向量進(jìn)入高中教材以后,為用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具,它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”,融數(shù)形于一體.但是它和以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)運(yùn)算有很大的不同,致使很多學(xué)生感到困難,老師一直強(qiáng)調(diào)向量和數(shù)量的區(qū)別是既有大小又有方向,可是很多學(xué)生產(chǎn)生了這樣的疑問(wèn):這個(gè)既有大小又有方向的向量不能存在除法嗎?為什么課本里只出現(xiàn)了乘法?對(duì)于這個(gè)問(wèn)題很多老師的回答是就這樣規(guī)定的或者這個(gè)問(wèn)題等你們以后上了大學(xué)才會(huì)研究,現(xiàn)在不需要知道.這樣的回答顯然不能使學(xué)生滿意,下面就說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題.
一、數(shù)學(xué)中如何理解除法
除法的定義:已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù),求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算.除法是乘法的逆運(yùn)算,如果存在乘法的逆運(yùn)算,那么除法就存在.
逆運(yùn)算的定義:運(yùn)算是一種對(duì)應(yīng)法則.設(shè)A是一個(gè)非空集合,對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素a,b,根據(jù)某種法則使A中有唯一確定的元素c與它們對(duì)應(yīng),就說(shuō)這個(gè)法則是A中的一種運(yùn)算.這樣,給了A的任意兩個(gè)元素a和b,通過(guò)所給的運(yùn)算,可以得到一個(gè)結(jié)果c.反過(guò)來(lái),如果已知元素c,以及元素a,b中的一個(gè),按照某種法則,可以得到另一個(gè)元素,這樣的法則也定義了一種運(yùn)算,這樣的運(yùn)算叫做原來(lái)運(yùn)算的逆運(yùn)算.逆運(yùn)算的過(guò)程也就是求解逆元的過(guò)程.
設(shè)G是一數(shù)域,對(duì)于乘法運(yùn)算“·”有
證:設(shè)方程的解為x=a',y=a″,即有aa'=1和a″a=1.
因?yàn)閍'=1·a'=(a″a)a'=a″(aa')=a″·1=a″,所以aa'=a′a=1即a在G中的逆元是唯一確定的.
二、分析向量乘法的逆運(yùn)算
這里可以采用“假設(shè)”的方法.假設(shè)的方法,就是在不知道某判斷是否正確的時(shí)候,先認(rèn)為它是正確的,以此為前提(條件)進(jìn)行推理,看一看推理的結(jié)果是否正確,如果正確.說(shuō)明這個(gè)判斷是真的,如果推理的結(jié)論不正確,說(shuō)明這個(gè)判斷是假的[2].那么現(xiàn)在假設(shè)向量存在除法,下面從向量數(shù)量積和向量積的逆運(yùn)算分別展開(kāi)證明,可以得出向量的除法是否存在
1.向量的乘法
數(shù)量積的定義:兩個(gè)非零向量的夾角記為〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量,記作a·b.若a,b不共線,則a·b=|a||b|cos〈a,b〉;若a,b共線,則a·b=±|a||b|.
向量積的定義:兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量,記作a×b.若a,b不共線,則a×b的模是:|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0[3].
2.數(shù)量積的逆運(yùn)算
假設(shè)數(shù)量積存在除法,設(shè)向量a,x的乘積為m,則=x,因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算,所以a·x=m,由定義可得:兩個(gè)向量的數(shù)量積等于一個(gè)向量的模乘以另一個(gè)向量在此向量上的射影,那么如果把a(bǔ)固定不變,改變x的方向和大小,發(fā)現(xiàn)有無(wú)數(shù)個(gè)向量的射影等于原來(lái)x在a上的射影,即乘積不變.那么向量x的解是無(wú)窮多的,即向量的商不是唯一確定的.
這個(gè)結(jié)論可以從直觀上去觀察.如圖1:
舉例證明:
取兩個(gè)互相垂直的向量a和b,即a和b的夾角為90°,則a·b=0;再取一個(gè)向量c,根據(jù)向量與實(shí)數(shù)的乘積仍然是個(gè)向量,可以讓c=(d+λb);則a·c=a(d+λb)=a·d+a·λb,因?yàn)閍·b=0,所以a·c=a(d+λb)=a·d+0=a·d,即=c,又因?yàn)棣丝梢匀∪我庵?那么向量c就不能唯一確定,即向量的商為一個(gè)不確定的向量.
3.向量積的逆運(yùn)算
同理,假設(shè)向量積存在除法,因?yàn)橄蛄糠e的結(jié)果是一個(gè)向量,所以設(shè)a,x的乘積為m,則=x,根據(jù)逆運(yùn)算可得a·x=m.由定義可知:向量積的�？梢钥醋髌叫兴倪呅蔚拿娣e,假定a是不變的,那么變化x的長(zhǎng)度和方向,也可以得到相同面積的平行四邊形,顯然這樣的x是無(wú)窮多的,同樣可以得到向量的商不是唯一確定的結(jié)論.
這個(gè)結(jié)論也可以從直觀上去觀察,如圖2:
舉例證明:
這里我們?nèi)蓚�(gè)互相平行的向量a和b,即a和b的夾角為0°,則a×b=0;同理,再取一個(gè)向量c,讓c=(d+λb);則a×c=a×(d+λb)=a×d+a×λb,因?yàn)閍×b=0,所以a×c=a×(d+λb)=a×d+0=a×d,即=c,已知λ可以取任意值,那么向量c依然不是唯一確定的.
綜上所述,運(yùn)用乘法的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算所得到的結(jié)果均是不確定的,因此向量的除法是不存在的.有人又產(chǎn)生了這樣的疑問(wèn),不確定的結(jié)果為什么就不能作為商呢?下面從數(shù)學(xué)推理和函數(shù)的角度來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.
三、數(shù)學(xué)的確定性
1.數(shù)學(xué)推理的確定性
正確的推理加上正確的前提條件可以使人們做出正確的判斷,得到正確的結(jié)論.數(shù)學(xué)推理往往從一些不證自明的定理出發(fā)推出其他定理的正確性,這表明演繹推理的前提條件是確定的,那么由此推導(dǎo)出的結(jié)論必然具有確定性[4].
數(shù)學(xué)家S.T.Sanders的研究表明:目前普遍認(rèn)可的數(shù)學(xué)特征是:推理的確定性和結(jié)論的一致性.很顯然,只有存在數(shù)學(xué)的確定性,才意味著根據(jù)此結(jié)論推導(dǎo)出來(lái)的其他結(jié)論也是確定的.他認(rèn)為,在推理過(guò)程中只要具備以下幾個(gè)條件就可以說(shuō)明推理的過(guò)程和結(jié)論具有確定性.
(1)每一個(gè)被應(yīng)用的元素(數(shù)、量或者運(yùn)算),有且只有一個(gè)確定的值;
(2)這些符號(hào)所代表的值是被普遍接受的;
(3)每一個(gè)運(yùn)算符號(hào)都有唯一確定的意義;
(4)這些運(yùn)算符號(hào)的意義也被普遍接受;
(5)模糊的或者不確定的元素不能出現(xiàn)在推理過(guò)程中.
如果忽視這些因素或者不承認(rèn)這些因素,那么整個(gè)推理過(guò)程就不存在確定性.從古至今演繹推理(也稱三段論法)是人們進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ),在演繹推理過(guò)程中出現(xiàn)絲毫的不確定,數(shù)學(xué)家們都將致力修正.現(xiàn)在用三段論法進(jìn)行推理,檢驗(yàn)向量的除法能否存在.
三段論的推理模式為:
(1)大前提
(2)小前提
(3)結(jié)論
人們都認(rèn)可的一個(gè)大前提是:如果兩個(gè)除法算式的被除數(shù)和除數(shù)都相等,那么算式的商也相等.
對(duì)于向量的除法小前提可以分為兩種情況,第一種:被除數(shù)為實(shí)數(shù),第二種:被除數(shù)為向量.
在這個(gè)推理過(guò)程中,由同一個(gè)假設(shè)得到了兩個(gè)結(jié)論,違背了運(yùn)算結(jié)果的唯一性原則,導(dǎo)致數(shù)學(xué)推理的不確定性,因此向量除法是不能存在的.
2.函數(shù)的確定性
從函數(shù)的角度也可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題,先看一下函數(shù)的定義:
函數(shù)的傳統(tǒng)定義:在某一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y,如果對(duì)于在某一個(gè)范圍內(nèi)的任一個(gè)x的值,都有唯一的y值與它對(duì)應(yīng),則稱y是x的函數(shù),x叫做自變量,y叫做因變量.
近代定義:給定兩個(gè)集合A和B,若對(duì)于A中的每一個(gè)元素x,按照某一對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在B中都有唯一確定的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng),則稱f為集合A上的一個(gè)函數(shù),記作f:A→B.集合A為函數(shù)的定義域,與A中元素對(duì)應(yīng)的B中元素y構(gòu)成的集合成為函數(shù)的值域.
函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)上是一致的,傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā),而近代定義是在從集合的觀點(diǎn)出發(fā),其實(shí)質(zhì)都是從非空集合A到非空集合B的一個(gè)特殊的對(duì)應(yīng).對(duì)于非空集合A中每一個(gè)確定的值,非空集合B中都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).自變量和因變量只能是一對(duì)一的關(guān)系或者多對(duì)一的關(guān)系,不可能是一對(duì)多的關(guān)系,這是因?yàn)楹瘮?shù)的概念是從運(yùn)動(dòng)的研究中產(chǎn)生的,每個(gè)時(shí)刻只能對(duì)應(yīng)一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài),不可能對(duì)應(yīng)多種狀態(tài),所以函數(shù)具有唯一確定性.
這里可把除法運(yùn)算看作一個(gè)函數(shù),若m÷a=x,把商看作函數(shù)值,那么商是由被除數(shù)和除數(shù)這兩個(gè)自變量所唯一確定的,由兩個(gè)數(shù)確定一個(gè)數(shù),是二元函數(shù).只要被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生改變,那么會(huì)對(duì)應(yīng)得到另一個(gè)唯一確定的商.如果把被除數(shù)和除數(shù)中的一個(gè)固定了,那么可以把除法的運(yùn)算看作一元函數(shù),商就被另一個(gè)數(shù)所確定.可是在這兩種情況下,向量的除法均得不到唯一確定的函數(shù)值,違背了函數(shù)的唯一確定性.
綜上所述,從數(shù)學(xué)推理的確定性和函數(shù)確定性兩方面考慮,向量的除法是不可能存在的.確定性在數(shù)學(xué)運(yùn)算中是必不可少的,它是數(shù)學(xué)得以長(zhǎng)足發(fā)展的動(dòng)因和永恒的標(biāo)志.在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中,對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果的應(yīng)用就是對(duì)數(shù)學(xué)確定性的一種表示。
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaozhong/270075.html
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