三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換
多年，三角函數(shù)試題在全國高考中的題量及其分?jǐn)?shù)都沒有較大的變動(dòng)，每年的分?jǐn)?shù)一般在二十分左右。試題難度都為中低檔題。主要考察的內(nèi)容有：三角函數(shù)的定義和基本關(guān)系式.
關(guān)于今后幾年全國高考對(duì)三角函數(shù)的命題趨向，我們認(rèn)為：
1.試題數(shù)量及其分?jǐn)?shù)在試卷中所占比例將基本保持穩(wěn)定。
2.所有試題都是中低檔難度試題，而解答題的難度還將略有下降，原因有三個(gè)：一是需用時(shí)將列出有關(guān)公式，這實(shí)際上是對(duì)解題的關(guān)鍵步驟給出了提示；二是“簡單的三角方程”已經(jīng)改為不作高考要求的選學(xué)內(nèi)容，因而需用解簡單的三角不等式的試題將會(huì)更加簡單；三是新的大綱中規(guī)定刪去了“三角函數(shù)中較復(fù)雜得恒等變形”，因此，即使在新大綱實(shí)施之前，高考命題也會(huì)受到它的影響。
3.涉及積化和差與和差化積公式的試題在三角試題中的比例將會(huì)明顯下降，而同時(shí)涉及這兩組公式的試題已幾乎不可能再出現(xiàn)，因此這兩組公式已不再是高考的熱點(diǎn)。
4.倍角公式的變形——半角公式、升冪公式與降冪公式考查的可能性較大，掌握這幾個(gè)公式對(duì)解決一些相對(duì)復(fù)雜的三角變換有好處.
即：sin2α＝ ，……
5.由于解斜三角形需要較多的應(yīng)用平面幾何知識(shí)，因而今后幾年涉及這一類中的高考題，仍將會(huì)像1998年的三角解答題那樣，僅限于簡單的應(yīng)用正弦定理和余弦定理。另外，這兩個(gè)定理也很可能在解答幾何或結(jié)合實(shí)際的應(yīng)用題中使用。由于2000年的三角解答題的難度已經(jīng)“略有下降”，因此，今后幾年此類試題的難度也將“基本保持穩(wěn)定”。
在本講的復(fù)習(xí)中，我們將注意以下幾點(diǎn)：
1.以小題為主，中低檔題為主，并注重三角函數(shù)與其他知識(shí)的交匯點(diǎn)處的習(xí)題
2.適當(dāng)增大復(fù)習(xí)題中的求值與求范圍的題目的比例
3.對(duì)正、余弦定理的應(yīng)用力求熟練，并避免繁雜的近似計(jì)算
本講分三個(gè)部分：第一部分是三角函數(shù)的變換，第二部分是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，第三部分是三角形中的三角函數(shù)問題，主要是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用
第一部分
例1.已知sinθcosθ＝ ，且 ，那么cosθ－sinθ的值為
A. B. C.－ D.－
分析:由于 ，所以cosθ＜sinθ,于是cosθ－sinθ＝－ ,選D
例2.若tanθ＝－2，則 ＝______________
提示：將分子中的2θ化為單角，分母中的1用sin2θ＋cos2θ替換，然后分子分母同除以cos2θ即可。結(jié)論為
例3.化簡 (0＜α＜π)
提示：將分子分母全部化為 的表達(dá)式，然后注意0＜ ,即可得結(jié)論：cosα
例4.求tan9°＋cot117°－tan243°－cot351°的值
解：原式＝tan9°－tan27°－cot27°＋cot9°
＝(tan9°＋cot9°)－(tan27°＋cot27°)

例5.已知α、β∈(0，π)且tan(α－β)＝ ，tanβ＝－ ，求2α－β的值
解：∵ α＝(α－β)＋β
∴ tanα＝tan[(α－β)＋β]＝
∴ tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝ ＝1
又∵ β∈(0,π),且tanβ＝－ ＜0,∴ β∈( ,π),同理可得α∈(0, )
∴ －π＜2α－β＜0
于是 2α－β＝－
例6.已知θ∈(0， )，sinθ－cosθ＝ ，求 的值
解：由已知得：sin2θ＝ ，且2θ∈( ,π)
∴ cos2θ＝－ , tanθ＝ ＝2,帶入所求式
∴
練習(xí)一
一、選擇題
1.若cos2α＝－ ，且α∈[ ，π]，則sinα＝
A. B. C. D.
提示：注意α是鈍角，所以sinα＞0,由半角公式可得：sinα＝ ，選A
2.已知tan159°＝m，則sin2001°＝
A. B. C.－ D.－
解：由已知得tan21°＝－tan159°＝－m
2001°＝－sin21°＝－tan21°cos21°＝－ .選B
3.已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝ ，則tan ＝
A.3B.2C.－2D.－3
解：由已知cosα＝－ ,而180°＜α＜270°，∴ sinα＝－
∴ tan ＝－3.選D
4.已知tan(α＋β)＝ ，tan(α－ ，那么tan(β＋ )＝
A. B. C. D.
提示：注意到β＋ ＝(α＋β)—(α－ )，則直接使用正切差角公式即可得結(jié)論 .選B
5.若sinα＋sinβ＝ (cosβ－cosα)，α、β∈(0，π)，則α－β的值為
A.－ πB.－ C. D. π
解：已知等式兩邊和差化積得：2sin
∵ 0＜α＋β＜2π,∴ sin ≠0,于是tan
又注意到cosβ－cosα＞0，∴ β＜α,且β－α∈(－π,π)
∴ ,α－β＝ . 選D
6.已知α∈(0， )，lg(1－sinα)＝m，lg ＝n，則lgcosα＝
A.m－nB.m＋ C. (m－n)D. (m＋ )
解：lgcosα＝lg [lg(1－sinα)＋lg(1＋sinα)]＝ (m－n).選C
二、填空題
7.若(sinθ＋cosθ)2＝2x＋2－x，θ∈(0， )，則tanθ＝_______________
解：由三角函數(shù)定義(sinθ＋cosθ)2≤2，而由基本不等式2x＋2－x≥2
于是只有(sinθ＋cosθ)2＝2.由此推得銳角α＝
8.已知sinθ＋cosθ＝ ，則sin3θ＋cos3θ＝_______________
解：已知等式平方可得sinθcosθ＝－
于是：sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝
9. ＝____________________
解：原式＝
10.f(x)＝2tanx－ ，則f( )＝________________
解：化簡f(x)＝2(tanx＋ )，利用半角公式計(jì)算可得tan ＝2－
∴ ＝2＋
∴ f( )＝8
三、解答題
11.已知tan ，求cos(α－ )的值
解：cos(α－ )＝ cosα＋ sinα
∵ tan
由萬能公式可得sinα＝－4/5 cosα＝3/5
∴ cos(α－ )＝
12.求 [2cos40°＋sin10°(1＋ tan10°)]的值
解：原式＝ cos10°(2cos40°＋sin10° )
＝2 [cos10°cos40°＋sin10°( cos10°＋ sin10°)]
＝2 (cos10°cos40°＋sin10°sin40°)＝2 cos30°＝
13.已知cos(α－ )＝－ ，sin( －β)＝ ，且 ＜α＜2π， ＜β＜π，求cos(α＋β)的值
解：∵ (α－ )－( －β)＝
＜α＜2π， ＜β＜π，
∴ α＜α－
又cos(α－ )＝－ ，sin( －β)＝ ，
∴ sin(α－ )＝－ ，cos( －β)＝
cos ＝cos[(α－ )－( －β)]＝……＝
14.若tanα＝2log3x，tanβ＝3log x，且α－β＝ ，求x
解：∵ α－β＝ ，∴ tan(α－β)＝1
又tan(α－β)＝ ＝1
∴ 6log x＋5log3x－1＝0
 x＝ 或x＝
已知sinα＋sinβ＝sin165°，cosα＋cosβ＝cos165°，求cos(α－β)及cos(α＋β)的值
解：已知兩式平方相加得2＋2cos(α－β)＝1，即cos(α－β)＝－
已知兩式平方相減得cos2α＋cos2β＋2cos(α＋β)＝cos330°
∴ 2cos(α＋β)cos(α－β)＋3cos(α＋β)＝cos30°
∴ 2cos(α＋β)(－ )＋2cos(α＋β)＝
∴ cos(α＋β)＝



本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/37045.html

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