§3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型(1)
學習目標
1. 結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異；
2. 借助信息技術，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異；
3. 恰當運用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、列表）并借助信息技術解決一些實際問題.
前準備（預習教材P95~ P98，找出疑惑之處）
閱讀：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”
有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領了整個澳大利亞，數(shù)量達到75億只．可愛的兔子變得可惡起，75億只兔子吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀五十年代，科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．
典型例題
例1假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
方案一：每天回報40元；
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
方案三：第一天回報0 .4元，以后每天的回報比前一天翻一番．
請問，你會選擇哪種投資方案？
反思：① 在本例中涉及哪些數(shù)量關系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關系？
② 根據(jù)此例的數(shù)據(jù)，你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識？借助計算器或計算機作出函數(shù)圖象，并通過圖象描述一下三種方案的特點.
例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金 （單位：萬元）隨銷售利潤 （單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：
； ； .
問：其中哪個模型能符合公司的要求？
反思：
① 此例涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例實質(zhì)如何？
② 根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，如何判定所給的獎勵模型是否符合公司要求？
練1. 如圖，是某受污染的湖泊在自然凈化過程中，某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時間t（月）的近似函數(shù)關系： (t≥0，a>0且a≠1)．有以下敘述
①第4個月時，剩留量就會低于 ；
②每月減少的有害物質(zhì)量都相等；
③若剩留量為 所經(jīng)過的時間分別是 ，則 .
其中所有正確的敘述是 .
練2. 經(jīng)市場調(diào)查分析知，某地明年從年初開始的前 個月，對某種商品需求總量 (萬)近似地滿足關系 ．
寫出明年第 個月這種商品需求量 (萬)與月份 的函數(shù)關系式.
堂小結(jié)
1. 兩類實際問題：投資回報、設計獎勵方案；2. 幾種函數(shù)模型：一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)；3. 應用建模（函數(shù)模型）；
知識拓展
解決應用題的一般程序：
① 審題：弄清題意，分清條和結(jié)論，理順數(shù)量關系；
② 建模：將字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；
③ 解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；
④ 還原：將用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論，還原為實際問題的意義．
學習評價
1. 某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個……，現(xiàn)有2個這樣的細胞，分裂x次后得到的細胞個數(shù)y為（ ）.
A． B. y=2 C. y=2 D. y=2x
2. 某公司為了適應市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后增長越越慢，若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關系，可選用（ ）.
A. 一次函數(shù) B. 二次函數(shù)
C. 指數(shù)型函數(shù) D. 對數(shù)型函數(shù)
3. 一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關于腰長x的函數(shù)，它的解析式為（ ）.
A. y=20-2x （x≤10） B. y=20-2x （x<10） C. y=20-2x （5≤x≤10） D. y=20-2x（5<x<10）
4. 某新品電視投放市場后第1個月銷售100臺，第2個月銷售200臺，第3個月銷售400臺，第4個月銷售790臺，則銷量y與投放市場的月數(shù)x之間的關系可寫成 .
5. 某種計算機病毒是通過電子郵進行傳播的，如果某臺計算機感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時，這臺計算機都可能感染沒被感染的20臺計算機. 現(xiàn)在10臺計算機在第1輪病毒發(fā)作時被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時可能有 臺計算機被感染. （用式子表示）
后作業(yè)
1. 某服裝個體戶在進一批服裝時，進價已按原價打了七五折，他打算對該服裝定一新價標在價目卡上，并注明按該價20%銷售. 這樣，仍可獲得25%的純利. 求此個體戶給這批服裝定的新標價與原標價之間的函數(shù)關系.
2. 某書店對學生實行促銷優(yōu)惠購書活動，規(guī)定一次所購書的定價總額：①如不超過20元，則不予優(yōu)惠；②如超過20元但不超過50元，則按實價給予9折優(yōu)惠；③如超過50元，其中少于50元包括50元的部分按②給予優(yōu)惠，超過50元的部分給予8折優(yōu)惠．
（1）試求一次購書的實際付款y元與所購書的定價總額x元的函數(shù)關系；
（2）現(xiàn)在一學生兩次去購書，分別付款16.8元和42.3元，若他一次購買同樣的書，則應付款多少？比原分兩次購書優(yōu)惠多少？
§3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型(2)
學習目標
1. 結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異；
2. 借助信息技術，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異；
3. 恰當運用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、列表）并借助信息技術解決一些實際問題.
舊知提示 （預習教材P98~ P101，找出疑惑之處）
復習1：用石板圍一個面積為200平方米的矩形場地，一邊利用舊墻，則靠舊墻的一邊長為___________米時，才能使所有石料的最省.
復習2：三個變量 隨自變量 的變化情況如下表：
1357911
y15135625171536456633
y2529245218919685177149
y356.16.616.957.207.40
其中 呈對數(shù)型函數(shù)變化的變量是________，呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________，呈冪函數(shù)型變化的變量是________.
合作探究
探究：冪、指、對函數(shù)的增長差異
問題：冪函數(shù) 、指數(shù)函數(shù) 、對數(shù)函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性如何？增長有差異嗎？
實驗：函數(shù) ， ， ，試計算：
12345678
y1
y2
y3011.5822.322.582.813
由表中的數(shù)據(jù)，你能得到什么結(jié)論？
思考： 大小關系是如何的？增長差異？
結(jié)論：在區(qū)間 上，盡管 ， 和 都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大， 的增長速度越越快，會超過并遠遠大于 的增長速度．而 的增長速度則越越慢．因此，總會存在一個 ，當 時，就有 ．
典型例題
例1某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬，1.2萬，1.3萬，為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量 與月份的 關系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù) . 已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.
小結(jié)：待定系數(shù)法求解函數(shù)模型；優(yōu)選模型.
練1. 為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒. 已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關系式為 （a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：
（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關系式為 .
（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過 小時后，學生才能回到教室.
練2. 某商場購進一批單價為6元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多利潤，商場決定提高銷售價格. 經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，若按每20元的價格銷售時，每月能賣360，若按25元的價格銷售時，每月能賣210，假定每月銷售數(shù)y（）是價格x（元/）的一次函數(shù).
（1）試求y與x之間的關系式；
（2）在商品不積壓，且不考慮其它因素的條下，問銷售價格定為多少時，才能時每月獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？
堂小結(jié)
直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義.
知識拓展
在科學試驗、工程設計、生產(chǎn)工藝和各類規(guī)劃、決策與管理等許多工作中，常常要制訂最優(yōu)化方案，優(yōu)選學是研究如何迅速地、合理地尋求這些方案的科學理論、模型與方法. 它被廣泛應用于管理、生產(chǎn)、科技和經(jīng)濟領域中，幾乎可以用于凡是有數(shù)值加工的每個領域. 中國數(shù)學家華羅庚在推廣優(yōu)選方法的理論研究和開發(fā)研究工作中付出巨大貢獻.
學習評價
1. 某工廠簽訂了供貨合同后組織工人生產(chǎn)某貨物，生產(chǎn)了一段時間后，由于訂貨商想再多訂一些，但供貨時間不變，該工廠便組織工人加班生產(chǎn)，能反映該工廠生產(chǎn)的貨物數(shù)量y與時間x的函數(shù)圖象大致是（ ）.
2. 下列函數(shù)中隨 增大而增大速度最快的是（ ）.
A． B． C． D．
3. 根據(jù)三個函數(shù) 給出以下命題：
（1） 在其定義域上都是增函數(shù)；
（2） 的增長速度始終不變；（3） 的增長速度越越快；
（4） 的增長速度越越快；（5） 的增長速度越越慢。
其中正確的命題個數(shù)為（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 當 的大小關系是 .
5. 某廠生產(chǎn)中所需一些配可以外購，也可以自己生產(chǎn)，如外購，每個價格是1.10元；如果自己生產(chǎn)，則每月的固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)每個配的材料和勞力需0.60元，則決定此配外購或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點是____(即生產(chǎn)多少以上自產(chǎn)合算)
外作業(yè)
1. 下列函數(shù)關系中，可以看著是指數(shù)型函數(shù) （ 模型的是（ ）.
A.豎直向上發(fā)射的信號彈，從發(fā)射到落回地面，信號彈的高度與時間的關系（不計空氣阻力）
B.我國人口年自然增長率為1?，這樣我國人口總數(shù)隨年份的變化關系
C.如果某人ts內(nèi)騎車行進了1km，那么此人騎車的平均速度v與時間t的函數(shù)關系
D.信的郵資與其重量間的函數(shù)關系
2. 用長度為24的材料圍一個矩形場地，中間且有兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．12
3. 已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關系y=a•（0.5）x+b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬、1.5萬．則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為_________．
4. 某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個定價20元，茶杯每個定價為5元，該店推出兩種優(yōu)惠辦法：
（1）買一個茶壺贈送一個茶杯；
（2）按總價的92%付款.
某顧客需購茶壺4個，茶杯若干（不少于4個），若需茶杯 個，付款數(shù)為y（元），試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與 的函數(shù)關系，并討論顧客選擇哪種優(yōu)惠方法更合算.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoyi/48019.html
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