本文以兩道含有45º角的中考試題為載體,分析這類問題的共同特點和解法,供同學(xué)們參考.
一、試題呈現(xiàn)
題1 (2018年麗水中考題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系 中, 直線 分別交 軸, 軸于 、 兩點,已知點 .
(l)略;
(2)設(shè) 為線段 的中點,連結(jié) , 若 ,則 的值是 .
題2 (2 017年金華中考題)如圖2,已知點 和點 ,點 在反比例函數(shù) 的圖象上.作射線 ,再將射線 繞點 按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)45º,交反比例函數(shù)的圖象于點 ,則點 的坐標(biāo)是 .
上面的兩道中考填空題,雖然形式上不太一樣,但是有著一個共同的特點,都存在一個45º的特殊角.因此,如何利用45º角成為了解題的突破口,45º角的兩邊與 軸的交點都形成了一個類似的三角形,因此這兩道 題有著如下的共同 解法.
二 、共同解法展示
1.構(gòu)造“一線三等角”,利用相似三角形
麗水題解法1 如圖3,在 軸截取 ,此時 ,可以證得
, .
進而得到方程 ,
解得 .
金華題解法1 如圖4,過點 作等腰直角 ,作 ,連結(jié) ,易得
, .
設(shè) ,
可以證得 ,
得 ,
∴ ,
解得 ,
∴ .
求出 的解析式為 ,
再與 聯(lián)列方程,得到 點坐標(biāo)為 .
分析 “一線三等角”是一種常見的建立三角形相似的方法.該模型在這兩小題的應(yīng)用中看上去有些異常,一個只有兩等角,另一個根本不存在等角,所以我們利用45º的角去構(gòu)造等腰直角三角形,形成“一線三等角”的基本模型,再利用相似三角形的基本 性質(zhì)列出方程.
2.構(gòu)造“三垂型”模型,利用全等三角形
麗水題解法2 如圖5,過點 作 ,交 于點 ,再作 軸,易得
,
∴ , ,
.
∵ ,
∴ ,
列出方程 ,
解得 .
金華題解法2 如圖6,過點 作 ,構(gòu)造如圖所示的輔助線,易得
.
設(shè) 的坐標(biāo)為 ,
可得 , .
因為點 在直線 上,可以求得點 的坐標(biāo)為 ,
進而求得 , .
∵ ,
∴ ,列出方程2:
,
解得 ( 舍去).
所以點 的坐標(biāo)為 .
分析 “三垂型”模型是一個基本圖形.該模型不僅可以找到全等的三角形,也可以用來證明勾股 定理.看到45º角可以構(gòu)造等腰直角三角形,進而形成“三垂型”模型.
3.構(gòu)造“角平分線”,運用內(nèi)角平分線的性質(zhì)
預(yù)備知識:如圖7, 是 的角平分線,則有 (證略).
麗水題解法3 如圖8,過點 作 .
∵ ,所以 為 的角平分線,
∴ ’
∵ ,并且求出 的坐標(biāo) ,
可得 ,
解得 .
金華題解法3 如圖9,方法同上.
分析 由于45º是90 º的一半,構(gòu)造了角平分線,恰好可以利用三角形內(nèi)角平分線的基本性質(zhì),45º這一條件,讓人產(chǎn)生了很多遐想,補全直角也是一種常見的手段.
4.構(gòu)造“正方 形”,借用正方形旋轉(zhuǎn)
預(yù)備知識:如圖10,正方形 ,點 、 分別在 和 上,且 ,求證: .(證略)
麗水題解法4 如圖11,過點 構(gòu)造正方形 .
, ,
根據(jù)預(yù)備知識得到
.
又∵ ,在 中有
,
解得 .
金華題解法4 如圖12 ,∵ ,
∴ , .
設(shè)點 為 ,
則 , .
利用預(yù)備知識,
可得 .
在直角 中,
,
解得 ,得 到 .
分析 “半角模型”也是一種常見的基本圖形,這類問題一般利用旋轉(zhuǎn)完成,可以得到全等三角形, 進而得到線段之間的關(guān)系.
5.構(gòu)造 “三角形的高”,回到勻股定理
麗水題解法5 如圖13,作 ,可知 為等腰直角三角 形.
由 ,
,
易得 ,
.
在 中,利用勾股定理,得
,
解得 .
金華題解法5 如圖14,作 (后面計算可得 和 重合).
設(shè) ,則 , , .
又∵ ,
得到 ,
∴ ,
∴ .
分析遇到直角問題,有時要回歸到勾股定理,利用勾股定理能夠列出方程.尤其在折疊問題中,我們經(jīng)常會利用勾股定理構(gòu)造方程.本題中依靠 構(gòu)造等腰直角三角形,同時得到 ,一箭雙雕.
6.構(gòu)造“四點共圓”,運用兩點間的距離公式
麗水題解法6 如圖15,以 為直角 邊構(gòu)造等腰直角 .
∵ ,
所以 、 、 、 四點共圓,且以 為直徑, 為圓心.
∵ , , ,
根據(jù) ,可得
,
解得 .
金華題解法6如圖 16,方法同上.
分析“四點共圓”是一種常見的基本圖形,它可以運用同弧所對的圓周角相等,半徑相等直徑所對的圓周角是直角等一系列知識點,靈活多變.
三、解題后的反思
1.明確解題方向,確定解題途徑
這兩道中考題都是以函數(shù)為載體的幾何問題,以上的解法都充分利用了數(shù)形結(jié)合,把題中的“形”轉(zhuǎn)化為運算,達(dá)到“化形為數(shù) ”的目的,這是解決問題的關(guān)鍵所在,也是基本思
路,有了這些基本思路就有了解決問題的方向在解決函數(shù)中的幾何問題時,一定要充分利用幾何的基本性質(zhì),抓住問題表象中的隱含條件,利用幾何性質(zhì)的同時結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)計算,達(dá)到幾 何與代數(shù)的完美結(jié)合.上述解法中的勾股定理和三角形的相似與全等,等腰直角三角形的性質(zhì)的運用,既在意料之外,又在情理之中,順其自然,水到渠成.
2.抓住問題本質(zhì),學(xué)會異中求同
以上兩道題目看似不同,卻有著共同的本質(zhì), 可以稱得上是多題一解.數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化,僅僅依靠題海戰(zhàn)術(shù)是很難抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì),盲目地做題還不如靜下心來去思考.我們應(yīng)該由表及里,發(fā)現(xiàn)題與題之間的內(nèi)在聯(lián)系,抓住問題的本質(zhì)達(dá)到有效的解題.一題多解能拓展思維 的廣度 ,多題一解更能挖掘思維的深度,因此,我們在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,要兩者兼顧,做到收放自如.
3.活用解題模型,呈現(xiàn)多樣解法
基本圖形是解決綜合性幾何問題的一個很好的突破口,從復(fù)雜的圖形中抽出簡單的圖形,利用基本圖形的性質(zhì)往往可以化難為易,順利得解.我們要通過解題教學(xué),達(dá)到“學(xué)會思考”這一核心的教學(xué)理念,注重解題的方法 ,加強知識之間的遷移,從而提高解題能力.
本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/1111818.html
相關(guān)閱讀:2018中考總復(fù)習(xí)第1編教材知識梳理篇第7章圓(共6份)