2012屆高考理科數(shù)學第一輪函數(shù)總復習教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來源: 高中學習網(wǎng)

 2.3 函數(shù)的奇偶性

典例精析 題型一 函數(shù)奇偶性的判斷 【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)=; (2)f(x)= 【解析】(1)由 得定義域為(-1,0)∪(0,1), 這時f(x)==-, 因為f(-x)=-=-=f(x),所以f(x)為偶函數(shù). (2)當x<0時,-x>0,則 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x), 當x>0時,-x<0,則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x), 所以對任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都 有f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù). 【點撥】判斷函數(shù)的奇偶性時,應先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,再分析 f(-x)與f(x)的關(guān)系,必要時可對函數(shù)的解 析式進行化簡變形. 【變式訓練1】(2010廣東)若函數(shù)f(x)=3x+ 與g(x)=3x- 的定義域均為R,則(  ) A. f (x)與g(x)均為偶函數(shù) B. f (x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù) C. f (x)與g(x)均為奇函數(shù) D. f (x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù) 【解析】B. 題型二 由奇偶性的條件求函數(shù)的解析式 【例2】若函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),求f(x)的解析式. 【解析】因為函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)上的奇函數(shù), 所以f(0)=0,從而得m=0. 又f()+f(-)=0,解得n=0. 所以f(x)=(-1<x<1). 【變式訓練2】已知定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),求a,b的值. 【解析】因為f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,即=0,解得b=1,所以f(x)= . 又由f(1)=-f(-1),所以=-,解得a=2. 故a=2,b=1. 題型三 函數(shù)奇偶性的應用 【例3】設函數(shù)f(x)的定義域為R,對于任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時,f(x)>0且f(2)=6. (1)求證:函數(shù)f(x)為奇函數(shù); (2)求證:函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù); (3)在區(qū)間[-4,4]上,求f(x)的最值. 【解析】(1)證明:令x=y(tǒng)=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0, 令y=-x,有f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (2)證明:設x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), 又x>0時,f(x)>0,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1), 所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù). (3)因為函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù), 所以f(x)在區(qū)間[-4,4]上也是增函數(shù), 所以函數(shù)f(x)的最大值為f(4),最小值為f(-4), 因為f(2)=6,所以f(4)=f(2)+f(2)=12, 又f(x)為奇函數(shù),所以f(-4)=-f(4)=-12, 故函數(shù)f(x)在區(qū)間[-4,4]上的最大值為12,最小值為-12. 【點撥】函數(shù)的最值問題,可先通過判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,再求區(qū)間上的最值. 【變式訓練3】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= 則f(-1)=   ,f(33)=   . 【解析】4;-2. 總結(jié)提高 1.判定函數(shù)的奇偶性時,應先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,再看f(-x)與f(x)的關(guān)系,必要時可對函數(shù)解析式進行化簡變形. 2.判定函數(shù)的奇偶性時,有時可通過其等價形式:f(-x)±f(x)=0或=±1 (f(x)≠0)進行處理. 3.奇偶性與單調(diào)性、不等式相結(jié)合的問題,要注意數(shù)形結(jié)合求解.  2.4 二次函數(shù) 典例精析 題型一 求二次函數(shù)的解析式 【例1】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸方程為x=-2,在y軸上的截距為1,在x軸上截得的線段長為2,求f(x)的解析式. 【解析】設f(x)=ax2+bx+c (a≠0),由已知有 解得a=,b=2,c=1,所以f(x)=x2+2x+1. 【點撥】求二次函數(shù)的解析式,要根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)男问,三種形式可以相互轉(zhuǎn)化,若二次函數(shù)圖象與x軸相交,則兩點間的距離為x1-x2=. 【變式訓練1】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點A(c,0),且關(guān)于直線x=2對稱,則這個二次函數(shù)的解析式是    . 【解析】由已知x=c為它的一個根,故另一根為1. 所以1+b+c=0,又-=2?b=-4,所以c=3. 所以f(x)=x2-4x+3. 題型二 二次函數(shù)的最值 【例2】已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a,且不等式f(x)>-2x的解集為(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等實根,求f(x)的解析式; (2)若f(x)的最大值為正數(shù),求a的取值范圍. 【解析】(1)因為f(x)+2x>0的解集為(1,3). 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由f(x)+6a=0?ax2-(2+4a)x+9a=0,② 由②知,Δ=[-(2+4a)]2-4a×9a=0?5a2-4a-1=0,所以a=1或a=-. 因為a<0,所以a=-,代入①得f(x)=-x2-x-. (2)由于f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-, 又a<0,可得[f(x)]max=-. 由 ?a<-2-或-2+<a<0. 【點撥】(1)利用Δ=0;(2)利用配方法. 【變式訓練2】已知二次函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0,m]上有最大值3和最小值2,則m的取值范圍是    . 【解析】[1,2]. 題型三 二次函數(shù)在方程、不等式中的綜合應用 【例3】設函數(shù) f(x)=ax2+bx+c (a≠0),x1<x2,f(x1)≠f(x2),對于方程f(x)=[ f(x1)+f(x2)],求證: (1)方程在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)必有一解; (2)設方程在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的根為m,若x1,m-,x2成等差數(shù)列,則-<m2. 【證明】(1)令g(x)=f(x)-[ f(x1)+f(x2)], 則g(x1)g(x2)=[ f(x1)-f(x2)] [ f(x2)-f(x1)]=- [ f(x1)-f(x2)]2<0, 所以方程g(x)=0在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)必有一解. (2)依題意2m-1=x1+x2,即2m-x1-x2=1, 又f(m)=[ f(x1)+f(x2)],即2(am2+bm+c)=ax+bx1+c+ax+bx2+c. 整理得a(2m2-x-x)+b(2m-x1-x2)=0, a(2m2-x-x)+b=0, 所以-=m2-<m2. 【點撥】二次方程ax2+bx+c=0的根的分布問題,一般情況下,需要從三個方面考慮:①判別式;②區(qū)間端點對應二次函數(shù)的函數(shù)值的正負;③相應二次函數(shù)的對稱軸x=-與區(qū)間的位置關(guān)系. 【變式訓練3】已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),α,β是f(x)=0的兩根(α<β),則實數(shù)α,β,a,b大小關(guān)系為(  ) A.α<a<b<β B.a<α<β<b C.a<α<b<β D.α<a<β<b 【解析】A. 總結(jié)提高 1.二次函數(shù)的表達式有多種形式,形 式的選擇要依據(jù)題目的已知條件和所求結(jié)論的特征而定. 2.利用二次函數(shù)的知識解題始終要把握二次函數(shù)圖象的關(guān)鍵要素:①開口方向;②對稱軸;③與坐標軸的交點. 3.二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體,相互滲透,解題時要注意三者的相互轉(zhuǎn)化,重視用函數(shù)思想處理方程和不等式問題.
2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
典例精析 題型一 指數(shù)及其運算 【例1】計算: (1) ; (2)(0.027) -(-)-2+(2) -(-1)0. 【解析】(1)原式= ? ? ? ? =. (2)原式=( -(-1)-2()-2+( -1 =-49+-1=-45. 【點撥】進行指數(shù)的乘除運算時,一般先化成相同的底數(shù). 【變式訓練1】已知a,b是方程9x2-82x+9=0的兩根,求 - 的值. 【解析】a+b=,ab=1. 原式=2 =2(ab) =2. 題型二 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用 【例2】已知函數(shù)f(x)=,其中x∈R. (1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性; (2)證明f(x)是R上的增函數(shù). 【解析】(1)因為函數(shù)f(x)的定義域為x∈R, 且f(-x)= ==-f(x), 所以f(x)為R上的奇函數(shù). (2)證明:設x1,x2∈R,且x1<x2, 則f(x1)-f(x2)= - = <0, 所以f(x)是R上的增函數(shù). 【點撥】在討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)或利用其性質(zhì)解題時,要特別注意底數(shù)是大于1還是小于1,如果不能確定底數(shù)的范圍應分類討論. 【變式訓練2】函數(shù)y=的圖象大致為(  ) 【解析】A. 題型三 指數(shù)函數(shù)的綜合應用 【例3】已知函數(shù)f(x)=2x-. (1)若f(x)=2,求x的值; (2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】f(x)=2x-= (1)因為f(x)=2,所以2x-=2. 因為x≥0,所以2x=1+,解得x=log2(1+). (2)因為t∈[1,2],所以2tf(2t)+mf(t)≥0可化為2t(22t-)+m(2t-)≥0, 即m(22t-1)≥-(24t-1). 因為22t-1>0,所以上式可化為m≥-(22t+1). 又因為-(22t+1)的最大值為-5,所以m≥-5. 故使得2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立的實數(shù)m的取值范圍是[-5,+∞). 【變式訓練3】已知函數(shù)f(x)=2x-1,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),則下列結(jié)論中 一定成立的是(  ) A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0 C.2-a<2c D.2a+2c<2 【解析】D. 總結(jié)提高 1.增強分類討論的意識,對于根式的意義及其性質(zhì)要分清n是奇數(shù),還是偶數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)與底數(shù)a的取值范圍有關(guān),研究與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時,要注意分a>1與0<a<1兩種情況討論. 2.深化概念的理解與應用,對于分數(shù)指數(shù)冪中冪指數(shù)為負數(shù)的情形,要注意底數(shù)a的取值限制. 3.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),能利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)問題.
2.6 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

典例精析 題型一 對數(shù)的運算 【例1】計算下列各題: (1)2(lg)2+lg lg 5+; (2). 【解析】 (1)原式=2×(lg 2)2+lg 2lg 5+ =lg 2(lg 2+lg 5)+1-lg 2=1. (2)原式===1. 【點撥】運用對數(shù)的運算性質(zhì)以及式子的恒等變形. 【變式訓練1】已知log89=a,log25=b,用a,b表示lg 3為    . 【解析】由 ?lg 3=. 題型二 對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用 【例2】設函數(shù)f(x)=loga(x-2) (a>0,且a≠1). (1)求函數(shù)f(x)經(jīng)過的定點坐標; (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (3)解不等式log3(x-2)<1. 【解析】(1)當x=3時,loga1=0恒成立,所以函數(shù)f(x)所經(jīng)過的定點坐標為(3,0). (2)當a>1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù);當0<a<1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù). (3)不等式log3(x-2)<1等價于不等式組 解得2<x<5,所以原不等式的解集為(2,5). 【變式訓練2】已知函數(shù)f(x)= 若f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為     . 【解析】要保證函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,則分段函數(shù)應該在各自定義域內(nèi)分別單調(diào)遞增.若f(x)=(a-2)x-1在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞增,則a-2>0,即a>2.若f(x)=logax在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則a>1.另外要保證函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增還必須滿足(a-2)×1-1≤loga1=0,即a≤3.故實數(shù)a的取值范圍為2<a≤3. 題型三 對數(shù)函數(shù)綜合應用 【例3】已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax). (1)當x∈[0,2]時,函數(shù)f(x)恒有意義,求實數(shù)a的取值范圍; (2)是否存在這樣的實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請說明理由. 【解析】(1)由題設知3-ax>0對一切x∈[0,2]恒成立,a>0,且a≠1. 因為a>0,所以g(x)=3-ax在[0,2]上為減函數(shù), 從而g(2)=3-2a>0,所以a<, 所以a的取值范圍為(0,1)∪(1,). (2)假設存在這樣的實數(shù)a,由題設知f(1)=1, 即loga(3-a)=1,所以a=, 此時f(x)= (3-x). 當x=2時,f(x)沒有意義,故這樣的實數(shù)不存在. 【點撥】這是一道探索性問題,注意函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化,存在性問題的處理,一般是先假設存在,再結(jié)合已知條件進行轉(zhuǎn)化求解,如推出矛盾,則不存在,反之,存在性成立. 【變式訓練3】給出下列四個命題: ①函數(shù)f(x)=ln x-2+x在區(qū)間(1,e)上存在零點; ②若f′(x0)=0,則函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值; ③若m≥-1,則函數(shù)y= (x2-2x-m)的值域為R; ④“a=1”是“函數(shù)f(x)=在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件. 則其中正確的序號是    (把全部正確命題的序號都填上). 【解析】因為f(1)=ln 1-2+1=-1<0,f(e)=ln e-2+e=e-1>0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e)上存在零點,命題①正確;對于函數(shù)f(x)=x3來說,f′(x)=3x2,顯然有f′(0)=0,但f(x)在定義域上為增函數(shù),故x=0不是函數(shù)的極值點,命題②錯誤;令t=x2-2x-m,若m≥-1,則Δ=(-2)2-4×1×(-m)=4+4m≥0,所以t=x2-2x-m可以取遍所有的正數(shù),所以函數(shù) y= (x2-2x-m)的值域為R,命題③正確;由f(-x)=-f(x),可得=-,解得a=±1,即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件為a=±1,故 “a=1”是“函數(shù)f(x)=為奇函數(shù)”的充分不必要條件,所以命題④正確.綜上所述,正確的命題為①③④. 總結(jié)提高 1.熟練運用對數(shù)的運算公式是解決對數(shù)運算的基礎和前提,運用對數(shù)的運算法則,要注意各字母的取值范圍,同時,不要將積、商、冪、方根的對數(shù)與對數(shù)的積、商、冪、方根混淆起來. 2.研究對數(shù)問題時,要盡量化成同底,另外,研究對數(shù)問題時要注意對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制條件. 3.對數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)是單調(diào)性,比較大小是單調(diào)性的重要運用,在比較時,通常利用函數(shù)的單調(diào)性或借助于中間量-1,0,1來比較,但要注意分類討論. 4.利用對數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)討論一些函數(shù)的應用問題是?碱}型,應注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸等數(shù)學思想方法的靈活運用.

2.7 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象

典例精析 題型一 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例1】點(,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,點(-2,)在冪函數(shù)g(x)的圖象上. (1)求f(x)、g(x)的解析式; (2)問當x為何值時,有:①g(x)<f(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x). 【解析】(1)設f(x)=xa,因為點(,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,將(,2)代入f(x)=xa中,得2=()a,解得a=2,即f(x)=x2. 設g(x)=xb,因為點(-2,)在冪函數(shù)g(x)的圖象上,將(-2,)代入g(x)=xb中,得=(-2)b,解得b=-2,即g(x)=x-2. (2)在同一坐標系中作出f(x)和g(x)的圖象,如圖所示,由圖象可知: ①當x>1或x<-1時,g(x)<f(x); ②當x=±1時,f(x)=g(x); ③當-1<x<1且x≠0時,f(x)<g(x). 【點撥】(1)求冪函數(shù)解析式的步驟: ①設出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)=xa(a為常數(shù)); ②根據(jù)已知條件求出a的值; ③寫出冪函數(shù)的解析式. 本題的第(2)問采用了數(shù)形結(jié)合的思想,即在同一坐標系下畫出兩函數(shù)的圖象,借助圖象求出不等式和方程的解.這一問也可用分類討論的思想.x2=,即x4=1,x=±1,以x=1,-1為分界點分x>1,-1<x<1,x<-1,x=±1五種情況進行討論,也能得到同樣的結(jié)果. 【變式訓練1】函數(shù)f(x)=(m2-m-1) 是冪函數(shù),且當x∈(0,+∞)時是減函數(shù),求實數(shù)m. 【解析】因為f(x)為冪函數(shù), 所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 當m=2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數(shù); 當m=-1時,f(x)=x0在(0,+∞)上不是減函數(shù). 所以m=2. 題型二 作函數(shù)圖象 【例2】作下列函數(shù)圖象: (1)y=1+log2x; (2)y=2x-1; (3)y=x2-4. 【解析】(1)y=1+log2x的圖象是: (2)y=2x-1的圖象是: (3)y=x2-4的圖象是: 【變式訓練2】在下列圖象 中,二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只可能是(  ) 【解析】A. 題型三 用數(shù)形結(jié)合思想解題 【例3】已知f(x)=x2-4x+3. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2) 求m的取值范圍,使方程f(x)=mx有4個不同實根. 【解析】 遞增區(qū)間為[1,2],[3,+∞); 遞減區(qū)間為(-∞,1),(2,3). (2)設y=mx與y=f(x)有四個公共點,過原點的直線l與y=f(x)有三個公共點,如圖所示.令它的斜率為k,則0<m<k. 由 ?x2+(k-4)x+3=0.① 令Δ=(k-4)2-12=0?k=4±2. 當k=4+2時,方程①的根x1=x2=-?(1,3),舍去;當k=4-2時,方程①的根x1=x2=∈(1,3),符合題意.故0<m<4-2. 【點撥】(1)作出f(x)的圖象;(2)利用(1)的圖象,研究函數(shù)y=mx與y=f(x)的交點情況. 【變式訓練3】若不等式x2-logax<0對x∈(0,)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.0<a<1 B.≤a<1 C.a>1 D.0<a≤ 【解析】原不等式為x2<logax,設f(x)=x2,g(x)=logax,因為0<x<<1,而logax>x2>0,所以0<a<1,作出f(x)在x∈(0,)內(nèi)的圖象,如圖所示. 因為f()=,所以A(,),當g(x)圖象經(jīng)過點A時,=loga?a=,因為當x∈(0,)時,logax>x2,g(x)圖象按如圖虛線位置變化,所以≤a<1,故答案為B. 題型四 有關(guān)圖象的對稱問題 【例4】設函數(shù)f(x)=x+,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)的圖象為C1,C1關(guān)于點A(2,1)對稱的圖象為C2,C2對應的函數(shù)為g(x). (1)求函數(shù)y=g(x)的解析式,并確定其定義域; (2)若直線y=b與C2只有一個交點,求b的值,并求出交點的坐標. 【解析】(1)設P(u,v)是y=x+上任意一點,所以v=u+.① 設P關(guān)于A(2,1)對稱的點為Q(x,y), 所以 ? 代入①得2-y=4-x+?y=x-2+. 所以g(x)=x-2+,其定義域為(-∞,4)∪(4,+∞). (2)聯(lián)立方程得 ?x2-(b+6)x+4b+9=0, 所以Δ=(b+6)2-4×(4b+9)=b2-4b=0?b=0或b=4.所以,當b=0時,交點為(3,0);當b=4時,交點為(5,4). 【變式訓練4】函數(shù)f(x)的定義域為R,且滿足:f(x)是偶函數(shù),f(x-1)是奇函數(shù).若f(0.5)=9,則f(8.5)等于(  ) A.-9 B.9 C.-3 D.0 【解析】因為f(-x)=f(x),f(-x-1)=-f(x-1),所以f(-2+x)=-f(-x)=-f(x),則f(4+x)=-f(x+2)=f(x),即4是函數(shù)f(x)的一個周期,所以f(8.5)=f(0.5)=9,故應選B.本題考查了抽象函數(shù)周期性的判斷及其函數(shù)值的求解問題,合理進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵. 總結(jié)提高 掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法――描點法和圖象變換法.函數(shù)圖象為研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程、不等式中的問題提供了一種直觀方法,用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學問題.函數(shù)的圖象是溝通“數(shù)”與“形”的一個重要橋梁.應用函數(shù)圖象法解數(shù)學問題往往具有直觀易懂、運算量小的優(yōu)點,但用圖象法求變量的取值范圍時,要特別注意端點值的取舍和特殊情況. 2.8 函數(shù)與方程

典例精析 題型一 確定函數(shù)零點所在的區(qū)間 【例1】已知函數(shù)f(x)=x+log2x,問方程f(x)=0在區(qū)間[,4]上有沒有實根,為什么? 【解析】因為f ()=+log2=-2=-<0, f(4)=4+log24=4+2=6>0,f() f(4)<0,又f(x)=x+log2x在區(qū)間[,4]是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[,4]上有零點,即存在c∈[,4],使f(c)=0, 所以方程f(x)=0在區(qū)間[,4]上有實根. 【點撥】判斷函數(shù)f(x)的零點是否在區(qū)間(a,b)內(nèi),只需檢驗兩條:①函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是連續(xù)不斷的;②f(a) f(b)<0. 【變式訓練1】若x0是函數(shù)f(x)=x+2x-8的一個零點,則[x0](表示不超過x0的最大整數(shù))=   . 【解析】因為函數(shù)f(x)=x+2x-8在區(qū)間(-∞,+∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù),且f(2) f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上存在唯一的零點x0,所以[x0]=2. 題型二 判斷函數(shù)零點的個數(shù) 【例2】判斷下列函數(shù)的零點個數(shù). (1)f(x)=x2+mx+(m-2); (2)f(x)=x-4+log2x. 【解析】(1)由Δ=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,得知f(x)=x2+mx+(m-2)>0有兩個不同的零點. (2)因為函數(shù)f(x)=x-4+log2x在區(qū)間(0,+∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù),且f(2) f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一的零點. 【點撥】判斷函數(shù)的零點個數(shù)有以下兩種方法: (1) 方程f(x)=0的根的個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù); (2)函數(shù)f(x)與x軸的交點個數(shù),即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù); 特殊情況下,還可以將方程f(x)=0化為方程g(x)=h(x),然后再看函數(shù)y=g(x)與y=h(x)的交點個數(shù). 【變式訓練2】問a為何值時,函數(shù)f(x)=x3-3x+a有三個零點,二個零點,一個零點? 【解析】f′(x)=3x2-3=0,得x1=1,x2=-1,此時f(x)有極大值f(-1)=2+a,極小值f(1)=-2+a.由圖象(圖略)得知: 當-2<a<2時,函數(shù)f(x)有三個零點; 當a=-2或a=2時,函數(shù)f(x)有兩個零點; 當a<-2或a>2時,函數(shù)f(x)有一個零點. 題型三 利用導數(shù)工具研究函數(shù)零點問題 【例3】設函數(shù)f(x)=x3+2x2-4x+2a. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)關(guān)于x的方程f(x)=a2在[-3,2]上有三個相異的零點,求a的取值范圍. 【解析】(1)f′(x)=3x2+4x-4. 由f′(x)>0,得x<-2或x>;由f′(x)<0,得-2<x<. 故f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-2)、(,+∞), f(x)的遞減區(qū)間為(-2,). (2)由f(x)=a2?x3+2x2-4x-a2+2a=0, 令g(x)=x3+2x2-4x-a2+2a. 所以g′(x)=3x2+4x-4. 由(1)可知,g(x)在(-∞,-2)和(,+∞)上遞增,在(-2,)上遞減,故g(x)在[-3, -2]和[,2)上為增函數(shù),在[-2,]上為減函數(shù). 關(guān)于x的方程f(x)=a2在[-3,2]上有三個不同的零點,則 解得-2<a≤-1或3≤a<4. 【點撥】(1)先求f′(x),由f′(x)=0求出極值點,再討論單調(diào)性;(2)利用(1)及函數(shù)f(x)的大致圖形,找到滿足題設的a的條件. 【變式訓練3】已知函數(shù)f(x)=+ax2+2bx+c的兩個極值分別為f(x1)和f(x2),若x1和x2分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi),則的取值范圍為(  ) A.(-1,-) B.(-∞,)∪(1,+∞) C.(,1) D.(,2) 【解析】因為f′(x)=x2+ax+2b,由題意可知, 畫出a,b滿足的可行域,如圖中的陰影部分(不包括邊界)所示,表示可行域內(nèi)的點與點D(1,2)的連線的斜率,記為k,觀察圖形可知,kCD<k<kBD,而kCD==,kBD==1,所以<<1,故選C. 總結(jié)提高 函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根,也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標,注意零點不是“點”,并不是所有的函數(shù)都有零點,或者說不是所有的函數(shù)圖象都與x軸有交點.二分法是求一般函數(shù)零點的一種通法,但要注意使用二分法的條件.二分法是利用“逐步逼近”的數(shù)學思想得到零點的近似值,但二分法也存在局限性,一是二分法一次只能求一個零點,二是在(a,b)內(nèi)有零點時,未必f(a) f(b)<0成立,三是二分法計算量較大,常要借助計算器完成.

2.9 函數(shù)模型及其應用

典例精析 題型一 運用指數(shù)模型求解 【例1】按復利計算利率的一種儲蓄,本金為a元,每期利率為r,設本利和為y,存期為x,寫出本利和y隨期數(shù)x的變化函數(shù)式.如果存入本金10 000元,每期利率為2.25%,計算5期的本息和是多少? 【解析】已知本金為a元, 1期后的本利和為y1=a+a×r=a(1+r); 2期后的本利和為y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2; 3期后的本利和為y3=a(1+r)2+a(1+r)2r =a(1+r)3;     ?    ? x期后的本利和為y=a(1+r)x. 將a=10 000, r=2.25%, x=5代入上 式得 y=10 000(1+2.25%)5=11 176.8, 所以5期后的本利和是11 176.8元. 【點撥】在實際問題中,常遇到有關(guān)平均增長率的問題,如果原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為N,平均增長率為p,則總產(chǎn)值y與時間x的關(guān)系為y=N(1+p)x. 【變式訓練1】某工廠去年十二月的產(chǎn)值為a,已知月平均增長率為p,則今年十二月的月產(chǎn)值較去年同期增長的倍數(shù)是(  ) A.(1+p)12-1 B.(1+p)12 C.(1+p)11 D.12p 【解析】今年十二月產(chǎn)值為a(1+p)12,去年十二月產(chǎn)值為a,故比去年增長了[(1+p)12-1]a,故選A. 題型二 分段函數(shù)建模求解 【例2】在對口脫貧活動中,為了盡快脫貧(無債務)致富,企業(yè)甲經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣點以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)給尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘病人企業(yè)乙,并約定從該經(jīng)營利潤中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月的最低生活費開支3600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息). 在甲提供資料中有:①這種消費品的進價每件14元;②該店月銷售量Q(百件)與銷價p(元)關(guān)系如圖;③每月需各種開支2 000元. (1)試問為使該店至少能維持職工生活,商品價格應控制在何種范圍? (2)當商品價格為每件多少元時,月利潤扣除職工最低生活費的余額最大?并求最大余額; (3)企業(yè)乙只依靠該廠,最早可望幾年后脫貧? 【解析】設該店月利潤額為L,則由假設 得 L=Q(p-14)×100-3 600-2 000,① (1)當14≤p≤20時,由L≥0得18≤p≤20, 當20<p≤26時,由L≥0得20<p≤22, 故商店銷售價應控制在18≤p≤22之內(nèi). (2)當18≤p≤20時,L最大=450元,此時,p=19.5元. 當20<p≤22時,L最大=416元,此時,p=20元. 故p=19.5元時,月利潤最大余額為450元. (3)設可在n年內(nèi)脫貧,依題意得 12n×450-50 000-58 000≥0,解得n≥20, 即最少可望在20年后脫貧. 【點撥】解答這類題關(guān)鍵是要仔細審題,理解題意,建立相應數(shù)學模型,求解時,也可利用導數(shù),此外要注意問題的實際意義. 【變式訓練2】國家稅務部門規(guī)定個人稿費的納稅辦法是:不超過800元的不納稅;超過800元而不超過4 000元的按照超過800元部分的14%納稅;超過4 000元的按全稿費的11%納稅.某人出版了一本書,共納稅550元,問此人的稿費為多少元? 【解析】設納稅y(元)時稿費為x(元),則 由y>500知x>4 000,所以x×11%=550?x=5 000, 所以此人稿費為5 000元. 題型三 生活中的優(yōu)化問題 【例3】(2010湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元,設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求k的值及f(x)的表達式; (2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最?并求最小值. 【解析】(1)設隔熱層厚度為x cm,由題設,每年能源消耗費用為C(x)=, 再由C(0)=8得k=40,因此C(x)=.而建造費用為C1(x)=6x. 最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為 f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10). (2)f′(x)=6-,令f′(x)=0,即=6, 解得x=5,x=-(舍去). 當0<x<5時,f′(x)<0;當5<x<10,f′(x)>0, 故x=5是f(x)的最小值點,對應的最小值為f(5)=6×5+=70. 當隔熱層修建5 cm厚時,總費用達到最小值70萬元. 【點撥】如果根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的類型,可由數(shù)據(jù)的變化情況對其單調(diào)性、對稱性和特定值進行判斷,也可以從所給的部分數(shù)據(jù)求出模擬函數(shù)解析式,再由其他數(shù)據(jù)進一步判斷. 【變式訓練3】某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,如圖,為降低消耗,開源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用,當截取的矩形面積最大時,矩形兩邊長x、y應為x=    ,y=   . 【解析】如圖,由已知有=, 即4x+5y-120=0, S=xy=(4x 5y)≤()2=180. 所以 ?x=15,y=12. 總結(jié)提高 利用數(shù)學模型解決實際問題,運用數(shù)學建模思想、不同的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實世界中不同的增長變化規(guī)律.一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型,它們的增長存在很大的差異,如指數(shù)函數(shù)增長是指數(shù)“爆炸”,對數(shù)函數(shù)增長是逐步趨于平衡,而冪函數(shù)增長遠低于指數(shù)函數(shù),因此建立恰當數(shù)學模型并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象,對某些發(fā)展趨勢進行預測具有很強的現(xiàn)實意義.

函數(shù)的綜合應用


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