反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
只有定義域和值域一一對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)，反函數(shù)是由原函數(shù)派生出來的，它的定義域、對應(yīng)法則、值域完全由原函數(shù)決定。因此利用這一關(guān)系可以將原函數(shù)的問題與反函數(shù)的問題相互轉(zhuǎn)化，使問題容易解決�，F(xiàn)在看一下反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
⒈利用反函數(shù)的定義求函數(shù)的值域
例1：求函數(shù)y= 的值域。
分析：這種函數(shù)可以利用分離常數(shù)法或反函數(shù)法求值域，下面利用反函數(shù)法來求解。解：由y= 得y(2x+1)=x-1
∴(2y-1)x=-y-1
∴x=
∵x是自變量，是存在的，
∴2y-1 0，∴ y 。
故函數(shù)y= 的值域為：{y│y }。
點評：形如y= 的函數(shù)都可以用反函數(shù)法求它的值域。
⒉原函數(shù)與反函數(shù)定義域、值域互換的應(yīng)用
例2：已知f(x)=4 -2 ，求f (0)。
分析：要求f (0)，只需求f(x)=0時自變量x的值。
解：令f(x)=0，得4 -2 =0，∴2 （2 -2）=0，
∴2 =2或2 =0（舍），
∴x=1。
故f (0)=1。
點評：反函數(shù)的函數(shù)值都可以轉(zhuǎn)化為求與之對應(yīng)的原函數(shù)的自變量之值，反之也成立。
⒊原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱的應(yīng)用
例3：求函數(shù)y= （x (-1，+ )）的圖像與其反函數(shù)圖像的交點。
分析：可以先求反函數(shù)，再聯(lián)立方程組求解；也可以利用原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱求解，這里用后一種方法求解。只要原函數(shù)與反函數(shù)不是同一函數(shù)，它們的交點就在直線y=x上。
解：由 得 或
∴原函數(shù)和反函數(shù)圖像的交點為（0，0）和（1，1）。
點評：利用利用原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱的性質(zhì)，可以簡化運算，提高準確率。但要注意原函數(shù)與反函數(shù)不能是同一函數(shù)，它們的交點才在直線y=x上。
⒋原函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性相同的應(yīng)用
例4：已知f(x)=2 +1的反函數(shù)為f (x)，求f (x)<0的解集。
分析：因為f(x)=2 +1在R上為增函數(shù)，所以f (x)在R上也為增函數(shù)。又因為原函數(shù)與反函數(shù)定義域、值域互換，所以f (x)中的x的范圍就是f(x)的范圍。
解：由f(x)=2 +1>1得f (x)中的x>1。
又∵f (x)<0且f(x)=2 +1在R上為增函數(shù)，
∴f
⒌原函數(shù)與反函數(shù)的還原性即 x及 =x的應(yīng)用
例5：函數(shù)f(x)= (a、b、c是常數(shù))的反函數(shù)是 = ，求a、b、c的值。
分析：本題可以利用 =x，將反函數(shù)的條件轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的關(guān)系來應(yīng)用，利用恒等找到關(guān)于a、b、c的方程組，即可求解。
解：∵ =
∴ = = = =x
∴(3a+b)x-a+2b=(c+3) +(2c-1)x
∴
∴
點評： 上述解法利用了原函數(shù)與反函數(shù)的還原性，避免了求反函數(shù) ，若求反函數(shù) ，步驟非常煩瑣，容易出現(xiàn)計算失誤。
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