【課時目標】 1．會判斷空間兩直線的位置關(guān)系．2．理解兩異面直線的定義及判定定理，會求兩異面直線所成的角．3．能用公理4及等角定理解決一些簡單的相關(guān)證明．
1．空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：________、____________、____________．
2．公理4：平行于同一條直線的兩條直線____________．
3．等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角________．
4．異面直線
(1)定義：________________________的兩條直線叫做異面直線．
(2)判定定理：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是______________．
5．異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任一點O，作直線a′，b′，使__________，__________，我們把a′與b′所成的________________叫做異面直線a與b所成的角．
如果兩條直線所成的角是________，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直，兩條異面直線所成的角α的取值范圍是____________．
一、填空題
1．若空間兩條直線a，b沒有公共點，則其位置關(guān)系是____________．
2．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是______________．
3．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，與對角線AC1異面的棱共有________條．
4．空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連結(jié)四邊中點的四邊形的形狀是________．
5．給出下列四個命題：
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；
②平行于同一直線的兩直線平行；
③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c；
④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線．
其中假命題的個數(shù)是________．
6．有下列命題：
①兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；
②四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形；
③經(jīng)過直線外一點有無數(shù)條直線和已知直線垂直；
④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，則OB∥O1B1．
其中正確命題的序號為________．
7．空間兩個角α、β，且α與β的兩邊對應平行且α＝60°，則β為________．
8．已知正方體ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′與CD′所成的角為________；
(2)AD與BC′所成的角為________．
9．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：
①AB⊥EF；
②AB與CM所成的角為60°；
③EF與MN是異面直線；
④MN∥CD．
以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號為________．
二、解答題
10．已知棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點．
求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1．
11．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大�。�
能力提升
12．如圖所示，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填序號)．
13．如圖所示，在正方體AC1中，E、F分別是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，則EF和CD所成的角是______．
1．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．另外，我們解決空間有關(guān)線線問題時，不要忘了我們生活中的模型，比如說教室就是一個長方體模型，里面的線線關(guān)系非常豐富，我們要好好地利用它，它是我們培養(yǎng)空間想象能力的好工具．
2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調(diào)的是，兩條異面直線所成角α的范圍為0°<α≤90°，解題時經(jīng)常結(jié)合這一點去求異面直線所成的角的大小．
作異面直線所成的角，可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．
1．2．2 空間兩條直線的位置關(guān)系 答案
知識梳理
1．相交直線 平行直線 異面直線
2．互相平行 3．相等
4．(1)不同在任何一個平面內(nèi) (2)異面直線
5．a(chǎn)′∥a b′∥b 銳角(或直角) 直角 0°<α≤90°
作業(yè)設(shè)計
1．平行或異面
2．相交、平行或異面
解析 異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明a、b異面，直線c的位置可如圖所示．
3．6
4．矩形
解析
易證四邊形EFGH為平行四邊形．
又∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其補角為AC與BD所成的角．
而AC與BD所成的角為90°，
∴∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．
5．2
解析 ①④均為假命題．①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直．
④如圖甲時，c、d與異面直線l1、l2交于四個點，此時c、d異面，一定不會平行；
當點A在直線a上運動(其余三點不動)，會出現(xiàn)點A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c、d共面相交．
6．③
7．60°或120°
8．(1)60° (2)45°
解析
連結(jié)BA′，則BA′∥CD′，連結(jié)A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．
由△A′BC′為正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
9．①③
解析
把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．
10．
證明 (1)如圖，連結(jié)AC，
在△ACD中，
∵M、N分別是CD、AD的中點，
∴MN是三角形的中位線，
∴MN∥AC，MN＝12AC．
由正方體的性質(zhì)得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，
∴四邊形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，
∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補．
而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1．
11．解 取AC的中點G，
連結(jié)EG、FG，
則EG∥AB，GF∥CD，
且由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．
∵AB與CD所成的角為30°，
∴∠EGF＝30°或150°．
由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；
當∠EGF＝150°時，
∠GEF＝15°．
故EF與AB所成的角為15°或75°．
12．②④
解析 ①中HG∥MN．
③中GM∥HN且GM≠HN，
∴HG、MN必相交．
13．45°
解析 連結(jié)B1D1，則E為B1D1中點，
連結(jié)AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB為異面直線EF與CD所成的角，
即∠B1AB＝45°．
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相關(guān)閱讀：第十二章立體幾何(高中數(shù)學競賽標準教材)