高三數(shù)學(xué)不等式、推理與證明測試

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

章末綜合測(11)不等式、推理與證明
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符號題目要求的)
1.已知a,b,c∈R,那么下列命題中正確的是(  )
A.若a>b,則ac2>bc2 B.若ac>bc,則a>b
C.若a3>b3且ab<0,則1a>1b D.若a2>b2且ab>0,則1a<1b
 解析 C 當c=0時,可知選項A不正確;當c<0時,可知B不正確;由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以1a>1b成立;當a<0且b<0時,可知D不正確.
2.若集合A={xx-2≤3,x∈R},B={yy=1-x2,x∈R},則A∩B=(  )
A.[0,1] B.[0,+∞)
C.[-1,1] D.∅
 解析 C 由x-2≤3,得-1≤x≤5,即A={x-1≤x≤5};B={yy≤1}.故A∩B=[-1,1].
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在驗證n=1時,左邊計算所得的式子為(  )
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
 解析 D 當n=1時,左邊=1+2+22+23.
4.已知x,y,z∈R+,且xyz(x+y+z)=1,則(x+y)(y+z)的最小值是(  )
A.1 B.2
C.3 D.4
 解析 B ∵(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz=y(tǒng)(x+y+z)+xz=y(tǒng)×1xyz+xz=1xz+xz≥21xz•xz=2,當且僅當xz=1,y(x+y+z)=1時,取“=”,
∴(x+y)(y+z)min=2.
5.要證a2+b2-1-a2b2≤0,只要證明(  )
A.2ab-1-a2b2≤0 B.a(chǎn)2+b2-1-a4+b42≤0
C.a+b22-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0
 解析 D 因為a2+b2-1-a2b2≤0&hArr 高中政治;(a2-1)(b2-1)≥0,故選D.
6.對于平面α和共面的直線m、n,下列命題為真命題的是(  )
A.若m⊥α,m⊥n,則n∥α B.若m∥α,n∥α,則m∥n
C.若m⊂α,n∥α,則m∥n D.若m、n與α所成的角相等,則m∥n
 解析 C 對于平面α和共面的直線m,n,真命題是“若m⊂α,n∥α,則m∥n”.
7.若不等式2x2+2kx+k4x2+6x+3<1對于一切實數(shù)都成立,則k的取值范圍是(  )
A. (-∞,+∞) B. (1,3)
C. (-∞,3) D. (-∞,1)∪(3,+∞)
 解析 B ∵4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+34≥34,
∴不等式等價于2x2+2kx+k<4x2+6x+3,
即2x2+(6-2k)x+3-k>0對任意的x 恒成立,
∴Δ=(6-2k)2-8(3-k)<0,∴1<k<3.
8.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0)滿足f(m)<0,則f(m+1)的符號是(  )
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
 解析 C ∵f(x)的對稱軸為x=-12,f(0)=a>0,
∴由f(m)<0,得-1<m<0, ∴m+1>0,∴f(m+1)>f(0)>0.
9.已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值是(  )
A.2 B.22
C.4 D.5
 解析 C ∵a>0,b>0, ∴1a+1b+2ab≥21ab+2ab≥4,
當且僅當a=b=1時取等號,∴1a+1b+2abmin=4.
10.使不等式log2x(5x-1)>0成立的一個必要不充分條件是(  )
A.x>12 B.15<x<25或x>12
C.15<x<1 D.0<x<12或x>12
 解析 D log2x(5x-1)>0⇔
5x-1>0,2x>1,5x-1>1或5x-1>0,0<2x<1,5x-1<1⇔x>15,x>12,x>25或x>15,0<x<12,x<25,
∴x>12或15<x<25. 由x>12或15<x<25成立,可得x>12 或0<x<12成立,反之不成立,故選D.
11.假設(shè)f(x)=x2-4x+3,若實數(shù)x、y滿足條件f(y)≤f(x)≤0,則點(x,y)所構(gòu)成的區(qū)域的面積等于(  )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
 解析 B 由f(y)≤f(x)≤0可得fy≤fx,fx≤0,即1≤x≤3,x-yx+y-4≥0,
畫出其表示的平面區(qū)域如圖所示,可得面積S=2×12×2×1=2,故選B.

12.設(shè)x,y 滿足約束條件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,則2a+3b的最小值為(  )
A.256 B.83
C.113 D.4
 解析 A 作出可行域(四邊形OBAC圍成的區(qū)域,包括邊界)如圖,作出直線l:ax +by=0,當直線l經(jīng)過點A時,z=ax+by取得最大值.

解x-y+2=0,3x-y-6=0,得點A(4,6),∴4a+6b=12,即a3+b2=1,
∴2a+3b=2a+3ba3+b2=23+32+ab+ba≥23+32+2=256,當且僅當a =b時取等號.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)
13.已知等差數(shù)列{an}中,有a11+a12+…+a2010=a1+a2+…+a3030,則在等比數(shù)列{bn}中,會有類似的結(jié)論:___ _____.
 解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,b1b30=b2b29=…=b11b20,∴10b11b12…b20=30b1b2…b30 .
【答案】 10b11b12…b20=30b1b2…b30
14.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x-y+4≥0,x+y≥0,x≤3,則z=4x2-y的最小值為________.
 解析 作出不等式組所表示的可行域(圖略),z=4x2-y=22x•2y=22x+y,令ω=2x+y,可求得ω=2x+y的最小值是-2,所以z=4x2-y的最小值為2-2=14.
【答案】 14
15.某公司租地建倉庫,每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比.如果在距離車站10 km處建倉庫,這項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那 么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站________ km處.
 解析 設(shè)倉庫建在離車站d km處,
由已知y1=2=k110,得k1=20,∴y1=20d. 由y2=8=10k2,得k2=45,∴y2=45d.
∴y1+y2=20d+4d5≥220d•4d5=8,當且僅當20d=4d5,即d=5時,費用之和最。
【答案】 5
16.在不等邊三角形中,a為最大邊,要想得到∠A為鈍角的結(jié)論,三邊a,b,c應(yīng)滿足________.
 解析 由余弦定理cos A=b2+c2-a22bc<0,所以b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.
【答案】 a2>b2+c2
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)已知表中的對數(shù)值有且只有兩個是錯誤的.
x 1.5 3 5 6
lg x 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-c
x 7 8 9 14 27
lg x 2(a+c) 3(1-a-c) 2(2a-b) 1-a+2b 3(2a-b)
(1)假設(shè)上表中l(wèi)g 3=2a-b與lg 5=a+c都是正確的,試判斷l(xiāng)g 6=1+a-b-c是否正確?給出判斷過程;
(2)試將兩個錯誤的對象值均指出來并加以改正(不要求證明).
 解析 (1)由lg 5=a+c得lg 2=1-a-c,
∴lg 6=lg 2+lg 3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c,
滿足表中數(shù)值,即lg 6在假設(shè)下是正確的.
(2)lg 1.5與lg 7是錯誤的,
正確值應(yīng)為lg 1.5=lg32=lg 3-lg 2=2a-b-1+a+c=3a-b+c-1.
lg 7=lg 14-lg 2=1-a+2b-1+a+c=2b+c.
18.(12分)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集為(-1,3),求實數(shù)a、b的值.
 解析 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,
∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0
即a2-6a-3<0,解得3-23<a<3+23.
∴不等式解集為{a3-23<a<3+23}.
(2)f(x)>b的解集為(-1,3),
即方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的兩根為-1,3,
∴2=a6-a3,-3=-6-b3, 解得a=3±3,b=-3.
19.(12分)(2011•南京模擬)已知數(shù)列{an}滿足a 1=0,a2=1,當n∈N*時,an+2=an+1+an.求證:數(shù)列{an}的第4m+1(m∈N*)項能被3整除.
 解析 (1)當m=1時,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a 1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.
即當m=1時,第4m+1項能被3整除.命題成立.
(2)假設(shè)當m=k時,a4k+1能被3整除,則當m=k+1時,
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.
顯然,3a4k+2能被3整除,又由假設(shè)知a4k+1能被3整除,
∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除.
即當m=k+1時,a4(k+1)+1也能被3整除.命題也成立.
由(1)和(2)知,對于任意n∈N*,數(shù)列{an}中的第4m+1(m∈N*)項能被3整除.
20.(12分)設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+ax+a,方程 f(x)-x=0的兩根x1和x2滿足0<x1<x2<1.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)試比較f(0)f(1)-f(0)與116的大小,并說明理由.
 解析 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,
由題意可得Δ>0,0<1-a2<1,g1>0,g0>0⇔a<3-22或a>3+22,-1<a<1,a>0
⇔0<a<3-22,
故實數(shù)a的取值范圍是(0,3-22).
(2)f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,
令h(a)=2a2,∵當a>0時,h(a)單調(diào)遞增,
∴當0<a<3-22時,0<h(a)<h(3-22)=2(3-22)2=2(17-122)=2×117+122<116,
即f(0)f(1)-f(0)<116.
21.(12分)已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,a1=1,且點(an,an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=x2+1的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=bn+2an,求證:bn•bn+2<b2n+1.
 解析 (1)由已知得an+1=an+1,則an+1-an=1,又a1=1,所以數(shù)列{an}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列.故an=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)知,an=n,從而bn+1-bn=2n.
當n≥2時,
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.
又b1=1也適合上式,所以bn=2n-1,
bn•bn+2-b2n+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2•2n+1+1 )
=-2n<0.
所以bn•bn+2<b2n+1.
22.(12分)某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物,6個單位蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物,42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元,那么滿足上述的營養(yǎng)要求,并且花費最少,應(yīng)當為該兒童分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐?
 解析 設(shè)該兒童分別預(yù)定x,y個單位的午餐和晚餐,共需z元,則z=2.5x+4y.
可行域為12x+8y≥64,6x+6y≥42,6x+10y≥54,x≥0,y≥0,即3x+2y≥16,x+y≥7,3x+5y≥27,x≥0,y≥0,
作出可行域如圖陰影部分所示,所以當x=4,y=3時,花費最少,zmin=22元.

因此,分別預(yù)定4個單位午餐和3個單位晚餐,就滿足要求了.

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