完美的正方形

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 八年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
第十六講 完美的正方形
有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形,換句話說:正方形是各邊都相等的矩形,正方形是各角都相等的菱形,正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的一切性質(zhì).
矩形、菱形,正方形都是特殊的四邊形,它們的概念交錯(cuò),關(guān)系復(fù)雜,性質(zhì)有許多相似之處,一些判定和性質(zhì)定理又是可逆的,所以在學(xué)習(xí)中注重概念的理解,著眼于概念間的區(qū)別與聯(lián)系.
連正方形的對角線,能得到特殊三角形、全等三角形,由于正方形常常與直角三角形聯(lián)系在一起,所以在解有關(guān)正方形問題時(shí)要用到直角三角形性質(zhì),具有代 數(shù)風(fēng)格,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.熟悉以下基本圖形,基本結(jié)論:
例題求解
【例1】如圖,若四邊形ABCD是正方形,△CDE是等邊三角形,則∠EA B的度數(shù)為
.(北京市競賽題)
思路點(diǎn)撥 圖中還有等腰三角形,利用等腰三角形性質(zhì)計(jì)算.

注 可以證明,在所有用長相等的四邊形中,正方形的面積最大.
我們熟悉的“七巧板”,那是把一塊正方形板切分成三角形、正方形、平行四邊形的7塊,用它可以拼出許多巧妙的圖形,“七巧板”是我國古代人民智慧的結(jié)晶.
【例2】 如圖,在正方形ABCD中,O是對角線AC、BD的交點(diǎn),過O作OC⊥OF,分別交AB、BC于E、F,若AE=4 ,CF=3,則EF的長為( )
A.7 B.5 C.4 D.3
(江蘇省泰州市中考題)

思路點(diǎn)撥 AE、CF、EF不在同一個(gè)三角形中,運(yùn)用全等三角形尋找相等的線段,使分散的條件集中到同一個(gè)三角形中.
【例3】 如圖,正方形ABCD中,E、F是AB、BC邊上兩點(diǎn),且EF=AC+FC,DG⊥EF于G,求證:DC=DA.
(重慶市競賽題)

思路點(diǎn)撥 構(gòu)造AE+FC的線段是解本例的關(guān)鍵.
【例4】 已知正方形ABCD中,M是AB的中點(diǎn),E是AB延長線上一點(diǎn),MN⊥DM且交∠CBZ的平分線于N(如圖甲).
(1)求證:MD=MN
(2)若將上述條件中的“M是AB中點(diǎn)”改為“M是AB上的任意一點(diǎn)”,其余條件不變(如圖乙),則結(jié)論“MD=MN”還成立嗎?如果成立,請證明:如果不成立,請說明理由.
(上海市閩行區(qū)中考題)
思路點(diǎn)撥 對于圖甲,取AD中點(diǎn)F,通過構(gòu)造全等三角形證明MD=MN;這種證法能否遷移到圖乙情景中去?從而作出正確的判斷.
注 探索是學(xué)習(xí)的生命線,深入探究、學(xué)會(huì)探索是時(shí)代提出的新要求.?dāng)?shù)學(xué)解題中的探索活動(dòng)可從以下幾個(gè)方面進(jìn)行:
(1)在題設(shè)條件不變情況下,發(fā)現(xiàn)挖掘更多的結(jié)論;
(2)通過強(qiáng)化或弱化來改變條件,考查結(jié)論是否改變或?qū)で笮碌慕Y(jié)論;
(3)構(gòu)造逆命題.
對于例3,請讀者思考,在不改變題設(shè)條件的前提下,
(1)∠EDF等于多少度?
(2)怎樣證明明逆命題?
例4改變點(diǎn)的位置,賦以運(yùn)動(dòng),從特殊到一般,(1)的結(jié)果為(2)的猜想提供了借鑒的依據(jù),又為猜想設(shè)置了障礙,前面的證明思路是后面的證明模式.
【例5】 操作:將一把三角尺放在邊長為l的正方形ABCD上,并使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑動(dòng),直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q.
探究:設(shè)A,P兩點(diǎn)間的距離為x
(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí),線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你觀察得到的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí),設(shè)四邊形PBCQ的面積為y,求y與x之間的關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(3)當(dāng) 點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí),△PCQ是否可能成為等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置,并求出相應(yīng)的x的值;
如果不可能,試說明理由(圖1、圖2、圖3的形狀大小相同,圖1供操作、實(shí)驗(yàn)用,圖2、圖3備用).
思路點(diǎn)撥 本例是探究式的操作型試題,第(1)問需抓住滑動(dòng)中∠BPQ是直角這一不變量,畫出滑動(dòng)中一般情形的圖形,通過觀察提出猜想,再給予論證,第(3)問需要在操作中觀察出使△PCQ是等腰三角形的兩種情形.
注 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)生動(dòng)活潑的過程,動(dòng)手實(shí)踐,自主探索是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要形式,它說明了存在的事實(shí)是怎樣被發(fā)現(xiàn)和被發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象又是怎樣獲得證實(shí)的,解這類問題,需邊操作,邊觀察、邊思考,綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)方法探究結(jié)論.
學(xué)力訓(xùn)練
1.如圖,P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP′重合,若PB=3,則PP′= . 河南省中考題)
2.如圖,正方形ABCD中,E為CD邊上一點(diǎn),F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn),CE=CF,若∠BEC=60°,則∠EFD的度數(shù)為 . (蘇州市中考題)
3.如圖,∠POQ=90°,邊長為2?的正方形ABCD的頂點(diǎn)B在OP上,C在OQ上,且∠OBC=30°,則A、D到OP的距離分別為 . (南京市中考題)

4.如圖,正方形ABCD中,CE⊥MN,若∠MCE=35°,則∠ANM的度數(shù)是 .
5.如圖,E是邊長為l的正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn),且BE=BC,P為CE上任意一點(diǎn),PQ⊥BC于點(diǎn)Q,PR⊥BE于點(diǎn)R,則PQ+PR的值為( ) (河北省中考題)

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