2015.12.5一．選擇題（本大題共有10個小題，每小題5分，共50分.）1.下列求導(dǎo)運算正確的是（ ）A．(x+ B．(log2x)′= C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx 2．觀察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結(jié)論是A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2是平面，給出下列命題：①若；②若；③若；④若a與b異面，且相交；⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直。其中真命題的個數(shù)是（ ）A．1B．2C．3D．44．如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為左焦點，當(dāng)⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝A．B．C．－1D．＋1 B．C． D．6．若命題“存在xR,2x2－3ax＋9＜0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是A. [－22 ] B. [－22 ] C. [－ ] D.(－22)7．如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點,若P到直線BC與直線C1D1的距離相等則動點P的軌跡所在的曲線是A．直線 B．圓C．拋物線D．雙曲線的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)是（ ）A．3B．2C．1D．09．已知P（x,y)是直線上一動點，PA，PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則的值為（ ）若在曲線f（x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”。下列方程：①；②，③；④對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有（ ）A．①②③B。③④C．．②③D．②③④設(shè)p：4x－3≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．________．13．設(shè)00)上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A,B．（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，－l）時，求過M，A，B三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系；Ⅱ）當(dāng)m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使MA ⊥MB若存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由21．（本小題14分）已知橢圓上任一點P，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且，點M的軌跡為C.求曲線C的方程；過點D（0，－2）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)N是過點且軸的直線上一動點，滿足（O為原點），問是否存在這樣的直線l， 使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由(x+ B．(log2x)′= C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx （2）觀察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結(jié)論是(　　)．A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C． n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2是平面，給出下列命題：若；②若；③若；④若a與b異面，且相交； ⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直. 其中真命題的個數(shù)是( A )A．1B．2C．3D．4(4)如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為左焦點，當(dāng)⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝(　　)．A.B.C.－1D.＋1(5)如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角是 ( D )A．B．C．D．(6)若命題“存在xR,2x2－3ax＋9＜0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是－22 ]. B. [－22 ] C. [－ ] D.(－22)(7)如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點,若P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動點P的軌跡所在的曲線是A． 直線 B． 圓C線D線的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)是( B )A．3B．2C．1D．0(9)已知P（x,y)是直線上一動點，PA，PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則的值為（ D ） A.3 B. C. D.2(10)若在曲線f（x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”。下列方程：①；②，③；④對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有（ C ）A．①②③B。③④C．．②③D．②③④ 設(shè)p：4x－3≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是_]_______．________．俯視圖（13）設(shè)00，將點C(7,9)代入z得最大值為21.(4分)(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域內(nèi)任一點(x，y)到定點M(0,5)的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，故z的最小值是MN2＝.(8分)(3)z＝2×表示可行域內(nèi)任一點(x，y)與定點Q連線的斜率的兩倍，因此kQA＝，kQB＝，故z的范圍為.(12分)(12分)的圖象過點P（0,2）,且在點M處的切線方程為. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（Ⅰ）由的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以由在處的切線方程是，知故所求的解析式是 （Ⅱ）解得 當(dāng)當(dāng)故內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù).18. (12分) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1,2,3，….(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項公式，并給出嚴(yán)格的證明．解：(1)當(dāng)n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.當(dāng)n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.(2)由題設(shè)知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S2n－2Sn＋1－anSn＝0.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(*)由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.由(*)式可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，….下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論．①n＝1時已知結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*)時結(jié)論成立，即Sk＝，當(dāng)n＝k＋1時，由 (*)得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時結(jié)論也成立．綜上，由①、②可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立．(12分)S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點.（Ⅰ）證明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；（Ⅲ）求點B到平面CMN的距離.解法一：（Ⅰ）取AC中點D，連結(jié)SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，過E作EF⊥CM于F，連結(jié)NF，則NF⊥CM.∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平幾知識可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S△CMN=CM?NF=，S△CMB=BM?CM=2.設(shè)點B到平面CMN的距離為h，∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN?h=S△CMB?NE，∴h==.即點B到平面CMN的距離為.解法二：（Ⅰ）取AC中點O，連結(jié)OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵?=（-4，0，0）?（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0）=（-1，0，）.設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，則 ?n=3x+y=0， 取z=1，則x=，y=-，∴n=(，-，1)，?n=-x+z=0， 又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量， ∴cos(n，)==.∴二面角N-CM-B的大小為arccos.（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（-1，，0），n=（，-，1）為平面CMN的一個法江西省重點中學(xué)2015-2016學(xué)年高二（課改班）上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題
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