2019高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題
一、選擇題:(本大題共12小題,每題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的)
1.已知 , 為集合I的非空真子集,且 , 不相等,若 ,則
( )
A. B. C. D.
2.與直線 的斜率相等,且過點(diǎn)(-4,3)的直線方程為 ( )
A. = 32 B. =32
C. =32 D. =-32
3. 已知過點(diǎn) 和 的直線的斜率為1,則實(shí)數(shù) 的值為 ( )
A.1 B.2 C.1或4 D.1或2
4. 已知圓錐的表面積為6 ,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的底面半徑為 ( )
A. B.2 C. D.
5. 在空間中,給出下面四個(gè)命題,則其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )
、龠^平面α外的兩點(diǎn),有且只有一個(gè)平面與平面α垂直;
、谌羝矫姒聝(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面α的距離都相等,則α∥β;
、廴糁本l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則l⊥α;
、軆蓷l異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩平行線;
A.3 B.2 C.1 D.0
6. 已知函數(shù) 定義域是 ,則函數(shù) 的定義域是 ( )
A. B. C. D.
7. 直線在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是圖中的 ( )
8. 設(shè)甲,乙兩個(gè)圓柱的底面面積分別為 ,體積為 ,若它們的側(cè)面積相等且 ,則 的值是 ( )
A. B. C. D.
9.設(shè)函數(shù) ,如果 ,則 的取值范圍是 ( )
A. 或 B. C. D. 或
10.已知函數(shù) 沒有零點(diǎn),則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
11.定義在R上的偶函數(shù) 滿足:對(duì)任意的 ,有 .則 ( )
A. B.
C. D.
12. 如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各個(gè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.
第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線上)..
13.已知增函數(shù) ,且 ,則 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
14. 已知 在定義域 上是增函數(shù),則 的取值范圍是
15. 直線 恒過定點(diǎn)
16. 高為 的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上,則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為
三、解答題(17題10,其余每題12分)
17.已知一個(gè)空間組合體的三視圖如圖所示,其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成,請(qǐng)說出該組合體由哪些幾何體組成,并且求出該組合體的表面積和體積
18.已知偶函數(shù) 的定義域?yàn)?,且在 上是增函數(shù), 試比較 與 的大小。
19. 已知方程 + +6- =0( ).
(1)求該方程表示一條直線的條件;
(2)當(dāng) 為何實(shí)數(shù)時(shí),方程表示的直線斜率不存在?求出這時(shí)的直線方程;
(3)已知方程表示的直線 在 軸上的截距為 -3,求實(shí)數(shù) 的值;
20. 已知函數(shù) ,判斷函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,并且求出值域
21. 如圖,長(zhǎng)方體 ? 中, , , ,點(diǎn) 分別在 上, .過點(diǎn) 的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.
(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(說明畫法和理由)
(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.
22. 如圖,三棱錐P-A BC中,平面PAC 平面ABC, ABC= ,點(diǎn)D、E在線段AC上, 且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,點(diǎn)F在線段AB上,且EF//面PBC.
(1)證明:EF// BC.
(2)證明:AB 平面PFE.
(3)若四棱錐P-DFBC的體積為7,求線段BC的長(zhǎng).
2019高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題答案
一、ACACD,BCBDA,DB
13、1個(gè) 14、 15、(-2,3) 16、1
17、解:解:由一個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成的…2分
表面積是: …6分
體積是: … 10分
18、解: …5分
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),且在 上是增函數(shù),所以在 是減函數(shù)…8分
所以 …12分
19、解:解:(1)當(dāng)x,y的系數(shù)不 同時(shí)為零時(shí),方程表示一條直線,
令m2?2m?3=0,解得m=-1或m
m=3;
令2m2+m-1=0,解得m=-1或m= .
所以方程表示一條直線的條件是m∈R,且m≠-1.…4分
(2)由(1)易知 ,當(dāng)m= 時(shí),方程表示的直線的斜率不存在,此時(shí)的方程為x= ,它表示一條垂直于 軸的直線.…8
(3)依題意,有 =-3,所以3m2-4m-15=0. 所以m=3,或m=- ,由(1)知所求m=- .…12分
20、解:函數(shù)的定義域是 ,…2分
因?yàn)?,所以函數(shù)是 奇函數(shù)。 …4分 ,設(shè) ,則
當(dāng) 時(shí), ,所以 ,所以在 上是減函數(shù); …8分
當(dāng) 時(shí), ,所以 , 所以在 上也是減函數(shù)。
由 , ,所以 或 …12分
21、解:
(Ⅰ)交線圍成的正方形EHGF如圖:在面ABCD中做HG平行于BC,連接EH,FG且HB=GC=6,則E F平行且等于HG,所以四邊形EFGH是平行四邊形,EF平行于 ,所以EF垂直面 ,所以EF垂直于EH,且經(jīng)過計(jì)算可知EH=FG=10,所以EFGH是正方形 …6分
(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足為M,則AM= A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH= .
因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面 分為兩個(gè)高為10的直棱柱,
所以其體積的比值為 ( 也正確)…12分
22、(1)證明: EF//面PBC.EF 面ABC, 面PBC 面ABC=BC,
所以根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知EF// BC. …4分
(2)由DE=EC,PD=PC可知:E為等腰 PDC中D C邊的中點(diǎn),
故PE AC,又平面PAC 平面ABC,
平面PAC 面ABC=AC,PE 平面PAC, PE AC,
所以PE 平面ABC,
所以PE AB,因?yàn)?ABC= ,EF// BC.所以AB EF
所以AB 面PEF…8分
(3)設(shè)BC= ,在直角三角形ABC中,AB= , , EF// BC知 AFE相似于 ABC,所以
由AD= AE, ,
從而四邊形DFBC的面積為 ,
由(2)可知PE是四棱錐P-DFBC的高,PE= ,
所以V= 所以 ,所以 或者 ,
所以BC=3或BC= …12分
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