¤學(xué)習目標:了解棱柱、棱錐、臺體的體積的計算公式(不要求記憶公式);能運用柱、錐、臺的體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.
¤知識要點:1. 體積公式:
體積公式體積公式
棱柱
圓柱
棱錐
圓錐
棱臺
圓臺
2. 柱、椎、臺之間,可以看成一個臺體進行變化,當臺體的上底面逐漸收縮為一個點時,它就成了錐體;當臺體的上底面逐漸擴展到與下底面全等時,它就成了柱體. 因而體積會有以下的關(guān)系:
.
¤例題精講:
【例1】一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面積分別是2、3、6,則長方體的體積是 .
解:設(shè)長方體的長寬高分別為 ,則 ,
三式相乘得 .
所以,長方體的體積為6.
【例2】一塊邊長為10 的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,試建立容器的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的定義域.
解:如圖,設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為 .
在 中, ,
所以 , 于是 .
依題意函數(shù)的定義域為 .
【例3】一個無蓋的圓柱形容器的底面半徑為 ,母線長為6,現(xiàn)將該容器盛滿水,然后平穩(wěn)緩慢地將容器傾斜讓水流出,當容器中的水是原來的 時,圓柱的母線與水平面所成的角的大小為 .
解:容器中水的體積為 .
流出水的體積為 ,如圖, .
設(shè)圓柱的母線與水平面所成的角為α,則 ,解得 .
所以,圓柱的母線與水平面所成的角的大小為60°.
點評:抓住流水之后空出部分的特征,它恰好是用一個平面去平分了一個短圓柱. 從而由等體積法可計算出高度,解直角三角形而得所求角.
【例4】在邊長為a的正方形中,剪下一個扇形和一個圓,分別作為圓錐的側(cè)面和底面,求所圍成的圓錐的體積.
解:剪下的扇形的弧長與剪下的圓的周長是相等的. 設(shè)扇形半徑為x,圓半徑為r,則
, ∴ x=4r , .
又 AB= , ∴ ,解得 .
圓錐的高 ,
∴ .
點評:求已知的平面圖形圍成的旋轉(zhuǎn)體的面積或體積的關(guān)鍵是正確分析平面圖形與其圍成的旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)量間的關(guān)系. 搞清平面圖形上的哪些量在旋轉(zhuǎn)體中不變,哪些發(fā)生了變化.
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