一、基礎(chǔ)知識
1．二次函數(shù)：當 0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=- ，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=- ，下同。
2．二次函數(shù)的性質(zhì)：當a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（-∞，x0]上隨自變量x增大函數(shù)值減�。ê喎Q遞減），在[x0, -∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當a<0時，情況相反。
3．當a>0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下（記△=b2-4ac）。
1）當△>0時，方程①有兩個不等實根，設(shè)x1,x2(x1
3）當△<0時，方程①無解，不等式②和不等式③的解集分別是R和 .f(x)圖象與x軸無公共點。
當a<0時，請讀者自己分析。
4．二次函數(shù)的最值：若a>0，當x=x0時，f(x)取最小值f(x0)= ,若a<0，則當x=x0= 時，f(x)取最大值f(x0)= .對于給定區(qū)間[m,n]上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，當x0∈[m, n]時，f(x)在[m, n]上的最小值為f(x0); 當x0
定義1 能判斷真假的語句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。
注1 “p或q”復(fù)合命題只有當p，q同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。
定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。
注2 原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。
注3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。
定義3 如果命題“若p則q”為真，則記為p q否則記作p q.在命題“若p則q”中，如果已知p q,則p是q的充分條件；如果q p，則稱p是q的必要條件；如果p q但q不 p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不 q但p q，則p稱為q的必要非充分條件；若p q且q p，則p是q的充要條件。
二、方法與例題
1．待定系數(shù)法。
例1 設(shè)方程x2-x+1=0的兩根是α，β，求滿足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函數(shù)f(x).
【解】 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a 0),
則由已知f(α)=β,f(β)=α相減并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因為方程x2-x+1=0中△ 0，
所以α β，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因為f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2．方程的思想。
例2 已知f(x)=ax2-c滿足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍。
【解】 因為-4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)= f(2)- f(1),
所以 ×(-1)+ ≤f(3)≤ ×5+ ×4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函數(shù)的性質(zhì)。
例3 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0)，若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x))=x也無實根。
【證明】若a>0，因為f(x)=x無實根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點且開口向上，所以對任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，從而f(f(x))>f(x)。
所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x無實根。
注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。
4．利用二次函數(shù)表達式解題。
例4 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的兩根x1, x2滿足0
【證明】 因為x1, x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，
即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（Ⅰ）當x∈(0, x1)時，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+ ]<0，所以f(x)
所以x0= ,
所以 ，
所以
5．構(gòu)造二次函數(shù)解題。
例5 已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求證：方程的正根比1小，負根比-1大。
【證明】 方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.
構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0，
所以f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，負根比-1大。
6．定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。
例6 當x取何值時，函數(shù)y= 取最小值？求出這個最小值。
【解】 y=1- ,令 u,則0
且當 即x= 3時，ymin= .
例7 設(shè)變量x滿足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是 ，求b的值。
【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1).
?)- ≤-(b+1)，即b≤-2時，x2+bx的最小值為- ，所以b2=2，所以 （舍去）。
?) - >-(b+1)，即b>-2時，x2+bx在[0，-(b+1)]上是減函數(shù)，
所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=- ,b=- .
綜上，b=- .
7.一元二次不等式問題的解法。
例8 已知不等式組 ①②的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍。
【解】 因為方程x2-x+a-a2=0的兩根為x1=a, x2=1-a,
若a≤0，則x1
因為1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式組無解。
若a>0，?）當0
?）當a> 時，a>1-a，由②得x>1-2a，
所以不等式組的解集為1-a
所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3，
所以1
例9 設(shè)定數(shù)A，B，C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ①
對一切實數(shù)x,y,z都成立，問A，B，C應(yīng)滿足怎樣的條件？（要求寫出充分必要條件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示條件）
【解】 充要條件為A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).
先證必要性，①可改寫為A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ②
若A=0，則由②對一切x,y,z∈R成立，則只有B=C，再由①知B=C=0，若A 0，則因為②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再證充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1）若A=0，則由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A>0，則由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
綜上，充分性得證。
9．常用結(jié)論。
定理1 若a, b∈R, a-b≤a+b≤a+b.
【證明】 因為-a≤a≤a,-b≤b≤b，所以-(a+b)≤a+b≤a+b,
所以a+b≤a+b（注：若m>0，則-m≤x≤m等價于x≤m）.
又a=a+b-b≤a+b+-b,
即a-b≤a+b.綜上定理1得證。
定理2 若a,b∈R, 則a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,則x+y≥
(證略)
注 定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細論證。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．下列四個命題中屬于真命題的是________，①“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；②“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；③“若q≤1，則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。
2．由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_________.①p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a} {a,b}; ④ p: Q R, q: N=Z.
3. 當x-2
7.若S={xmx2+5x+2=0}的子集至多有2個，則m的取值范圍是_________.
8. R為全集，A={x3-x≥4}, B= , 則(CRA)∩B=_________.
9. 設(shè)a, b是整數(shù)，集合A={(x,y)(x-a)2+3b≤6y}，點（2，1）∈A，但點（1，0） A，（3，2） A則a,b的值是_________.
10．設(shè)集合A={xx<4}, B={xx2-4x+3>0}，則集合{xx∈A且x A∩B}=_________.
11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍。
12．對任意x∈[0,1],有 ①②成立，求k的取值范圍。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．若不等式x-a
3．若不等式-x2+kx-4<0的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍是_________.
4．若集合A={xx+7>10}, B={xx-5
6．若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
7．已知p, q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_________條件。
8．已知p: 1- ≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_________.
9．已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，對任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)
(1)求證：c≤1;
(2)求證：當x≤1時，g(x)≤2;
(3)當a>0且x≤1時，g(x)最大值為2，求f(x).
11.設(shè)實數(shù)a,b,c,m滿足條件： =0，且a≥0,m>0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0
1．不等式x3-2x2-4x+3<0的解集是_________.
2．如果實數(shù)x, y滿足： ，那么x-y的最小值是_________.
3．已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，1），（3，5），f(0)>0，當函數(shù)的最小值取最大值時，a+b2+c3=_________.
4. 已知f(x)=1-2x, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))= x有_________個實根。
5．若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一個實根，則m取值范圍是_________.
6．若f(x)=x4+px3+qx2+x對一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，則p+q2=_________.
7. 對一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a
9．若a
11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上滿足f(x)≤1,試求a+b+c的最大值。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, a>100，試問滿足f(x)≤50的整數(shù)x最多有幾個？
2．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0)，對于給定的負數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得在整個區(qū)間[0，l(a)]上，不等式f(x)≤5都成立。求l(a)的最大值及相應(yīng)a的值。
3．設(shè)x1,x2,…,xn∈[a, a+1]，且設(shè)x= , y= , 求f=y-x2的最大值。
4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, 且F(0)≤1,F(1)≤1,F(-1)≤1,則對于x≤1，求F(x)的最大值。
5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在實數(shù)m，使得f(m)≤ ,f(m+1)≤ ,求△=a2-4b的最大值和最小值。
6．設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a 0)滿足下列條件：
1）當x∈R時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
2）當x∈(0, 2)時，f(x)≤ ;
3）f(x)在R上最小值為0。
求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x.
7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b 0)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根。
8．設(shè)a,b,A,B∈R+, a
9．設(shè)a,b,c為實數(shù)，g(x)=ax2+bx+c, x≤1，求使下列條件同時滿足的a, b, c的值：
（?） =381;
（?）g(x)max=444;
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