2018-2019學(xué)年黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)七年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（五四學(xué)制）
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y= D．xy=1
2．（3分）把不等式?2x＜4的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列各組數(shù)值中，是方程2x?y=8的解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知 是關(guān)于x、y的方程4kx?3y=?1的一個(gè)解，則k的值為（ ）
A．1 B．?1 C．2 D．?2
5．（3分）對于不等式組 ，下列說法正確的是（ �。�
A．此不等式組的正整數(shù)解為1，2，3
B．此不等式組的解集為?1＜x≤
C．此不等式組有5個(gè)整數(shù)解
D．此不等式組無解
6．（3分）若實(shí)數(shù)abc滿足a2+b2+c2=9，代數(shù)式（a?b）2+（b?c）2+（c?a）2的最大值是（ �。�
A．27 B．18 C．15 D．12
7．（3分）下列各組數(shù)值是二元一次方程2x?y=4的解的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）玩具車間每天能生產(chǎn)甲種玩具零件24個(gè)或乙種玩具零件12個(gè)，若甲種玩具零件一個(gè)與乙種玩具零件2個(gè)能組成一個(gè)完整的玩具，怎樣安排生產(chǎn)才能在60天內(nèi)組裝出最多的玩具設(shè)生產(chǎn)甲種玩具零件x天，乙種玩具零件y天，則有（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）不等式組 的解集是（ �。�
A．x＞ B．x＞?5 C． ＜x＜?5 D．x≥?5
10．（3分）已知a＞2a，那么對于a的判斷正確的是（ �。�
A．是正數(shù) B．是負(fù)數(shù) C．是非正數(shù) D．是非負(fù)數(shù)
二.填空題：（每小題3分，共30分）
11．（3分）方程2x+y=8的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是 ．
12．（3分）若3x2m?3?y2n?1=5是二元一次方程，則m= ，n= ．
13．（3分）善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)的基本思想方法，被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問題中．用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形描述數(shù)量關(guān)系，往往會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)．小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)過程中（如圖，直徑AB⊥弦CD于E），設(shè)AE=x，BE=y，他用含x，y的式子表示圖中的弦CD的長度，通過比較運(yùn)動(dòng)的弦CD和與之垂直的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于正數(shù)x，y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的不等式 �。�
14．（3分）如果關(guān)于x的不等式（a+b）x+2a?b＞0的解集是x＜ ，那么關(guān)于x的不等式（b?a）x+a+2b≤0的解集是 ．
15．（3分）若4x+3y+5=0，則3（8y?x）?5（x+6y?2）的值等于 ．
16．（3分）如果|x?2y+1|+|x+y?5|=0，那么xy= �。�
17．（3分）若不等式組 無解，則m的取值范圍是 �。�
18．（3分）若關(guān)于x的不等式2x?a≤0的正整數(shù)解是1、2、3，則a的取值范圍是 �。�
19．（3分）如圖，△ABC沿直線AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=25°，∠ADB=110°，則∠DAC的度數(shù)是 �。�
20．（3分）如圖，任意一個(gè)凸四邊形ABCD，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，圖中陰影部分的兩塊面積之和是四邊形ABCD的面積的 ．
三．解答題：（共60分）
21．（8分）先閱讀，然后解方程組 ．
解方程組時(shí)，可由①得x?y=1③，然后再將③代入②得4×1?y=5，求得y=?1，從而進(jìn)一步求得 這種方法被稱為“整體代入法”．
請用這樣的方法解方程組 ．
22．（8分）解下列不等式組：
（1）2（x+1）＞3x?4
（2） ．
23．（7分）如圖所示，按要求畫出圖形：
（1）將圖形向右平移6個(gè)單位長度，畫出平移后的圖形；
（2）將（1）中得到的圖形向上平移5個(gè)單位長度，畫出平移后的圖形；
（3）將（2 ）中得到的圖形向左平移7個(gè)單位長度，畫出平移后的圖形．
24．（7分）某公司決定從廠家購進(jìn)甲、乙兩種不同型號(hào)的顯示器共50臺(tái)，購進(jìn)顯示器的總金額不超過77000元，已知甲、乙型號(hào)的顯示器價(jià)格分別為1000元/臺(tái)、2000元/臺(tái)．
（1）求該公司至少購買甲型顯示器多少臺(tái)？
（2）若要求甲型顯示器的臺(tái)數(shù)不超過乙 型顯示器的臺(tái)數(shù)，問有哪些購買方案？
25．（10分）若關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解滿足x?y＞?3，求出滿足條件的m的所有非負(fù)整數(shù)解．
26．（10分）某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺(tái)GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)．已知每臺(tái)GH型產(chǎn)品由4個(gè)G型裝置和3個(gè)H型裝置配套組成．工廠現(xiàn)有80名工人，每個(gè)工人每天能加工6個(gè)G型裝置或3個(gè)H型裝置．工廠將所有工人分成兩組同時(shí)開始加工，每組分別加工一種裝置，并要求每天加工的G、H型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH型產(chǎn)品．
（1）按照這樣的生產(chǎn)方式，工廠每天能 配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品？請列出二元一次方程組解答此問題．
（2）為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)，工廠決定補(bǔ)充一些新工人，這些新工人只能獨(dú)立進(jìn)行G型裝置的加工，且每人每天只能加工4個(gè)G型裝置．
1．設(shè)原來每天安排x名工人生產(chǎn)G型裝置，后來補(bǔ)充m名新工人，求x的值（用含m的代數(shù)式表示）
2．請問至少需要補(bǔ)充多少名新工人才能在規(guī)定期內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)？
27．（10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠PAC+∠PCA= ，連接PB，試探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，連接PP′，如圖1所示．由△ABP≌△ACP′可以證得△APP′是等邊三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小為 度，進(jìn)而得到△CPP′是直角三角形，這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為 ��；
（2）如圖2，當(dāng)α=120°時(shí)，參考（1）中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；
（3 ）PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為 �。�
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是二元一次方程的是（ �。�
A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y= D．xy=1
【解答】解：A、是一元二次方程，故A不符合題意；
B、是二元一次方程，故B符合題意；
C、是分式方程，故C不符合題意；
D、是二元二次方程，故D不符合題意；
故選：B．
2．（3分）把不等式?2x＜4的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：不等式兩邊同除以?2，得x＞?2．
故選：A．
3．（3分）下列各組數(shù)值中，是方程2x?y=8的解的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A、把 代入方程左邊得：2+2=4，右邊=8，左邊≠右邊，故不是方程的解；
B、把 代入方程左邊得：4?0=4，右邊=8，左邊≠右邊，故不是方程的解；
C、把 代入方程左邊得：1+7=8，右邊=8，左邊=右邊，是方程的解；
D、把 代入方程左邊得：10+2=12，右邊=8，左邊≠右邊，故不是方程的解，
故選：C．
4．（3分）已知 是關(guān)于x、y的方程4kx?3y=?1的一個(gè)解，則k的值為（ �。�
A．1 B．?1 C．2 D．?2
【解答】解：∵ 是關(guān)于x、y的方程4kx?3y=?1的一個(gè)解，
∴代入得：8k?9=?1，
解得：k=1，
故選：A．
5．（3分）對于不等式組 ，下列說法正確的是（ �。�
A．此不等式組的正整數(shù)解為1，2，3
B．此不等式組的解集為?1＜x≤
C．此不等式組有5個(gè)整數(shù)解
D．此不等式組無解
【解答】解： ，
解①得x≤ ，
解②得x＞?1，
所以不等式組的解集為?1＜x≤ ，
所以不等式組的正整數(shù)解為1，2，3
故選：A．
6．（3分）若實(shí)數(shù)abc滿足a2+b2+c2=9，代數(shù)式（a?b）2+（b?c）2+（c?a）2的最大值是（ ）
A．27 B．18 C．15 D．12
【解答】解：∵a2+b2+c2=（a+b+c）2?2ab?2ac?2bc，
∴?2ab?2ac?2bc=a2+b2+c2?（a+b+c）2①
∵（a?b）2+（b?c）2+（c?a）2=2a2+2b2+2c2?2ab?2ac?2bc；
又（a?b）2+（b?c）2+（c?a）2
=3a2+3b2+3c2?（a+b+c）2
=3（a2+b2+c2）?（a+b+c）2②
①代入②，得3（a2+b2+c2）?（a+b+c）2=3×9?（a+b+c）2=27?（a+b+c）2，
∵（a+b+c）2≥0，
∴其值最小為0，
故原式最大值為27．
故選：A．
7．（3分）下列各組數(shù)值是二元一次方程2x?y=4的解的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解： 是二元一次方程2x?y=4的解，
故選：A．
8．（3分）玩具車間每天能生產(chǎn)甲種玩具零件24個(gè)或乙種玩具零件12個(gè)，若甲種玩具零件一個(gè)與乙種玩具零件2個(gè)能組成一個(gè)完整的玩具，怎樣安排生產(chǎn)才能在60天內(nèi)組裝出最多的玩具設(shè)生產(chǎn)甲種玩具零件x天，乙種玩具零件y天，則有（ �。�
A． B．
C． D．
【解答】解：根據(jù)總天數(shù)是60天，可得x+y=60；根據(jù)乙種零件應(yīng)是甲種零件的2倍，可列方程為2×24x=12y．
則可列方程組為 ．
故選：C．
9．（3分）不等式組 的解集是（ �。�
A．x＞ B．x＞?5 C． ＜x＜?5 D．x≥?5
【解答】解：由（1）得：x≥?5，由（2）得：x＞ ，所以x≥?5．故選D．
10．（3分）已知a＞2a，那么對于a的判斷正確的是（ ）
A．是正數(shù) B．是負(fù)數(shù) C．是非正數(shù) D．是非負(fù)數(shù)
【解答】解：由a＞2a，
移項(xiàng)得：0＞2a?a，
合并得：a＜0，
則a是負(fù)數(shù)，
故選：B．
二.填空題：（每小題3分，共30分
11．（3分）方程2x+y=8的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是 3�。�
【解答】解：方程2x+y=8變形，得y=8?2x，
∵x，y都是正整數(shù)
∴解有3組 ， ， ．
12．（3分）若3x2m?3?y2 n?1=5是二元一次方程，則m= 2 ，n= 1�。�
【解答】解：∵3x2m?3?y2n?1=5是二元一次方程，
∴2m?3=1，2n?1=1，
解得：m=2，n=1，
故答案為：2；1
13．（3分）善于歸納和總結(jié)的小明發(fā)現(xiàn)，“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)的基本思想方法，被廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問題中．用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)和用圖形描述數(shù)量關(guān)系，往往會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)．小明在研究垂直于直徑的弦的性質(zhì)過程中（如圖，直徑AB⊥弦CD于E），設(shè)AE=x，BE=y，他用含x，y的式子表示圖中的弦CD 的長度，通過比較運(yùn)動(dòng)的弦CD和與之垂直 的直徑AB的大小關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于正數(shù)x，y的不等式，你也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)不等式嗎？寫出你發(fā)現(xiàn)的不等式 x+y≥2 �。�
【解答】解：根據(jù)相交弦定理的推論，得CE2=AE•BE，則CE= ．
根據(jù)垂徑定理，得CE2=AE•BE，
即（ CD）2=xy，
∴CD=2CE=2 ．
又AB=x+y，且AB≥CD，得x+y≥2 ．
14．（3分）如果關(guān)于x的不等式（a+b）x+2a?b＞0的解集是x＜ ，那么關(guān)于x的不等式（b?a）x+a+2b≤ 0的解集是 x≥? �。�
【解答】解：∵關(guān)于x的不等式（a+b）x+2a?b＞0的解集是x＜ ，
∴x＜ ，
∴ = ，且a+b＜0，
即b=?3a，a+b＜0，
∴a?3a＜0，即a＞0，
∴b?a=?4a＜0，
∴關(guān)于x的不等式（b?a）x+a+2b≤0的解集是x≥ ，
∵ = =? ，
∴關(guān)于x的不等式（b?a）x+a+2b≤0的解集是x≥? ，
故答案為：x≥? ．
15．（3分）若4x+3y+5=0，則3（8y?x）?5（x+6y?2）的值等于 20 ．
【解答】解：3（8y?x）?5（x+6y?2）=24y?3x?5x?30y+10=?8x?6y+10=?2（4x+3y）+10=?2×（?5 ）+10=20．
16．（3分）如果|x?2y+1|+|x+y?5|=0，那么xy= 9�。�
【解答】解：∵|x?2y+1|+|x+y?5|=0，
∴ ，
②?①得：3y=6，
解得：y=2，
把y=2代入②得：x=3，
則原式=9，
故答案為：9
17．（3分）若不等式組 無解，則m的取值范圍是 m＜ �。�
【解答】解：解不等式組可得 ，因?yàn)椴坏仁浇M無解，所以m＜ ．
18．（3分）若關(guān)于x的不等式2x?a≤0的正整數(shù)解是1、2、3，則a的取值范圍是 6≤a＜8�。�
【解答】解：解不等式2x?a≤0，得：x≤ ，
∵其正整數(shù)解是1、2、3，
所以3≤ ＜4，
解得6≤a＜8，
故答案為：6≤a＜8
19．（3分）如圖，△ABC沿直線AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=25°，∠ADB=110°，則∠DAC的度數(shù)是 90°�。�
【解答】解：∵△ABC沿直線AB向下翻折得到△ABD，
∴∠C=∠D=110°，∠ABC=∠ABD=25°，
∴∠DAC=360°?110°?110°?25°?25°=90°
故答案為90°；
20．（3分）如圖，任意一個(gè)凸四邊形ABCD，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，圖中陰影部分的兩塊面積之和是四邊形ABCD的面積的 �。�
【解答】解：分別連接OB、OA、OD、OC，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴S△AOH=S△DOH，S△AOE=S△EOB，
S△BOF=S△COF，S△DOG=S△COG，
S△AOH+S△AOE+S△COF+S△COG= S四邊形ABCD，
即圖中陰影部分的總面積為= S四邊形ABCD，
故答案為 ．
三．解答題：（共60分）
21．（8分）先閱讀，然后解方程組 ．
解方程組時(shí)，可由①得x?y=1③，然后再將③代入②得4×1?y=5，求得y=?1，從而進(jìn)一步 求得 這種方法被稱為“整體代入法”．
請用這樣的方法解方程組 ．
【解答】解： ，
由①得2x?y=2③，
將③代入②得 +2y=12，
解得y=5，
把y=5代入③得x=3.5．
則方程組的解為 ．
22．（8分）解下列不等式組：
（1）2（x+1）＞3x?4
（2） ．
【解答】解：（1）2（x+1）＞3x?4，
2x+2＞3x?4，
2x?3x＞?4?2，
?x＞?6，
x＜6；
（2）
∵解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥?2，
∴不等式組的解集是?2≤x＜2．
23．（7分）如圖所示，按要求畫出圖形：
（1）將圖形向右平移6個(gè)單位長度，畫出平移后的圖形；
（2）將（1）中得到的圖形向上平移5個(gè)單位長度，畫出平移后的圖形；
（3）將（2）中得到的圖形向左平移7個(gè)單位長度，畫出平移后的圖形．
【解答】解：（1）所畫圖形如圖（1）所示；
（2）所畫圖形如圖（2）所示；
（3）所畫圖形如圖（3）所示．
24．（7分）某公司決定從廠家購進(jìn)甲、乙兩種不同型號(hào)的顯示器共50臺(tái)，購進(jìn)顯示器的總金額不超過77000元，已知甲、乙型號(hào)的顯示器價(jià)格分別為1000元/臺(tái)、2000元/臺(tái)．
（1）求該公司至少購買甲型顯示器多少臺(tái)？
（2）若要求甲型顯示器的臺(tái)數(shù)不超過乙型顯示器的臺(tái)數(shù)，問有哪些購買方案？
【解答】解：（1）設(shè)該公司購進(jìn)甲型顯示器x臺(tái)，則購進(jìn)乙型顯示器（50?x）臺(tái)，
由題意，得：1000x+2000（50?x）≤77000
解得：x≥23．
∴該公司至少購進(jìn)甲型顯示器23臺(tái)．
（2）依題意可列不等式：x≤50?x，
解得：x≤25．
∴23≤x≤25．
∵x為整數(shù)，
∴x=23，24，25．
∴購買方案有：
①甲型顯示器23臺(tái)，乙型顯示器27臺(tái)；
②甲型顯示器24臺(tái)，乙型顯示器26臺(tái)；
③甲型顯示器25臺(tái)，乙型顯示器25臺(tái)．
25．（10分）若關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解滿足x?y＞?3，求出滿足條件的m的所有非負(fù)整數(shù)解．
【解答】解：在關(guān)于x、y的二元一次方程組 中，
①?②，得：x?y=?3m+6，
∵x?y＞?3，
∴?3m+6＞?3，
解得：m＜3，
∴滿足條件的m的 所有非負(fù)整數(shù)解有0，1，2．
26．（10分）某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺(tái)GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)．已知每臺(tái)GH型產(chǎn)品由4個(gè)G型裝置和3個(gè)H型裝置配套組成．工廠現(xiàn)有80名工人，每個(gè) 工人每天能加工6個(gè)G型裝置或3個(gè)H型裝置．工廠將所有工人分成兩組同時(shí)開始加工，每組分別加工一種裝置，并要求每天加工的G、H型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH型產(chǎn)品．
（1）按照這樣的生產(chǎn)方式，工廠每天能配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品？請列出二元一次方程組解答此問題．
（2）為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)，工廠決定補(bǔ)充一些新工人，這些新工人只能獨(dú)立進(jìn)行G型裝置的加工，且每人每天只能加工4個(gè)G型裝置．
1．設(shè)原來每天安排x名工人生產(chǎn)G型裝置，后來補(bǔ)充m名新工人，求x的值（用含m的代數(shù)式表示）
2．請問至少需要補(bǔ)充多少名新工人才能在規(guī)定期內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)？
【解答】（1）解：設(shè)x人加工G型裝置，y人加工H型裝置，由題意可得：
解得： ，
6×32÷4=48（套），
答：按照這樣 的生產(chǎn)方式，工廠每天能配套組成48套GH型電子產(chǎn)品．
（2）由題意可知：3（6x+4m）=3（80?x）×4，
解得： ．
‚ ×4=240（個(gè)），
6x+4m≥240
6× +4m≥240．
解得：m≥30．
答：至少需要補(bǔ)充30名新工人才能在規(guī)定期內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)．
27．（10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠PAC+∠PCA= ，連接PB，試探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，連接PP′，如圖1所示．由△ABP≌△ACP′可以證得△APP′是等邊三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小為 150 度，進(jìn)而得到△CPP′是直角三角形，這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為 PA2+PC2=PB2�。�
（2）如圖2，當(dāng)α=120°時(shí)，參考（1）中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；
（3）PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為 4PA2•sin2 +PC2=PB2 ．
【解答】解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP=AP′，
由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，
∴△PAP′為等邊三角形，
∴∠APP′=60°，
∵∠PAC+∠PCA= =30°，
∴∠APC=150°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∴PA2+PC2=PB2，
故答案為：150，PA2+PC2=PB2；
（2）如圖2，作將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACP′，連接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，
∴∠APP′=30°，
∵∵∠PAC+∠PCA= =60°，
∴∠APC=120°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∵∠APP′=30°，
∴PD= PA，
∴PP′= PA，
∴3PA2+PC2=PB2；
（3）如圖2，與（2）的方法類似，
作將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△ACP′，連接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠PAP′=α，P′C=PB，
∴∠APP′=90°? ，
∵∵∠PAC+∠PCA= ，
∴∠APC=180°? ，
∴∠P′PC=（180°? ）?（90°? ）=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∵∠APP′=90°? ，
∴PD=PA•cos（90°? ）=PA•sin ，
∴PP′=2PA•sin ，
∴4PA2sin2 +PC2=PB2，
故答案為：4PA2sin2 +PC2=PB2．
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