寧波效實中學高三起始考（理科數學）
說明：本試卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)兩部分，共100分．
請在答題卷內按要求作答
第Ⅰ卷（選擇題　共30分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．
1、函數 的單調遞增區(qū)間是
A． B． C． D．
2、設等差數列 的前 項和為 ，若 ， ，則
A．63 B．45 C．36 D．27
3、函數 的部分圖象如圖所示,則 的值分別是
A． B． C． D．
4、已知數列 滿足 ,則 的前10項和等于
A． B． C． D．
5、設等差數列 的公差 不為0， ．若 是 與 的等比中項，則
A．2 B．4 C．6 D．8
6、已知 ,則
A． B． C． D．
7、在 中，已知 是 邊上一點，若 ，則
A． B． C． D．

8、已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：c），可得這個幾何體的體積是
A． B． C． D．

9、已知函數 ,下列結論中錯誤的是
A． 的圖像關于 中心對稱 B． 的圖像關于直線 對稱
C． 的最大值為 D． 既奇函數,又是周期函數
10、在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則PA2＋PB2PC2等于
A．2 B．4 C．5 D．10
第Ⅱ卷（非選擇題　共70分）
二、題：本大題共7小題，每小題3分，共21分．
11、已知等差數列 的前 項和為 ，若 ，則 ____.
12、若 ，.則 　　　　.
13、已知向量a，b夾角為45°，且a＝1，2a－b＝10，則b＝________.

14、已知平面向量a，b，c不共線，且兩兩之間的夾角都相等，若a＝2，b＝2，c＝1，則a＋b＋c與a的夾角是________．
15、如圖 中,已知點D在BC邊上,AD AC, 則 的長為_______________

16、下面有五個命題：
①函數y=sin4x-cos4x的最小正周期是 .
②終邊在y軸上的角的集合是
③在同一坐標系中，函數 的圖象和函數 的圖象有三個公共點.
④把函數
⑤函數
其中真命題的序號是 （寫出所有真命題的編號）
17、已知點O在二面角 的棱上，點P在 內，且 。若對于 內異于O的任意一點Q，都有 ，則二面角 的大小是__________.

三、解答題：本大題共5小題，共49分． 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
18、已知 < < < .
（1）求 的值；
（2）求 .
19、設銳角三角形 的內角 的對邊分別為 ， ．
（1）求 的大�。�
（2）求 的取值范圍．
20、已知函數 .
（1）求f(x)的最小正周期;
（2）求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
21、設 是等差數列， 是各項都為正數的等比數列，且 ， ，
（1）求 ， 的通項公式；
（2）求數列 的前n項和 ．
22、如圖，在四棱錐 中， 底面 ，
， ，
是 的中點．
（1）證明 ；
（2）證明 平面 ；
（3）求二面角 的正切值。
寧波效實中學高三起始考（理科數學）
說明：本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共100分．
請在答題卷內按要求作答
第Ⅰ卷（選擇題　共30分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．
1、函數 的單調遞增區(qū)間是
A． B． C． D．
【答案】D
2、設等差數列 的前 項和為 ，若 ， ，則
A．63B．45C．36D．27
【答案】B
3、函數 的部分圖象如圖所示,則 的值分別是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A

4、已知數列 滿足 ,則 的前10項和等于
(A) (B) (C) (D)
答案C
5、設等差數列 的公差 不為0， ．若 是 與 的等比中項，則
Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8
【答案】B
6 、已知 ,則
A. B. C. D.
【答案】C

7、在 中，已知 是 邊上一點，若 ，則
A． B． C． D．
【答案】A
8、已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：c），可得這個幾何體的體積是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【答案】B
9．已知函數 ,下列結論中錯誤的是
(A) 的圖像關于 中心對稱 (B) 的圖像關于直線 對稱
(C) 的最大值為 (D) 既奇函數,又是周期函數
【答案】C
10、在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則PA2＋PB2PC2＝
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】D

第Ⅱ卷（非選擇題　共70分）
二、題：本大題共7小題，每小題3分，共21分．
11、已知等差數列 的前 項和為 ，若 ，則 _____
12、若 ，.則 　　 　　.
13、已知向量a，b夾角為45°，且a＝1，2a－b＝10，則b＝________.
[答案] 32
14、已知平面向量a，b，c不共線，且兩兩之間的夾角都相等，若a＝2，b＝2，c＝1，則a＋b＋c與a的夾角是________．
答案60°　
15、如圖 中,已知點D在BC邊上,AD AC, 則 的長為_______________
【答案】

16、下面有五個命題：
①函數y=sin4x-cos4x的最小正周期是 .
②終邊在y軸上的角的集合是{aa= .
③在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點.
④把函數
⑤函數
其中真命題的序號是 ① ④ （（寫出所有真命題的編號））
17、已知點O在二面角 的棱上，點P在 內，且 。若對于 內異于O的任意一點Q，都有 ，則二面角 的大小是____ ____。

三、解答題：本大題共5小題，共49分． 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
18、已知 < < < ,
（1）求 的值.
（2）求 .
分析：本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數值的符號，已知三角函數值求角以及計算能力。
解：（Ⅰ）由 ，得
∴ ，于是
（Ⅱ）由 ，得
又∵ ，∴
由 得：

所以

19、已知函數 .
（1）求f(x)的最小正周期;
（2）求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
解：

20、設 是等差數列， 是各項都為正數的等比數列，且 ， ，
（1）求 ， 的通項公式；
（2）求數列 的前n項和 ．
解：
（Ⅰ）設 的公差為 ， 的公比為 ，則依題意有 且
解得 ， ．
所以 ，
．
（Ⅱ） ．
，①
，②
②－①得 ，

21、設銳角三角形 的內角 的對邊分別為 ， ．
（1）求 的大�。�
（2）求 的取值范圍．
解：（Ⅰ）由 ，根據正弦定理得 ，所以 ，
由 為銳角三角形得 ．
（Ⅱ）
．
由 為銳角三角形知，
， ． ，
所以 ．由此有 ，
所以， 的取值范圍為 ．

22、如圖，在四棱錐 中， 底面 ，
， ，
是 的中點．
（1）證明 ；
（2）證明 平面 ；
（3）求二面角 的正切值。

分析：本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．
解：（Ⅰ）證明：在四棱錐 中，因 底面 ， 平面 ，故 ．
， 平面 ．
而 平面 ， ．
（Ⅱ）證明：由 ， ，可得 ．
是 的中點， ．
由（Ⅰ）知， ，且 ，所以 平面 ．
而 平面 ， ．
底面 在底面 內的射影是 ， ， ．
又 ，綜上得 平面 ．
（Ⅲ）解法一：過點 作 ，垂足為 ，連結 ．則（Ⅱ）知， 平面 ， 在平面 內的射影是 ，則 ．
因此 是二面角 的平面角．
由已知，得 ．設 ，
可得 ．
在 中， ， ，
則 ．在 中， ．
所以二面角 的大小是 ．
解法二：由題設 底面 ， 平面 ，則平面 平面 ，交線為 ．
過點 作 ，垂足為 ，故 平面 ．過點 作 ，垂足為 ，連結 ，故 ．因此 是二面角 的平面角．
由已知，可得 ，設 ，
可得 ．
， ．
于是， ．
在 中， ．
所以二面角 的大小是 ．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/875730.html

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