等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
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課 題32.1等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明(1)課型新授課
教學(xué)目標(biāo)1、了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容,掌握證明的基本步驟和書寫格式。
2、經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
教學(xué)重點(diǎn)了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容,掌握證明的基本步驟和書寫格式。
教學(xué)難點(diǎn)能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
教學(xué)方法觀察法
教學(xué)后記

教 學(xué) 內(nèi) 容 及 過 程學(xué)生活動(dòng)
一、復(fù)習(xí):
1、什么是等腰三角形?
2、你會(huì)畫一個(gè)等腰三角形嗎?并把你畫的等腰三角形栽剪下來。
3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質(zhì)?
二、新課講解:
之前,我們已經(jīng)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論,運(yùn)用下面的公理和已經(jīng)證明的定理,我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論。
同學(xué)們和我一起來回憶上學(xué)期學(xué)過的公理:
?1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;
?2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;
?3.兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; (SAS)
?4.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; (ASA)
?5.三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; (SSS)
?6.全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.
由公理5、3、4、6可容易證明下面的推論:
推論 兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(AAS)
證明過程:
已知:∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
求證:△ABC≌△DEF
證明:∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形內(nèi)角和等于180°)
∠C=180°-(∠A+∠B)
∠F=180°-(∠D+∠E)
∠C=∠F(等量代換)
BC=EF(已知)
△ABC≌△DEF(ASA)
這個(gè)推論雖然簡單,但也應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)行證明,以熟悉的基本要求和步驟,為下面的推理證明做準(zhǔn)備。
三、議一議:
(1)還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?
(2)你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎?
等腰三角形(包括等邊三角形)的性質(zhì)學(xué)生已經(jīng)探索過,這里先讓學(xué)生盡可能回憶出來,然后再考慮哪些能夠立即證明。
定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等。
這一定理可以簡單敘述為:等邊對等角。
已知:如圖,在ABC中,AB=AC。
求證:∠B=∠C
證明:取BC的中點(diǎn)D,連接AD。
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABC△≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C (全等三角形的對應(yīng)邊角相等)
四、想一想:
在上圖中,線段AD還具有怎樣的性質(zhì)?為什么?由此你能得到什么結(jié)論?
應(yīng)讓學(xué)生回顧前面的證明過程,思考線段AD具有的性質(zhì)和特征,從而得到結(jié)論,這一結(jié)合通常簡述為“三線合一”。
推論 等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
五、隨堂練習(xí):
做教科書習(xí)題第1,2題。
六、課堂小結(jié):
通過本課的學(xué)習(xí)我們了解了作為基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容,掌握證明的基本步驟和書寫格式。經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。探了反證法的含義。
七、課外作業(yè):
同步練習(xí)

板書設(shè)計(jì):

這個(gè)推論雖然簡單,但也應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)行證明,以熟悉的基本要求和步驟,為下面的推理證明做準(zhǔn)備。

學(xué)生充分討論問題1,借助等腰三角形紙片回憶有關(guān)性質(zhì)

讓學(xué)生盡可能回憶出來,然后再考慮哪些能夠立即證明

讓同學(xué)們通過探索、合作交流找出其他的證明方法

學(xué)生回顧前面的證明過程,思考線段AD具有的性質(zhì)和特征,討論圖中存在的相等的線段和相等的角,發(fā)現(xiàn)等腰三角形性質(zhì)定理的推論,從而得到結(jié)論,這一結(jié)合通常簡述為“三線合一”。
課 題32.1等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明(2)課型新授課
教學(xué)目標(biāo)1、掌握證明的基本步驟和書寫格式。
2、經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
3、結(jié)合實(shí)例反證法的含義。
教學(xué)重點(diǎn)等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
教學(xué)難點(diǎn)能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
教學(xué)方法
教學(xué)后記

教 學(xué) 內(nèi) 容 及 過 程
教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)
一、等腰三角形性質(zhì)的探究
1.讓學(xué)生回憶上節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生思考從等腰三角形中能找到哪些相等的線段。
2.播放課件,結(jié)合剛才的問題講解例1的命題,并為后面將此性質(zhì)拓展埋下伏筆。
3.分別演示:

∠ABC, ∠ACE= ∠ACB,k= , 時(shí),BD是否與CE相等。引導(dǎo)學(xué)生探究、猜測當(dāng)k為其他整數(shù)時(shí),BD與CE的關(guān)系。
4. 引導(dǎo)學(xué)生探究,對于上述例題,當(dāng)AD= AC,AE= AB,k= , 時(shí),通過對例題的引申,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,經(jīng)歷探究—猜測—證明的學(xué)習(xí)過程。
5.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步推廣,把上面3、4中的k取一般的自然數(shù)后,原結(jié)論是否仍然成立?要求學(xué)生說明理由或給出證明。
6.對學(xué)生探究的結(jié)果予以匯總、點(diǎn)評,鼓勵(lì)學(xué)生在自己做題目的時(shí)候也要多思多想,并要求學(xué)生對猜測的結(jié)果給出證明。
7.提出新的問題,引導(dǎo)學(xué)生從“等角對等邊”這個(gè)命題的反面思考問題,即思考它的逆命題是否成立。適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生思考可以用哪些方法證明?培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。
8.歸納學(xué)生提出的各種證法,清楚的分析證明的思路,培養(yǎng)學(xué)生演繹證明的初步的推理能力。
9.啟發(fā)學(xué)生思考:在一個(gè)三角形中,如果兩個(gè)角不相等,那么這兩個(gè)角所對的邊也不相等,這個(gè)結(jié)論是否成立?如果成立,能否證明。這實(shí)際上是“等邊對等角”的逆否命題,通過這樣的表述可以提高學(xué)生的思維能力。
10.這一證明方法,敘述并闡釋反證法的含義,讓學(xué)生了解。
11.小結(jié)這兩個(gè)課時(shí)的內(nèi)容。
作業(yè):
同步練習(xí)

板書設(shè)計(jì):

1.積極思考,回憶以前所學(xué)知識(shí),聯(lián)想新問題。

2.認(rèn)真觀看例1圖形中線段的關(guān)系,積極思考,認(rèn)真聽講。
3.對于課件的演示很感興趣,憑直觀感覺可以猜測,不管k為何值,BD=CE總成立。基于前面例題的啟發(fā),想要給出證明。一部分學(xué)生可以自己給出證明,一部分學(xué)生需要老師的幫助。
4.在已經(jīng)探究了角的大小的改變對于BD,CE的等長性沒有影響,有了一些成就感之后,又面臨新的任務(wù):BD=CE嗎?因此學(xué)生會(huì)滿懷熱情地進(jìn)行這部分探究活動(dòng),而且有了前面的體驗(yàn),探究也會(huì)比較順利。
5.興致高漲,憑直覺猜測結(jié)論仍然成立。但有些學(xué)生給出全部證明可能會(huì)有困難。
6.認(rèn)真聽講,在掌握結(jié)論的同時(shí)受到老師的鼓勵(lì),有很高的熱情進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)。
7.較少接觸這樣的命題,因此會(huì)感到新鮮,有用已知公理和定理對命題的真假性進(jìn)行判斷的欲望。在老師指導(dǎo)下完成證明。
8,積極動(dòng)腦思考,認(rèn)真聽講,獲得對演繹證明的初步體會(huì)。
9.可以從直觀上得出結(jié)論,但是此處要求證明,體會(huì)到證明的必要性。遇到認(rèn)知上的沖突,激起學(xué)習(xí)欲望。
10.懷有強(qiáng)烈的求知欲聽講,對反證法有了感性認(rèn)識(shí)和一定的理解。
11.體會(huì)老師的講解,并根據(jù)小結(jié)記憶掌握知識(shí)。
(學(xué)生小結(jié):掌握證明的基本步驟和書寫格式。經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線(高)、兩底角的平分線相等,并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論。等腰三角形的判定定理。了解反證法的推理方法。)

課 題32.1等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明(3)課型新授課
教學(xué)目標(biāo)1、掌握證明的基本步驟和書寫格式。
2、經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過程。能夠用綜合法證明直角三角形的有關(guān)性質(zhì)定理和等邊三角形的判定定理。
教學(xué)重點(diǎn)等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質(zhì)定理。
教學(xué)難點(diǎn)能夠用綜合法證明等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質(zhì)定理。
教學(xué)方法
教學(xué)后記
教 學(xué) 內(nèi) 容 及 過 程
教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)

一、定理:一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

1.引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課的內(nèi)容,讓學(xué)生思考:等腰三角形滿足什么條件時(shí)便成為等邊三角形?讓學(xué)生對普遍聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)。
2.肯定學(xué)生的回答,并讓學(xué)生進(jìn)一步思考:有一個(gè)角是60°的等腰三家形是等邊三角形嗎?組織學(xué)生交流自己的想法。滲透分類討論的思維方法。
3.關(guān)注學(xué)生得出證明思路的過程,講 評。講解定理:有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

二、一種特殊直角三角形的性質(zhì)

1.讓學(xué)生拼擺事先準(zhǔn)備好的三角尺,提問:能拼成一個(gè)怎樣的三角形?能否拼出一個(gè)等邊三角形?并說明理由。
2.肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和解釋,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入提問:在直角三角形中,30°所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系?
3.演示規(guī)范的證明步驟,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到:通過實(shí)際操作探索出的結(jié)論還需要給予理論證明。
4.讓學(xué)生準(zhǔn)備一張正方形紙片,,按要求動(dòng)手折疊。
5.講解例題,應(yīng)用定理。
6.布置學(xué)生做練習(xí)。
練習(xí):課本 隨堂練習(xí) 1
四、課堂小結(jié):
通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了什么知識(shí)?了解了什么證明方法?

五、作業(yè):同步練習(xí)

板書設(shè)計(jì):

1.積極地自主探索、思考等腰三角形成為等邊三角形的條件?赡軙(huì)從邊和角兩個(gè)角度給出答案。

2.積極思考,通過老師的點(diǎn)撥,分類討論當(dāng)這個(gè)角分別是底角和頂角的情況。

3.認(rèn)真聽講,體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思維方法,理解定理。

1.積極動(dòng)手操作,并很快得到結(jié)果:可以拼出等邊三角形。

2.在拼擺的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索,得出結(jié)論。并在探索的過程中得到證明的思路。
3.認(rèn)真聽講,體會(huì)從探索和嘗試中得到結(jié)論的過程和證明方法的步驟,掌握定理。
4.很有興趣地折疊紙片,體會(huì)定理的應(yīng)用。
5.聽講,體會(huì)定理的應(yīng)用。
6.認(rèn)真做練習(xí)。

(學(xué)生小結(jié):掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理)

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