2013-2014學(xué)年度第一學(xué)期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題（理科）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列說(shuō)法中，正確的是：（ ）A．命題若，則的否命題為若，則B．命題，使得 的否定是：，”C．”與命題“或”都是真命題，那么命題一定是真命題D．，則”的逆命題是真命題2．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A． B． C． D．3．從甲乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī),對(duì)其銷(xiāo)售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示),設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,,分別為,,則（）A．,B．, C．,D．,設(shè)為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線(xiàn)，給出下列四個(gè)命題：若，則若，，則；若，，則；若，，，，則．其中正確的命題圖所示的算法流程圖輸出的為，則判斷框中的條件是（　�。〢．B．C．D．7．如圖，設(shè)四面體各棱長(zhǎng)均相等，分別為中點(diǎn)，則在該四面體的面上的射影是下圖中的（　　） A B C D8．“過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線(xiàn)的斜率的值為”的（ ）A．充分必要條件 B．充分但不必要條件C．必要但不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．如圖所示方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是中的任何一個(gè)，允許重復(fù)，則填入方格的數(shù)字大于方格的數(shù)字的概率為（　　） B． C． D．10.如圖，棱長(zhǎng)為正方體上任取一點(diǎn)，以為球心，為半徑作一個(gè)球.設(shè)，記該球面與正方體表面的交線(xiàn)的長(zhǎng)度為，則函數(shù)的圖可能是 A． B．C． D．且，則 12．某校為了了解高三學(xué)生的身體狀況抽取了生體重將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖，則抽取的生的人數(shù)是與橢圓相交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，則此橢圓的離心率為_(kāi)______14.如圖，在長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使平面平面.在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作為垂足，設(shè)則的取值范圍是________，直線(xiàn)和曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，他們圍成的平面區(qū)域?yàn)�，向區(qū)域上隨機(jī)投以點(diǎn),點(diǎn)落在內(nèi)的概率為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是： 三、解答題本大題共6小題，共7分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟已知離心率為的橢圓() 過(guò)點(diǎn) 求橢圓的方程作斜率為直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng).17．（本題滿(mǎn)分12分）在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn). （1）求證：平面; （2）求多面體的體積.18. （本題滿(mǎn)分12分）某校在一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的頒獎(jiǎng)儀式上，高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為120人、120人、人.為了活躍氣氛，大會(huì)組委會(huì)在頒獎(jiǎng)過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表隊(duì)有6人.（）求的值；（）把在前排就坐的高二代表隊(duì)6人分別記為，現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng)，求和至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率；（）抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：代表通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)之間的均勻隨機(jī)數(shù)，并按如右所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該代表中獎(jiǎng)；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)，求該代表中獎(jiǎng)的概率.已知“存在”，命題：“曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，命題“曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)”（1）若“且”是真命題，求的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍。 20．（本題滿(mǎn)分13分）如圖，四棱錐中，底面為，，，分別是的中點(diǎn)．平面；（2）取，若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。21．（本題滿(mǎn)分14分）已知橢圓的離心率與雙曲線(xiàn)的離心率互為倒數(shù)，直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線(xiàn)垂直于點(diǎn)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（3）設(shè)第（2）問(wèn)中的與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足,求的取值范圍.2013-2014學(xué)年度第一學(xué)期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)參考答案（理科）一、選擇題（本大題共1小題，每小題5分，共0分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求。把答案填寫(xiě)在答題卡上2.【答案】D 整理為標(biāo)準(zhǔn)式，在求解3.【答案】A 乙城市的數(shù)據(jù)更靠近后面，所以平均數(shù)更大，數(shù)據(jù)更集中，所以方差更小。4.【答案】D　可能相交，（2）漏了線(xiàn)相交5.【答案】C 設(shè)，，設(shè)是兩曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)，則有曲線(xiàn)定義可得，6.【答案】A ，由判斷框首先排除B.D,然后一一運(yùn)算即可 7.【答案】B．在面的射影不在的邊上，也不在線(xiàn)段上，所以選B8.【答案】C 檢驗(yàn)，時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切，但是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的時(shí)候，，即此時(shí)直線(xiàn)平行雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)9.【答案】D 依題意，本題不必考慮區(qū)域，區(qū)域可重復(fù)填數(shù)，共有種方法，符合的共有種，所以10.【答案】B 分析：當(dāng)，以為半徑的球面與正方體的側(cè)面、以及下底面均相交，且與側(cè)面、以及下底面的交線(xiàn)均為圓心角為的圓弧，即，此時(shí)函數(shù)是關(guān)于自變量的正比例函數(shù)，排除選項(xiàng)、，當(dāng)時(shí)，側(cè)面、以及下底面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，此時(shí)球面與這三個(gè)面無(wú)交線(xiàn)，考慮球面與平面的交線(xiàn)，設(shè)球面與平面的交線(xiàn)是半徑為圓弧，在圓弧上任取一點(diǎn)，則，，易知，平面，由于平面，，由勾股定理得，則有，即球面與正方體的側(cè)面的交線(xiàn)為以為半徑，且圓心角為的圓弧，同理，球面與側(cè)面及底面的交線(xiàn)都是以為半徑，且圓心角為的圓弧，即，排除選項(xiàng)，故選項(xiàng)正確.二、填空題：本大題共小題，每小題5分，共2分。12. 【答案】 13. 【答案】 直線(xiàn)與的交點(diǎn)為，設(shè)與的交點(diǎn)分別為，由點(diǎn)差法，可得，即，14. 【答案】 分析：如圖，過(guò)作，垂足為，連接，平面平面，， 平面，.∴平面，.容易得到，當(dāng)接近點(diǎn)時(shí)，接近的中點(diǎn)，當(dāng)接近點(diǎn)時(shí)，接近的四等分點(diǎn)，t的取值范圍是. 當(dāng)直線(xiàn)在從軸開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置時(shí)，符合題意，取極限，計(jì)算即可。三、解答題：共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。，可得， ………………………………………………2分所以橢圓方程為又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以， ………………………………………………4分 …………………………………………5分所以橢圓方程為 ………………………………………………6分（2）由已知，直線(xiàn) 聯(lián)立 整理為 …………8分 ………………………………………………10分 ………………………………………………12分或，經(jīng)計(jì)算………………………………………………10分 ………………………………………………12分17. （本小題滿(mǎn)分12分） （1）證：連接,由分別是的中點(diǎn). ………………………3分平面,平面,………………………5分平面 ………………………6分(2) 三棱柱是直三棱柱，, ………………………8分又是的中點(diǎn). ………………………9分 ………………………10分………………………12分18．（），解得………………………2分（）為“和至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)………………………3分從高二代表隊(duì)人中抽取人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的所有基本事件列舉如下：共15種可能， ………………………5分其中事件包含的基本事件有9種 ………………………6分所以 ………………………7分（3）記事件為“該代表中獎(jiǎng)”如圖，所表示的平面區(qū)域是以為邊的正方形，而中獎(jiǎng)所表示的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠?………………………9分,陰影部分面積………………………11分所以該代表中獎(jiǎng)的概率為………………………12分19. （本小題滿(mǎn)分12分）解：（1）若為真： ………………………1分解得或 ………………………2分若為真：則 ………………………3分解得或 ………………………4分若“且”是真命題，則 ………………………6分解得或 ………………………7分（2）若為真，則，即………………………8分由是的必要不充分條件，則可得或 ………………………9分即或 ………………………11分解得或 ………………………12分20. （本小題滿(mǎn)分13分）解：方法一：（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以 ………………………1分又，因此 ………………………2分因?yàn)槠矫�，平面�?所以 ………………………3分而平面，平面，所以平面 . ………………………5分（2）為上任意一點(diǎn)，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角 ………………………6分在中，，所以當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大 . ………………………7分此時(shí)， 因此又， 所以，所以 ………………………8分因?yàn)槠矫�，平面�?所以平面平面過(guò)作于，則平面，過(guò)作于，連接，則為二面角的平面角，…………10分在中， 又是的中點(diǎn)，在中， 又 ………………………11分在中，即所求二面角的余弦值為。 ………………………13分第二問(wèn)：方法二（2）由（1）可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建江西省贛州市六校2013-2014學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題
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