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2015屆高三年級第五次月考
數(shù) 學(xué) 試 卷（文）
第Ⅰ卷
一、：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合A={0，1}，B={-1，0，a+3},且A B，則a=（ ）
A．1 B．0 C．-2 D．-3
2. 設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足（ ，則Z=（ ）
A． B． C．1 D．2
3．設(shè) 為兩個不同平面，m、 n為兩條不同的直線，且 有兩個命題：
P：若m∥n,則 ∥β；q：若m⊥β, 則α⊥β. 那么（ ）
A．“p或q”是假命題 B．“p且q”是真命題
C．“非p或q”是假命題 D．“非p且q”是真命題
4. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量 若 ，則x=( )
A．-2 B．-4 C．-3 D．-1
5．在等差數(shù)列{an}中，a9= a12+6,則數(shù)列{an}的前11項和S11=（ ）
A．24 B．48 C．66 D．132
6．在?ABC中,三邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,若a2+b2= ab+c2,則角C為（ ）
A．30°B．45° C．150° D．135°
7．若將函數(shù)y＝tanωx＋π4(ω>0)的圖象向右平移π6個單位長度后，與函數(shù)y＝tanωx＋π6的圖象重合，則ω的最小值為（ ）
A．16 B．14 C．13 D．12
8．設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x>0),則不等式f(x-2)>0的解集為（ ）
A．{xx<-2或x>4} B．{xx<0或x>4} C．{xx<0或x>6} D．{xx<-2或x>2}
9．如圖是一個幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖
均為矩形，俯視圖中曲線部分為半圓，尺寸如
圖，則該幾何體的全面積為（ ）
A．2+3 B．2+2
C．8+5 D．6+3
10. 若關(guān)于直線m,n與平面α，β，有下列四個命題：
①若m∥α,n∥β,且α∥β，則m∥n;
②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β，則m⊥n;
③若m⊥α,n∥β,且α∥β，則m⊥n;
④若m∥α,n⊥β,且α⊥β，則m∥n;
其中真命題的序號（ ）
A．①② B．③④ C．②③D．①④
11．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA= ，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．5 B． C．20 D．4
12．設(shè)方程lnx=-x與方程ex=-x(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))的所有根之和為m,則（ ）
A．m<0 B. m=0 C.0<m<1 D.m>1
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答．
二、題：本大題共4小題，每小題5分．
13．與直線x+ y-1=0垂直的直線的傾斜角為________
14．已知關(guān)于x, y的二元一次不等式組 ，則3x-y的最大值為__________
15．如圖，在三角形ABC中，AD⊥AB，
________.
16．?dāng)?shù)列{an}的通項為an=(-1)n 前n項和為Sn, 則S100=_________.
三、解答題:本大題共5小題，共計70分。解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟
17.（本小題滿分12分）
等比數(shù)列 的各項均為正數(shù)，且
(1)求數(shù)列 的通項公式；
(2)設(shè) 求數(shù)列 的前n項和.
18.（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期；
(2)設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝6，cosB＝13，
f(C2)＝－14，求b.
19．(本小題滿分12分)
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,點D是AB的中點
(1)求證：BC1∥平面CA1D
(2)求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形，BB1=
求三棱錐B1-A1DC的體積
20. （本小題12分）
“地溝油”嚴(yán)重危害了人民群眾的身體健康，某企業(yè)在政府部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了一種從“食品殘渣”中提煉出生物柴油的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似的表示為：
且每處理一噸“食品殘渣”，可得到能利用的生物柴油價值為200元，若該項目不獲利，政府將補貼.
(1)當(dāng)x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損.
(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) , ( ).
(1)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng) 時,對于任意 ,總有 成立
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.
22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，直線 經(jīng)過⊙ 上的點 ，并且 ⊙ 交直線 于 ， ，連接 ．
（1）求證：直線 是⊙ 的切線；
（2）若 ⊙ 的半徑為3，求 的長．
23．（本小題滿分10分）選修4－4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線 的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為
（ 為參數(shù)）。
（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標(biāo)為 ，判斷點P與直線 的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求點Q到直線 的距離的最小值與最大值。
24．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
（1）解關(guān)于 的不等式 ；
（2）若關(guān)于 的不等式 有解，求實數(shù) 的取值范圍．
2015屆高三第四次月考數(shù)學(xué)（文）參考答案
1—5.CCDDD， 6—10.BDBAC 11.A 12.B
13． , 14. 5 15. , 16. 150
17.解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由 得 所以 。
由條件可知a>0,故 。
由 得 ，所以 。
故數(shù)列{an}的通項式為an= 。
（Ⅱ ）
故
所以數(shù)列 的前n項和為
18【解析】(1)∵f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12cos2x－32sin2x＋12－12cos2x＝－32sin2x＋12，∴最小正周期T＝2π2＝π，令2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2(k∈Z)，
得kπ－π4≤x≤kπ＋π4，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ－π4，kπ＋π4](k∈Z).
(2)由(1)f(x)＝－32sin2x＋12得：f(C2)＝－32sinC＋12＝－14，∴sinC＝32，又cosB＝13，∴sinB＝1－(13)2＝223，∴bsinB＝csinC，即b＝c•sinBsinC＝6×22332＝
19.證明（1）連接AC1交A1C于點E，連接DE
因為四邊形AA1C1C是矩形，則E為AC1的中點
又D是AB的中點，DE∥BC1，
又DE 面CA1D，BC1 面CA1D，BC1∥面CA1
證明（2）AC=BC，D是AB的中點，AB⊥CD，
又AA1⊥面ABC，CD 面ABC，AA1⊥CD，
AA1∩AB=A， CD⊥面AA1B1B， CD 面CA1D，
平面CA1D⊥平面AA1B1B
解： ,則（2）知CD⊥面ABB1B， 所以高就是CD= ，BD=1，BB1= ，所以A1D=B1D=A1B1=2, ,
20.(1)當(dāng)x∈[200,300]時，設(shè)該項目獲利為S，則
S＝200x－(12x2－200x＋80 000)＝－12x2＋400x－80 000＝－12(x－400)2，
所以當(dāng)x∈[200,300]時，S<0.因此，該項目不會獲利.當(dāng)x＝300時，S取得最大值－5 000，
所以政府每月至少需要補貼5 000元才能使該項目不虧損.
(2)由題意可知，食品殘渣的每噸平均處理成本為：
①當(dāng)x∈[120,144)時，yx＝13x2－80x＋5 040＝13(x－120)2＋240，∴當(dāng)x＝120時，
yx取得最小值240；
②當(dāng)x∈[144,500)時，yx＝12x＋80 000x－200≥212x•80 000x－200＝200.
當(dāng)且僅當(dāng)12x＝80 000x，即x＝400時，yx取得最小值200.∵200<240，
∴當(dāng)每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低
21. 解:(Ⅰ)函數(shù) 的定義域為 , .
當(dāng) 時,
當(dāng) 變化時, , 的變化情況如下表:
???
當(dāng) 時,
當(dāng) 變化時, , 的變化情況如下表:
綜上所述,
當(dāng) 時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,單調(diào)遞減區(qū)間為 , ;
當(dāng) 時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為 , ,單調(diào)遞減區(qū)間為 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,當(dāng) 時,
在 上單調(diào)遞增, ; 在 上單調(diào)遞減,且 .
所以 時, .
因為 ,所以 ,令 ,得 .
①當(dāng) 時,由 ,得 ;由 ,得 ,
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.
所以 .
因為 ,
所以對于任意 ,總有 .
②當(dāng) 時, 在 上恒成立,
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增, .
所以對于任意 ,仍有 .
綜上所述,對于任意 ,總有
22證明：（Ⅰ）如圖，連接OC, OA =OB,CA=CB,
是圓的半徑， 是圓的切線． （3分）
（Ⅱ） 是直徑，
又
2 （5分）
∽ （7分）
設(shè) ，則 ， …．（9分）
（10）分
23．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解：（Ⅰ）將點 化為直角坐標(biāo)，得 ，…………………………（2分）
直線 的普通方程為 ，顯然點 不滿足直線 的方程，
所以點 不在直線 上．………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）因為點 在曲線 上，故可設(shè)點 ，…………………（6分）
點 到直線 ： 的距離為
，…………………（8分）
所以當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時， ．
故點 到直線 的距離的最小值為 ，最大值為 ．………………（10分）
24．選修4－5：不等式選講
5 Y
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