▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長線 于點(diǎn)F,BG⊥AE于點(diǎn)G,BG=42,則△EFC 的周長為( D )
A.11  B.10  C.9  D.8
8.(2018保定中考模擬)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,4),C(0,3),過C作直線交x軸于D,使以D,O,C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似.這樣的直線最多可以作( C )
A.2條  B.3條
C.4條  D.6條
 
9.(2018邯鄲一模)如圖,在正方形ABCD 中,E為AB的中點(diǎn),G,F(xiàn)分別為AD,BC邊上的點(diǎn),若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,則GF的長為( D )
A.4  B.2
C.5  D.3
10.(2018保定十七中一模)下列四組圖形中,一定相似的是( D )
A.正方形與矩形
B.正方形與菱形
C.菱形與菱形
D.正五邊形與正五邊形
11.(2018石家莊二十八中一模)如圖,點(diǎn)B在線段AC上,點(diǎn)D,E在AC同側(cè),∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.
(1)求證:AC=AD+CE;
(2)若AD=3,CE=5,點(diǎn)P為線段AB上的動點(diǎn),連接DP,作PQ⊥DP,交直線BE于點(diǎn)Q.若點(diǎn)P與A,B兩點(diǎn)不重合,求DPPQ的值.
 
解:(1)∵∠A=∠C=90°,DB⊥BE,
∴∠ADB+∠ABD=90°,∠ABD+∠EBC=90°.
∴∠ADB=∠EBC.
又AD=BC,∴△ADB≌△CBE(ASA),
∴AB=CE.∴AC=BC+AB=AD+CE;
(2)過點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H.
則△ADP∽△HPQ,△BHQ∽△BCE,
∴ADHP=APHQ,BHBC=QHEC.
設(shè)AP=x,QH=y(tǒng),則有BH3=y(tǒng)5,
∴BH=3y5,PH=3y5+5-x,
∴33y5+5-x=xy,即(x-5)•(3y-5x)=0.
又點(diǎn)P不與A,B重合,
∴x≠5,即x-5≠0.
∴3y-5x=0,即3y=5x.
∴DPPQ=xy=35.


12.(2018河北中考)如圖①,E是線段BC的中點(diǎn),分別以B,C為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同側(cè).
 
(1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為________;
AE和ED的位置關(guān)系為________;
(2)在圖①中,以點(diǎn)E為位似中心,作△EGF與△EAB位似,H是B C所在直線上的一點(diǎn),連接GH,HD,分別得到圖②和圖③.
①在圖②中,點(diǎn)F在BE上,△EGF與△EAB的相似比是1∶2,H是EC的中點(diǎn),求證:GH=HD,GH⊥HD.
②在圖③中,點(diǎn)F在BE的延長線上,△EGF與△EAB的相似比是k∶1,若BC=2,請直接寫出CH的長為多少時,恰好使得GH=HD且GH⊥HD.(用含k的代數(shù)式表示)
解:(1)AE=ED;AE⊥ED;
(2)①由題意,得∠B=∠C=90°,
AB=BE=EC=DC.
∵△EGF與△EAB的相似比為1∶2,
∴∠GFE=∠B=90°,GF=12AB,EF=12EB,
∴∠GFE=∠C.
∵H是EC的中點(diǎn),
∴EH=HC=12EC,
∴GF=HC,F(xiàn)H=FE+EH=12EB+12EC=12BC=EC=CD,
∴△HGF≌△DHC.
∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.
∵∠HDC+∠DHC=90°,
∴∠GHF+∠DHC=90°.
∴∠GHD=90°,∴GH⊥HD;
②∵GH=HD,GH⊥HD,
∴∠FHG+∠DHC=90°.
∵∠FHG+∠FGH=90°,∴∠FGH=∠DHC.
在△FGH和△CHD中,
∠FGH=∠CHD,∠GFH=∠HCD,GH=HD,
∴△GFH≌△HCD.∴FG=CH.
∵EF=FG,∴EF=CH.
∵△EGF與△EAB的相似比是k∶1,BC=2,
∴BE=EC=1,
∴EF=k,∴CH的長為k.
 
 ,中考考點(diǎn)清單)

  比例的相關(guān)概念及性質(zhì)
1.線段的比:兩條線段的比是兩條線段的__長度__之比.
2.比例中項(xiàng):如果ab=bc,即b2=__ac__,我們就把b叫做a,c的比例中項(xiàng).
3.比例的性質(zhì)

性質(zhì) 內(nèi)容
性質(zhì)1 ab=cd⇔__ad__=bc(a,b,c,d≠0).

性質(zhì)2 如果ab=cd,那么a±bb=c±dd.

性質(zhì)3 如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),則a+c+…+mb+d+…+n=__mn(不唯一)__.

4.黃金分割:如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段,使ACAB=__BCAC__,那么點(diǎn)C叫做線段AC的__黃金分割點(diǎn)__,AC是BC與AB的比例中項(xiàng),AC與AB的比叫做__黃金比__.
  相似三角形的判定及性質(zhì)
5.定義:對應(yīng)角__相等__,對應(yīng)邊__成比例__的兩個三角形叫做相似三角形,相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.
6.性質(zhì):
(1)相似三角形的__對應(yīng)角__相等;
(2)相似三角形的對應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例;
(3)相似三角形的周長比等于__相似比__,面積比等于__相似比的平方__.
7.判定:
(1)__有兩角__對應(yīng)相等,兩三角形相似;
(2)兩邊對應(yīng)成比例且__夾角__相等,兩三角形相似;
(3)三邊__對應(yīng)成比例__,兩三角形相似;
(4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊__對應(yīng)成比例__,兩直角三角形相似.
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路:
(1)條件中若有平行線,可采用相似三角形的判定(1);
 (2)條件中若有一對等角,可再找一對等角[用判定(1)]或再找夾邊成比例[用判定(2)];
(3)條件中若有兩邊對應(yīng)成比例,可找夾角相等;
(4)條件中若有一對直角,可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例;
(5)條件中若有等腰條件,可找頂角相等,或找一個底角相等,也可找底和腰對應(yīng)成比例.

【易錯警示】應(yīng)注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例,若已知△ABC∽△DEF,列比例關(guān)系式時,對應(yīng)字母的位置一定要寫正確,才能得到正確的答案.
如:ABBC=DEEF,此式正確.那么想一想,哪種情況是錯誤的呢?請舉例說明.

  相似多邊形
8.定義:對應(yīng)角__相等__,對應(yīng)邊__成比例__的兩個多邊形叫做相似多邊形,相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比.
9.性質(zhì):
(1)相似多邊形的對應(yīng)邊__成比例__;
(2)相似多邊形的對應(yīng)角__相等__;
(3)相似多邊形周長的比__等于__相似比,相似多邊形面積的比等于__相似比的平方__.
  位似圖形
10.定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),對應(yīng)邊互相平行(或在同一條直線上),那么這樣的兩個圖形叫做__位似圖形__,這個點(diǎn)叫做__位似中心__,相似比叫做位似比.
11.性質(zhì):
(1)在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為中心,相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的 比等于__k或-k__;
(2)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于__位似比或相似比__.
12.找位似中心的方法:將兩個圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來,若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn),則該點(diǎn)即是__位似中心__.
13.畫位似圖形的步驟:
(1)確定__位似中心__;
(2)確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn);
(3)確定__位似比__,即要將圖形放大或縮小的倍數(shù);
(4)作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn);
(5)按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點(diǎn).


  ,中考重難點(diǎn)突破)
  比例的性質(zhì)
【例1】已知a5=b4=c3,且3a-2b+c=20,則2a-4b+c的值為________.
【解析】比例的性質(zhì)中常見題型,把a(bǔ),b,c用含有相同字母的式子表達(dá)出來,再代入解方程即可.
【答案】-6
 
1.(2018年滄州十三中一模)若x∶y=1∶3,2y=3z,則2x+yz-y的值是( A )
                  

A.-5  B.-103  C.103  D.5
  相似三角形的判定與性質(zhì)
【例2】(茂名中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒3 cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動,同時動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒2 cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,運(yùn)動時間為t s0<t<103,連接MN.
(1)如圖①,若△BMN與△ABC相似,求t的值;
(2)如圖②,連接AN,CM,若AN⊥CM,求t的值.
 
【解析】(1)△BMN與△ABC相似,分兩種情況:△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA,得對應(yīng)線段成比例,求得t的值;(2)過點(diǎn)M作MD⊥BC于點(diǎn)D,把BM,DM,BD,CN用t表示后,CD就可用t表示,證得△CAN∽△DCM,得對應(yīng)線段成比例,得關(guān)于t的方程,求出t的值.
【答案】解:(1)由題意知BA=62+82=10(cm),BM=3t cm,CN=2t cm,
∴BN=(8-2t)cm.
①當(dāng)△BMN∽△BAC時,有BMBA=BNBC,
∴3t10=8-2t8,解得t=2011;
②當(dāng)△BMN∽△BCA時,有BMBC=BNBA,
∴3t8=8-2t10,解得t=3223.
∴當(dāng)△B MN與△ABC相似時,t的值為2011或3223;
(2)如圖②,過點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D.
由題意得BM=3t cm,CN=2t cm,
DM=BM•s inB=3t•610=95t(cm),
BD=BM•cosB=3t•810=125t(cm),
∴CD=8-125tcm.
∵AN⊥CM,∠ACB=90°,
∴∠CAN+∠ACM=90°,∠MCD+∠ACM=90°,
∴∠CAN=∠MCD.
∵M(jìn)D⊥CB,∴∠MDC=∠ACB=90°,
∴△CAN∽△DCM.∴ACCD=CNDM,
∴68-125t=2t95t,解得t=1312.

 
2.如圖,不等 長的兩對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且將四邊形ABCD分成甲、乙、丙、丁四個三角形,若OA ∶OC=OB∶OD=1∶2,則關(guān)于這四個三角形的關(guān)系,下列敘述中正確的是( B )
 
A.甲、丙相似,乙、丁相似
B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似
D.甲、丙不相似,乙、丁不相似
3.(自貢中考)如圖,在△ABC中,D,E分別為AB,AC邊的中點(diǎn),求證:DE?12BC.
 
證明:∵D是AB的中點(diǎn),E是AC的中點(diǎn),
∴ADAB=12,AEAC=12,
∴ADAB=AEAC.
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
∴ADAB=DEBC=12,∠ADE=∠B,
∴BC=2DE,BC∥DE,
即DE?12BC.
  位似圖形
 
【例3】(2018承德二中模擬)如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),邊OA在x軸上,OC在y軸上,如果矩形OA′B′C ′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似,且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的14,那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是( D )
A.(-2,3)
B.(2,-3)
C.(3,-2)或(-2,3)
D.(-2,3)或(2,-3)
【解析】在第二象限與第四象限分別能畫出符合條件的矩形OA′B′C′.
【答案】D
 
4.(2018滄州八中二模)如圖, △OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,相似比為1∶2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( B )
 
A.(1,2)
B.(1,1)
C.(2,2)
D.(2,1)
 


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