注意全等三角形的構(gòu)造方法

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 七年級 來源: 高中學習網(wǎng)
注意全等三角形的構(gòu)造方法
搞清了全等三角形的證題思路后,還要注意一些較難的一些證明問題,只要構(gòu)造合適的全等三角形,把條件相對集中起來,再進行等量代換,就可以化難為易了.下面舉例說明幾種常見的構(gòu)造方法,供同學們參考.
1.截長補短法
例1.如圖(1)已知:正方形ABCD中,∠BAC的平分線交BC于E,
求證:AB+BE=AC.
解法(一)(補短法或補全法)延長AB至F使AF=AC,
由已知△AEF≌△AEC,∴∠F=∠ACE=45,
∴BF=BE,∴AB+BE=AB+BF=AF=AC.
解法(二)(截長法或分割法)在AC上截取AG=AB,由已知
△ABE≌△AGE,∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45, ∴CG=EG,
∴AB+BE=AG+CG=AC.
2.平行線法(或平移法)
若題設(shè)中含有中點可以試過中點作平行線或中位線,對Rt△,有時可作出斜邊的中線.
例2.△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q, 求證:AB+BP=BQ+AQ.
證明:如圖(1),過O作OD∥BC交AB于D,∴∠ADO=∠ABC
=180°-60°-40°=80°,又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°,
∴∠ADO=∠AQO,又∵∠DAO=∠QAO,OA=AO,
∴△ADO≌△AQO,∴OD=OQ,AD=AQ,又∵OD∥BP,
∴∠PBO=∠DOB,又∵∠PBO=∠DBO,∴∠DBO=∠DOB,
∴BD=OD,∴AB+BP=AD+DB+BP
=AQ+OQ+BO=AQ+BQ.

說明:⑴本題也可以在AB截取AD=AQ,連OD,
構(gòu)造全等三角形,即“截長補短法”.
⑵本題利用“平行法”解法也較多,舉例如下:
①如圖(2),過O作OD∥BC交AC于D,
則△ADO≌△ABO來解決.
②如圖(3),過O作DE∥BC交AB于D,
交AC于E,則△ADO≌△AQO,△ABO≌△AEO來解決.
③如圖(4),過P作PD∥BQ交AB的延長線于D,
則△APD≌△APC來解決.
④ 如圖(5),過P作PD∥BQ交AC于D,
則△ABP≌△ADP來解決.
(本題作平行線的方法還很多,感興趣
的同學自己研究).


 3.旋轉(zhuǎn)法
對題目中出現(xiàn)有一個公共端點的相等線段時,可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。
例3.已知:如圖(6),P為△ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=4,PC=5,
求∠APB的度數(shù).
分析:直接求∠APB的度數(shù),不易求,由PA=3,PB=4,PC=5,
聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形.
略解:將△BAP繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至△ACD,連接PD,
則△BAP≌△ADC,∴DC=BP=4,∵AP=AD,∠PAD=60°,
又∵PC=5,PD +DC =PC 圖(6)
∴△PDC為Rt△, ∠PDC=90∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90=150.
4.倍長中線法
題中條件若有中線,可延長一倍,以構(gòu)造全等三角形,從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。
例4.如圖(7)AD是△ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE.
求證:AC=BF
證明:延長AD至H使DH=AD,連BH,∵BD=CD,
∠BDH=∠ADC,DH=DA,
∴△BDH≌△CDA,∴BH=CA,∠H=∠DAC,又∵AE=EF,
∴∠DAC=∠AFE,∵∠AFE=∠BFD,∴∠AFE= 圖(7)
∠BFD=∠DAC=∠H,∴BF=BH,∴AC=BF.
5.翻折法
若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的,可以試用軸對稱性質(zhì),沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形.
例5.如圖(8)已知:在△ABC中,∠A=45, AD⊥BC,若BD=3,DC=2,
求:△ABC的面積.
解:以AB為軸將△ABD翻轉(zhuǎn)180,得到與它全等
的△ABE,以AC為軸將△ADC翻轉(zhuǎn)180,得到
與它全等的△AFC,EB、FC延長線交于G,易證
四邊形AEGF是正方形,設(shè)它的邊長為x,則BG
=x-3,CG=x-2,在Rt△BGC中,(x-3) +(x-2) =5 .
解得x=6,則AD=6,∴S△ABC= ×5×6=15.       圖(8)

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