2018-2019學年山東省濟寧市嘉祥縣九年級（上）月考數(shù)學試卷（12月份）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．將拋物線y=x2先向左平移2個單位，再向下平移2個單位，那么所得拋物線的函數(shù)關系式是（ �。�
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2?2 C．y=（x?2）2+2 D．y=（x?2）2?2
2．從圖中的四張圖案中任取一張，取出圖案是中心對稱圖形的概率是（ �。�
A． B． C． D．1
3．如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，則∠AOB的度數(shù)為（ �。�
A．35° B．55° C．145° D．70°
4．我市藥品監(jiān)察部門為了響應國家解決老百姓看病貴的號召，某藥品原價每盒28元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒16元，設該藥品平均每次降價的百分率是x，由題意，所列方程正確的是（ ）
A．28（1?2x）=16 B．16（1?2x）=28 C．28（1?x）2=16 D．16（1?x）2=28
5．小明用圖中所示的扇形紙片作一個圓錐的側面，已知扇形的半徑為5cm，弧長是6πcm，那么這個的圓錐的高是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm
6．正方形ABCD在坐標系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞D點順時針旋轉90°后，B點的坐標為（ �。�
A．（?2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0）
7．如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點．若PB切⊙O于點B，則PB的最小值是（ �。�
A． B． C．3 D．2
8．關于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有下列命題：
①當c=0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點；
②當c＞0，且函數(shù)的圖象開口向下時，方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根；
③函數(shù)圖象最高點的縱坐標是 ；
④當b=0時，函數(shù)的圖象關于y軸對稱．
其中正確命題的個數(shù)是（ �。�
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．已知點A（a?2b，2?4ab）在拋物線y=x2+4x+10上，則點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為（ ）
A．（?3，7） B．（?1，7） C．（?4，10） D．（0，10）
10．如圖，點G，D，C在直線a上，點E，F(xiàn)，A，B在直線b上，若a∥b，Rt△GEF從如圖所示的位置出發(fā)，沿直線b向右勻速運動，直到EG與BC重合．運動過程中△GEF與矩形ABCD重合部分的面積（S）隨時間（t）變化的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．關于x的方程2x2?ax+1=0一個根是1，則它的另一個根為 �。�
12．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P=40°，則∠BAC= �。�
13．已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程x2?6x=8（x? 6）的兩個實數(shù)根，那么這個直角三角形的內切圓半徑為 �。�
14．已知實數(shù)x，y滿足x2+3x+y?3=0，則x+y的最大值為 ．
15．已知AB、AC分別是同一個圓的內接正方形和內接正六邊形的邊，那么∠BAC的度數(shù)是 度．
三、解答題（本大題共7小題，共55分）
16．（8分）解方程：
（1）x2?4x+1=0
（2）x（x?2）+x?2=0．
17．（6分）有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中有2個完全相同的小球，分別標有數(shù)字0和?2；乙袋中有3個完全相同的小球，分別標有數(shù)字?2，0和1，小明從甲袋中隨機取出1個小球，記錄標有的數(shù)字為x，再從乙袋中隨機取出1個小球，記錄標有的數(shù)字為y，這樣確定了點Q的坐標（x，y）
（1）寫出先Q所有可能的坐標；
（2）求點Q在x軸上的概率．
18．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為
A（?1，1），B（?3，1），C（?1，4）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）將△ABC繞著點B順時針旋轉90°后得到△A2BC2，請在圖中畫出△A2BC2，并求出線段BC旋轉過程中所掃過的面積（結果保留π）．
19．（7分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）當BC=4時，求劣弧AC的長．
20．（8分） 如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延長線于點E，與⊙O相交于G，F(xiàn)兩點．
（1）求證：AB與⊙O的相切；
（2）若AB=4，求線段GF的長．
21．（9分）某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀念冊的售價不低于20元且不高于2 8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y（本）與每本紀念冊的售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關系：當銷售單價為22元時，銷售量為36本；當銷售單價為24 元時，銷售量為32本．
（1）求出y與x的函數(shù)關系式；
（2）當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是多少元？
（3）設該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大？最大利潤是多少？
22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E、B．
（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式；
（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D，問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；
（3）若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，使得 以A、E、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點M、N的坐標．
2018-2019學年山東省濟寧市嘉祥縣九年級（上）月考數(shù)學試卷（12月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．將拋物線y=x2先向左平移2個單位，再向下平移2個單位，那么所得拋物線的函數(shù)關系式是（ �。�
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2?2 C．y=（x?2）2+2 D．y=（x?2）2?2
【解答】解：∵拋物線y=x2先向左平移2個單位，再向下平移2個單位，
∴平移后的拋物線的頂點坐標為（?2，?2），
∴所得拋物線的函數(shù)關系式是y=（x+2）2?2．
故選B．
2．從圖中的四張圖案中任取一張，取出圖案是中心對稱圖形的概率是（ �。�
A． B． C． D．1
【解答】解：在這四個圖片中中心對稱圖形的有第1、2、3幅圖片，
因此是中心對稱稱圖形的卡片的概率是 ，
故選：C
3．如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，則∠AOB的度數(shù)為（ �。�
A．35° B．55° C．145° D．70°
【解答】解：∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故選D．
4．我市藥品監(jiān)察部門為了響應國家解決老百姓看病貴的號召，某藥品原價每盒28元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒16元，設該藥品平均每次降價的百分率是x，由題意，所列方程正確的是（ �。�
A．28（1?2x）=16 B．16（1?2x）=28 C．28（1?x）2=16 D．16（1?x）2=28
【解答】解：第一次降價后的價格為28×（1?x），
兩次連續(xù)降價后售價在第一次降價后的價格的基礎上降低x，為28×（1?x）×（1?x），
則列出的方程是28×（1?x）2=16，故選C．
5．小明用圖中所示的扇形紙片作一個圓錐的側面，已知扇形的半徑為5cm，弧長是6πcm，那么這個的圓錐的高是（ �。�
A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm
【解答】解：設圓錐的底面半徑是r，則2πr=6π，
解得：r=3，
則圓錐的高是： =4cm．
故選A．
6．正方形ABCD在坐標系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞D點順時針旋轉90°后，B點的坐標為（ �。�
A．（?2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0）
【解答】解：如圖，正方形ABCD繞D點順時針旋轉90°得到正方形CB′C′D，即旋轉后B點的坐標為（4，0）．
故選D．
7．如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點．若PB切⊙O于點B，則PB的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【解答】解：連結OB，作OP′⊥l于P′如圖，OP′=3，
∵PB切⊙O于點B，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∴PB= = ，
當點P運動到點P ′的位置時，OP最小時，則PB最小，此時OP=3，
∴PB的最小值為 = ．
故選B．
8．關于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有下列命題：
①當c=0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點；
②當c＞0，且函數(shù)的圖象開口向下時，方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根；
③函數(shù)圖象最高點的縱坐標是 ；
④當b=0時，函數(shù)的圖象關于y軸對稱．
其中正確命題的個數(shù)是（ �。�
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：（1）c是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y軸的交點，所以當c=0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點；
（2）c＞0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y軸的交點在y軸的正半軸，又因為函數(shù)的圖象開口向下，所以方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根；
（3）當a＜0時，函數(shù)圖象最高點的縱坐標是 ；當a＞0時，函數(shù)圖象最低點的縱坐標是 ；由于a值不定，故無法判斷最高點或最低點；
（4）當b=0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c變?yōu)閥=ax2+c，又因為y=ax2+c的圖象與y=ax2圖象相同，所以當b=0時，函數(shù)的圖象關于y軸對稱．
三個正確，故選C．
9．已知點A（a?2b，2?4ab）在拋物線y=x2+4x+10上，則點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為（ ）
A．（?3，7） B．（?1，7） C．（?4，10） D．（0，10）
【解答】解：∵點A（a?2b，2?4ab）在拋物線y=x2+4x+10上，
∴（a?2b）2+4×（a?2b）+10=2?4ab，
a2?4ab+4b2+4a?8b+10=2?4ab，
（a+2）2+4（b?1）2=0，
∴a+2=0，b?1=0，
解得a=?2，b=1，
∴a?2b=?2?2×1=?4，
2?4ab=2?4×（?2）×1=10，
∴點A的坐標為（?4，10），
∵對稱軸為直線x=? =?2，
∴點A關于對稱軸的對稱點的坐標為（0，10）．
故選：D．
10．如圖，點G，D，C在直線a上，點E，F(xiàn)，A，B在直線b上，若a∥b，R t△GEF從如圖所示的位置出發(fā)，沿直線b向右勻速運動，直到EG與BC重合．運動過程中△GEF與矩形ABCD重合部分的面積（S）隨時間（t）變化的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)題意可得：
①F、A重合之前沒有重疊面積，
②F、A重疊之后到E與A重疊前，設AE=a，EF被重疊部分的長度為（t?a），則重疊部分面積為S= （t?a）•（t?a）tan∠EFG= （t?a）2tan∠EFG，
∴是二次函數(shù)圖象；
③△EFG完全進入且F與B重合之前，重疊部分的面積是三角形的面積 ，不變，
④F與B重合之后，重疊部分的面積等于S=S△EFG? （t?a）2tan∠EFG，符合二次函數(shù)圖象，直至最后重疊部分的面積為0．
綜上所述，只有B選項圖形符合．
故選：B．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．關于x的方程2x2?ax+1=0一個根是1，則它的另一個根為 ．
【解答】解：設方程的另一個根為t，
根據(jù)題意得1•t= ，解得t= ．
故答案為 ．
12．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P=40°，則∠BAC= 20°�。�
【解答】解：∵PA是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，
∴∠PAC=90°．
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，
∵∠P=40°，
∴∠PAB=（180 °?∠P）÷2=（180°?40°）÷2=70°，
∴∠BAC=∠PAC?∠PAB=90°?70°=20°．
故答案是：20°．
13．已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程x2?6x=8（x?6）的兩個實數(shù)根，那么這個直角三角形的內切圓半徑為 2�。�
【解答】解：解方程x2?6x=8（x?6），
可得：x1=6，x2=8，
斜邊= ，
則此直角三角形的內切圓半徑= ，
故答案為：2
14．已知實數(shù)x，y滿足x2+3x+y?3=0，則x+y的最大值為 4�。�
【解答】解：由x2+3x+y?3=0得
y=?x2?3x+3，把y代入x+y得：
x+y=x?x2?3x+3=?x2?2x+3=?（x+1）2+4≤4，
∴x+y的最大值為4．
故答案為：4．
15．已知AB、AC分別是同一個圓的內接正方形和內接正六邊形的邊，那么∠BAC的度數(shù)是 15或105 度．
【解答】解：如圖1中，∠BAC=∠CAO?∠BAO=60°?45°=15°，
如圖2中，∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°+15°=105°，
故答案為15或105．
三、解答題（本大題共7小題，共55分）
16．（8分）解方程：
（1）x2?4x+1=0
（2）x（x?2）+x?2=0．
【解答】解：（1）x2?4x+4=3
（ x?2）2=3
x=2±
（2）（x?2）（x+1）=0
x=2或x=?1
17．（6分）有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中有2個完全相同的小球，分別標有數(shù)字0和?2；乙袋中有3個完全相同的小球，分別標有數(shù)字?2，0和1，小明從甲袋中隨機取出1個小球，記錄標有的數(shù)字為x，再從乙袋中隨機取出1個小球，記錄標有的數(shù)字為y，這樣確定了點Q的坐標（x，y）
（1）寫出先Q所有可能的坐標；
（2）求點Q在x軸上的概率．
【解答】解：（1）畫樹狀圖為：
共有6種等可能的結果數(shù)，它們?yōu)椋?，?2），（0，0），（0，1），（?2，?2），（?2，0），（?2，1）；
（2）點Q在x軸上的結果數(shù)為2，
所以點Q在x軸上的概率= = ．
18．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為
A（?1，1），B（?3，1），C（?1，4）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）將△ABC繞著點B順時針旋轉90°后得到△A2BC2，請在圖中畫出△A2BC2，并求出線段BC旋轉過程中所掃過的面積（結果保留π）．
【解答】解：（1）如圖所示，畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）如圖所示，畫出△ABC繞著點B順時針旋轉90°后得到△A2BC2，
線段BC旋轉過程中所掃過得面積S= = ．
19．（7分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）當BC=4時，求劣弧AC的長．
【解答】解：（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；
（3）如圖，連接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的長為 = ．
20．（8分）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延長線于點E，與⊙O相交于G，F(xiàn)兩點．
（1）求證：AB與⊙O的相切；
（2）若AB=4，求線段GF的長．
【解答】（1）證明：過點O作OM⊥AB，垂足是M．如圖1所示：
∵⊙O與AC相切于點D．
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠AMO=90°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠DAO=∠NAO，
∴OM=OD．
∴AB與⊙O相切；
（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF．如圖：2所示：
則NG=NF= GF，
∵O是BC的中點，
∴OB=2．
在直角△OBM中，∠MBO=60°，
∴OM=OB•sin60°= ，BM=OB•cos60°=1．
∵BE⊥AB，
∴四邊形OMBN是矩形．
∴ON=BM=1，BN=OM= ．
∵OF=OM= ，
由勾股定理得：NF= ，
∴GF=2NF=2 ．
21．（9分）某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀念冊的售價不低于20元且不高于28元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y（本）與每本紀念冊的售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關系：當銷售單價為22元時，銷售量為36本；當銷售單價為24元時，銷售量為32本．
（1）求出y與x的函數(shù)關系式；
（2）當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是多少元？
（3）設該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【解答】解：（1）設y=kx+b，
把（22，36）與（24，32）代入得： ，
解得： ，
則y=?2x+80；
（2）設當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是x元，
根據(jù)題意得：（x?20）y=150，
則（x?20）（?2x+80）=150，
整理得：x2?60x+875=0，
（x?25）（x?35）=0，
解得：x1=25，x2=35，
∵20≤x≤28，
∴x=35（不合題意舍去），
答：每本紀念冊的銷售單價是25元；
（3）由題意可得：
w=（x?20）（?2x+80）
=?2x2+120x?1600
=?2（x?30）2+200，
此時當x=30時，w最大，
又∵售價不低于20元且不高于28元，
∴x＜30時，y隨x的增大而增大，即當x=28時，w最大=?2（28?30）2+200=192（元），
答：該紀念冊銷售單價定為28元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大，最大利潤是192元．
22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E、B．
（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式；
（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D，問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；
（3）若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點M、N的坐標．
【解答】解：（1）設拋物線解析 式為y=a（x?2）2+9，
∵拋物線與y軸交于點A（0，5），
∴ 4a+9=5，
∴a=?1，
y=?（x?2）2+9=?x2+4x+5，
（2）當y=0時，?x2+4x+5=0，
∴x1=?1，x2=5，
∴E（?1，0），B（5，0），
設直線AB的解析式為y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴m=?1，n=5，
∴直線AB的解析式為y=?x+5；
設P（x，?x2+4x+5），
∴D（x，?x+5），
∴PD=?x2+4x+5+x?5=?x2+5x，
∵AC=4，
∴S四邊形APCD= ×AC×PD=2（?x2+5x）=?2x2+10x，
∴當x=? = 時，
∴即：點P（ ， ）時，S四邊形APCD最大= ，
（3）方法1、如圖，
過M作MH垂直于對稱軸，垂足為H，
∵MN∥AE，MN=AE，
∴△HMN≌△AOE，
∴HM=OE=1，
∴M點的橫坐標為x=3或x=1，
當x=1時，M點縱坐標為8，
當x=3時，M點縱坐標為8，
∴M點的坐標為M1（1，8）或M2（3，8），
∵A（0，5），E（?1，0），
∴直線AE解析式為y=5x+5，
∵MN∥AE，
∴MN的解析式為y=5x+b，
∵點N在拋物線對稱軸x=2上，
∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+OE2=26
∵MN=AE
∴MN2=AE2，
∴MN2=（2?1）2+[8?（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M點的坐標為M1（1，8）或M2（3， 8），
∴點M1，M2關于拋物線對稱軸x=2對稱，
∵點N在拋物線對稱軸上，
∴M1N=M2N，
∴1+（b+2）2=26，
∴b=3，或b=?7，
∴10+b=13或10+b=3
∴當M點的坐標為（1，8）時，N點坐標為（2，13），
當M點的坐標為（3，8）時，N點坐標為（2，3）．
方法2，如圖1，
∴E（?1，0），A（0，5），
∵拋物線的解析式為y=?（x?2）2+9，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
∴點N的橫坐標為2，即：N'（2，0）
①當以點A，E，M，N組成的平行四邊形為四邊形AENM時，
∵E（?1，0），點N的橫坐標為2，（N'（2，0）
∴點E到點N向右平移2?（?1）=3個單位，
∵四邊形AENM是平行四邊形，
∴點A向右也平移3個單位，
∵A（0，5），
∴M點的橫坐標為3，即：M'（3，5），
∵點M在拋物線上，
∴點M的縱坐標為?（3?2）2+9=8，
∴M（3，8），即：點A再向上平移（8?5=3）個單位，
∴點N'再向上平移3個單位，得到點N（2，3），
即：當M點的坐標為（3，8）時，N點坐標為（2，3）．
②當以點A，E，M，N組成的平 行四邊形為四邊形AEMN時，
同①的方法得出，當M點的坐標為（1，8）時，N點坐標為（2，13）．
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