數(shù)學(xué)（小班）試題
（滿分150分，時間120分鐘）
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.
1．某校對高二年級進(jìn)行了一次學(xué)業(yè)水平模塊測試，從該年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的數(shù)學(xué)測試成績分為6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高二年級共有學(xué)生1200名，若成績不少于80分的為優(yōu)秀，據(jù)此估計(jì)，高二年級在這次測試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為
A．30 B．120 C．180 D．300
2．某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個．命中個數(shù)的莖葉圖如圖．則下面結(jié)論中錯誤的一個是
A．甲的極差是29 B．乙的眾數(shù)是21
C．甲罰球命中率比乙高 D．甲的中位數(shù)是24
3． 的展開式的常數(shù)項(xiàng)是
A． B． C．12 D．8
4．如圖圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB= ，若在扇形AOB內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)不在圓C內(nèi)的概率為
A． B． C． D．
5．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù) 據(jù)如下表
廣告費(fèi)用x（萬元） 4 2 3 5
銷售額y（萬元） 49 26 ] 39 54
根據(jù)上表可得回歸方程 的 為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為
A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元
6．高二年級學(xué)生要安排元旦晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，則兩個舞蹈節(jié)目不連排的概率是
A． B． C． D．
7．某公司新招聘10名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一部門，則不同的分配方案共有
A. 120種 B. 240種 C. 380種 D. 1080種
8．某程序框圖如 圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的S的值為
A．1 B． C． D． R>日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日5ykj.com 12月5日 20. （本小題滿分12分） 21.（本小題滿分12分） 22．（本小題滿分1 2分） ②得 ，
9．在 的展開式中，含有 但不含有 的項(xiàng)的系數(shù)之和為
A.1024 B. 1023 C. D.
10．由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且2、4都不與6相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是
A．108 B．126 C． 144 D．180
11．算法程序框圖如圖所示，若 ，則輸出的結(jié)果是
A． B．a(chǎn) C．b D．c
12．設(shè)a,b,m為整數(shù)（m>0），若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余 ，記作 。已知 ，且 ，則b的值可以是
A．2018 B． 2018 C．2019 D． 2019
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號為1，2，…，1000，適當(dāng)分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為8．抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間 [1，400]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[401，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C．則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為_______.
14．下圖是求10個樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)x的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為____________.
15．國慶節(jié)前夕，小 張?jiān)陉柵_上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的閃亮相互獨(dú)立，且都在 通電后的5秒內(nèi)任一時刻 開始第一次閃亮，然后每串彩燈以5秒為間隔閃亮。當(dāng)這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮 的時刻相差不超過2秒的概率是________．
16．有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5 ，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為8，則不同的排法共有_________ 種(用數(shù)字作答).
三．解答題：本大題共6小題，共70分.
17. （本小題滿分10分）
已知 的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中所有的有理項(xiàng)
18．（本小題滿分12分）
某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大 小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：
溫差x（°C） 10 11 13 12 8
發(fā)芽數(shù)y（顆） 23 25 30 26 16
該農(nóng)科所確定 的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
（1 ）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；
（2）若選取的是12月1日 與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ；
參考公式：
（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
[來源:Z*xx*k.Com]
19．（本小題滿分12分）
5個人坐在一排8個座位上，問
（1）空位不相鄰的坐法有多少種?(用數(shù)字作答)
（2）3個空位只有2個相鄰的坐法有 多少種? (用數(shù)字作答)
（3）5 個人中的甲乙兩人不相鄰的坐法有多少種? (用數(shù)字作答)
一個袋子里裝有7個小球，其中有紅球4個，編號分別為1，2，3，4；白球3個，編號分別為1，2，3。從袋子中任取4個球（假設(shè)取到任何一個球的可能性相同）。
（1）求取出的4個球中，含有編號為2的球的概率；
（2）在取出的4個球中，有紅球和白球，且紅球的最大編號大于白球的最大編號的概率。
設(shè)A、B是橢圓 上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
（1）確定 的取值范圍，并求直線AB的方程；
（2）試判斷是否存在這樣的 ，使得A、B、C、D四個點(diǎn)在同一個圓上？并說明理由.
已知 ，函數(shù) ， （其中 為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值是 ，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù) ，使曲線 在點(diǎn) 處的切線與 軸垂直?請說明理由．
（3）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得在區(qū)間 上，函數(shù) 的圖象恒在 的圖象下方。
重慶市第十一中學(xué)校高2018級半期考試
數(shù)學(xué)（小班）參考答案
一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）
DDABB CAABD BC
二、 填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13． 18 14．S=S+x 15. 16．1632
三 、解答題：（本大題共6小題，共70 分）
17．（本小題滿分10分）
解：由題意： ，即 ，∴ 舍去）
…………4分
（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是 ；……6分
（2）若 是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng) 為整數(shù)，
∴ ，∴ ，
即 展開式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是： ， ， …………10分
18. （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)抽到不相鄰的兩組數(shù)據(jù)為事件A，
從5組 數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)
據(jù)共有10種情況：（1，2）
（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）
（3，4）（3，5）（4，5），
其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù)．
每種情況都是可能出現(xiàn)的，事件A包括的基本事件有6種．
∴P（A）= ．
∴選 取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率是 ………………4分
（2）由數(shù)據(jù)，求得 ．
由公式，求得b=
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為 x?3．………………………………8分
（3）當(dāng)x=10時， ×10?3=22，|22?23|＜2；
同樣當(dāng)x=8時， ×8?3=17，|17?16|＜2；
∴該研究所得到的回歸方程是可靠的．………………………………12分
19. （本小題滿分12分）
解：（1） ……… ………4分
（2） ……………………8分
（3） ……………………12分
20.（本小題滿分12分）
解：（1） 或 …………6分
（2） …………12分
21. （本小題滿分12分）
解：（1）依題意，可設(shè)直線AB的方程為 ，代入橢圓方程整理得
①
設(shè) 是方程①的兩個不同的根，
∴ ②
且 由P（1，2）是線段AB的中點(diǎn)，得
解得k=－1，代入
則 的取值范圍是（6，+∞），于是，直線AB的方程為 ……6分
（2）∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y－2=x－1，即x－y+1=0，
代入橢圓方程，整理得 ③
又設(shè) CD的中點(diǎn)為 ， 是方程③的兩根，
∴ ，則 ………………8分
于是由弦長公式可得 ④
將直線AB的方程x+y－3=0，代入橢圓方程得 ⑤
同理可得 ⑥
若A、B、C 、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.
點(diǎn)M到直線AB的距 離為 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式可得
，
故當(dāng) >6時，A 、B、C、D四點(diǎn)都在以M為圓心， 為半徑的圓上.……12分
22．（本小題滿分12分）
解：（1 ）∵ ，∴ ．
令 ，得 ．
①若 ，則 ， 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
舍去；
②若 ，當(dāng) 時， ，函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
當(dāng) 時， ，函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
，得 ；
③若 ，則 ，函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
，得 舍去；
綜上， �！�4 分
（2）∵ ， ，
由（1）可知，當(dāng) 時， ．
此時 在區(qū)間 上的最小值為 ，則 ．
當(dāng) ， ， ，
∴ ．
曲線 在點(diǎn) 處的切線與 軸垂直等價于方程 有實(shí)數(shù)解．
而 ，即方程 無實(shí)數(shù) 解．
故不存在 ，使曲線 在 處的切線與 軸垂直�！�8分
（3）由題意得 ，即 在 上恒成立，
令 ，則
令 ，則 ，
當(dāng) ， ，當(dāng) ， ，
，
則 在 上恒成立， 在 上是增函數(shù)，
……………………………………………………12分
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