教案18 函數(shù)的單調(diào)性
一、前檢測(cè)
1. 下列函數(shù) 中,滿足 “對(duì) ,當(dāng) 時(shí),都有 ”的是( B )
A. B. C. D.
2. 函數(shù) 和 的遞增區(qū)間依次是( C )
A. B. C. D.
3. 已知函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)遞減,則 的取值范圍是( C )
A. B. C. D.
二、知識(shí)梳理
1.函數(shù)的單調(diào)性:一般地,設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?,區(qū)間 ,如果對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ,當(dāng) 時(shí)都有 ,那么就稱函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào) ( )函數(shù),區(qū)間 稱為 的 ( )區(qū)間.
解讀:
2.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法:
(1)定義法: (2)圖象法: (3)導(dǎo)數(shù)法: (4)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:
解讀:
3.關(guān)于函數(shù)單調(diào)性還有以下一些常見結(jié)論:
①兩個(gè)增(減)函數(shù)的和為_____;一個(gè)增(減)函數(shù)與一個(gè)減(增)函數(shù)的差是______;
②奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有_____的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有_____的單調(diào)性;
③互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義域上有______的單調(diào)性;
解讀:
4.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法:定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等
解讀:
三、典型例題分析
例1 求證: 在 上是增函數(shù).
答案:略
變式訓(xùn)練:對(duì)于給定的函數(shù) ,有以下四個(gè)結(jié)論:
① 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;② 在定義域上是增函數(shù);③ 在區(qū)間 上為減函數(shù),且在 上為增函數(shù);④ 有最小值2。
其中結(jié)論正確的是 . 答案:①③④
小結(jié)與拓展:對(duì) “對(duì)勾函數(shù)”的認(rèn)識(shí)。
例2 已知函數(shù) .滿足對(duì)任意的 都有 成立,則 的取值范圍是( A )
A. B. C. D.
變式訓(xùn)練:已知函數(shù) ,若 則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
解析: 在 上是增函數(shù),由題得 ,解得
小結(jié)與拓展:判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法。
例3 (1)函數(shù) 的遞增區(qū)間為___________; 答案:
(2)函數(shù) 的遞減區(qū)間為_________。 答案:
變式訓(xùn)練1:求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
答案:遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為
變式訓(xùn)練2:已知 在[0, 1]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù) 的取值范圍是____。
解:題中隱含a>0,∴2-ax在[0,1]上是減函數(shù).∴y=logau應(yīng)為增函數(shù),且u=2-ax在[0,1]上應(yīng)恒大于零.∴
∴1<a<2.
小結(jié)與拓展:復(fù)合函數(shù)單調(diào)性按照“同增異減”的法則判定
例4 函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.?
(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);?
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.?
解:(1)設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,?
則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)>f(x1).?
即f(x)是R上的增函數(shù).
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,?
∴f(2)=3,
∴原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2),?
∵f(x)是R上的增函數(shù),∴3m2-m-2<2,
解得-1<m< ,故解集為(-1, ).
小結(jié)與拓展:判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法,關(guān)鍵是根據(jù)條判斷 的符號(hào),需要設(shè)法構(gòu)造出 的因式。
變式訓(xùn)練:已知定義在區(qū)間 上的函數(shù) 滿足 ,且當(dāng) 時(shí), ,
(1)求 的值;(2)判斷 的單調(diào)性;(3)若 ,解不等式 。
答案:(1)令 可得 ;
(2)任取 且 則 ,
所以, 在區(qū)間 上單調(diào)遞減;
(3)由 ,由 單調(diào)遞減 ,解的: 或
四、歸納與總結(jié)(以學(xué)生為主,師生共同完成)
1.知識(shí):
2.思想與方法:
3.易錯(cuò)點(diǎn):
4.反思(不足并查漏):
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