數(shù) 學(xué) （文科） 2013.5
本試卷共4頁，150分�？荚嚂r長120分鐘�？忌鷦�(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上
作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1.集合 ， ，則
A． B． C． D．
2. 已知 ，則 的大小關(guān)系為
A. B. C. D.
3.如圖，在邊長為 的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形 . 向正方形內(nèi)隨機撒豆子，
若撒在圖形 內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為 ，則圖形 面積的估計值為
A. B. C. D.
4.某空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為
A. B. C. D.
5.下列函數(shù)中，為偶函數(shù)且有最小值的是
A. B.
C. D.
6.在四邊形 中，“ ， ”是“四邊形 為平行四邊
形”的
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
7.雙曲線 的左右焦點分別為 ，且 恰為拋物線 的焦點，設(shè)雙曲線 與該拋物線的一個交點為 ，若 是以 為底邊的等腰三角形，則雙曲線 的離心率為
A. B. C. D.
8.若數(shù)列 滿足：存在正整數(shù) ，對于任意正整數(shù) 都有 成立，則稱數(shù)列 為周期數(shù)列，周期為 . 已知數(shù)列 滿足 ，
則下列結(jié)論中錯誤的是
A.若 ，則
B.若 ，則 可以取3個不同的值
C.若 ，則數(shù)列 是周期為 的數(shù)列
D. 且 ，使得數(shù)列 是周期數(shù)列
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 復(fù)數(shù)
10.甲、乙兩名運動員在8場籃球比賽中得分的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如右圖，
則甲乙兩人發(fā)揮較為穩(wěn)定的是_____.
11.已知數(shù)列 是等比數(shù)列，且 ， ，則 的值為____.
12.直線 被圓 所截得的弦長為____.
13.已知函數(shù) 的圖象經(jīng)過點 ，則 _____，
在區(qū)間 上的單調(diào)遞增區(qū)間為_____.
14.設(shè)變量 ， 滿足約束條件 其中 .
（I）當(dāng) 時， 的最大值為______；
（II）若 的最大值為 ，則實數(shù) 的取值范圍是_____.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15.（本小題滿分13分）
已知等差數(shù)列 的前 項和為 .
(I) 若 ，求 的通項公式；
(Ⅱ)若 ，解關(guān)于 的不等式 .
16.（本小題滿分13分）
已知點 為 的邊 上一點，且 ， ， .
（I） 求 的長；
（II）求 的面積.
17.（本小題滿分14分）
如圖1，在直角梯形 中， ， ， . 把 沿 折起到 的位置，使得 點在平面 上的正投影 恰好落在線段 上, 如圖2所示. 點 分別為棱 的中點.
（I） 求證：平面 平面 ；
（Ⅱ）求證： 平面 ；
(Ⅲ) 在棱 上是否存在一點 ,使得 到點 四點距離相等？請說明理由.
18.（本小題滿分13分）
已知函數(shù) .
（I）當(dāng) 時， 若曲線 在點 處的切線與曲線 在點 處的切線平行，求實數(shù) 的值；
（II）若 ，都有 ，求實數(shù) 的取值范圍.
19. （本小題滿分14分）
已知橢圓 的四個頂點恰好是邊長為2，一內(nèi)角為 的菱形的四個頂點.
（I）求橢圓 的方程；
（II）若直線 交橢圓 于 兩點，且在直線 上存在點 ，使得 為等邊三角形，求 的值.
20.（本小題滿分13分）
設(shè) 是由 個整數(shù)組成的 行 列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”.
123
101
(Ⅰ) 數(shù)表 如表1所示，若經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）； 表1
(Ⅱ) 數(shù)表 如表2所示，若經(jīng)過任意一次“操作”以后，便可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù) 的值；
表2
(Ⅲ) 對由 個整數(shù)組成的 行 列的任意一個數(shù)表 ，能否經(jīng)過有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)？請說明理由.
海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)
數(shù) 學(xué) （文科）
參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2013．5
說明： 合理答案均可酌情給分，但不得超過原題分?jǐn)?shù).
一、（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
題號12345678
答案BACB D C B D
9．
10．乙 11. 或
12．
13．
14．
二、題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，
共30分）
注：11題少寫一個，扣兩分，錯寫不給分
13題開閉區(qū)間都對
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15．（本小題滿分13分）
解：（I）設(shè) 的公差為
因為 ， ……………………2分
所以 ……………………4分
所以
所以 ……………………6分
（II）因為
當(dāng) 時，
所以 ， ……………………9分
又 時，
所以 ……………………10分
所以
所以 ，即
所以 或 ，
所以 ， ……………………13分
16. 解：（I）因為 ，所以
在 中， ，
根據(jù)正弦定理有 ……………………4分
所以 ……………………6分
（II）所以 ……………………7分
又在 中，
， ……………………9分
所以 ……………………12分
所以 ……………………13分
同理，根據(jù)根據(jù)正弦定理有
而 ……………………8分
所以 ……………………10分
又 ， ……………………11分
所以 ……………………13分
17.解：（I）因為點 在平面 上的正投影 恰好落在線段 上
所以 平面 ，所以 …………………2分
因為 ，
所以 是 中點， …………………3分
所以 …………………4分
同理
又
所以平面 平面 …………………6分
（II）因為 ，
所以 …………………7分
又 平面 ， 平面
所以 …………………8分
又
所以 平面 …………………10分
(III)存在，事實上記點 為 即可 …………………11分
因為 平面 ， 平面
所以
又 為 中點，所以 …………………12分
同理，在直角三角形 中， ， …………………13分
所以點 到四個點 的距離相等 …………………14分
18.解：（I）當(dāng)因為 , …………………2分
若函數(shù) 在點 處的切線與函數(shù) 在點
處的切線平行，
所以 ，解得
此時 在點 處的切線為
在點 處的切線為
所以 …………………4分
（II）若 ，都有
記 ，
只要 在 上的最小值大于等于0
…………………6分
則 隨 的變化情況如下表：
極大值
…………………8分
當(dāng) 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減， 為最小值
所以 ，得
所以 …………………10分
當(dāng) 時，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增 ，
為最小值，所以 ，得
所以 ………………12分
綜上， ………………13分
19.解：(I)因為橢圓 的四個頂點恰好是一邊長為2，
一內(nèi)角為 的菱形的四個頂點,
所以 ,橢圓 的方程為 ………………4分
(II)設(shè) 則
當(dāng)直線 的斜率為 時， 的垂直平分線就是 軸，
軸與直線 的交點為 ,
又因為 ，所以 ，
所以 是等邊三角形,所以直線 的方程為 ………………6分
當(dāng)直線 的斜率存在且不為 時，設(shè) 的方程為
所以 ，化簡得
所以 ，則 ………………8分
設(shè) 的垂直平分線為 ，它與直線 的交點記為
所以 ，解得 ,
則 ………………10分
因為 為等邊三角形， 所以應(yīng)有
代入得到 ，解得 （舍）， ……………13分
此時直線 的方程為
綜上，直線 的方程為 或 ………………14分
20.解：（I）
法1：
法2：
（寫出一種即可） …………………3分
(II) 每一列所有數(shù)之和分別為2，0， ，0，每一行所有數(shù)之和分別為 ，1;
①如果操作第三列，則
則第一行之和為 ，第二行之和為 ，
,解得 . …………………6分
② 如果操作第一行
則每一列之和分別為 ， ， ，
解得 …………………9分
綜上 …………………10分
(III) 證明：按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和）
由負(fù)整數(shù)變?yōu)檎麛?shù)，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得
數(shù)陣中 個數(shù)之和增加，且增加的幅度大于等于 ，但是每次操作都只
是改變數(shù)表中某行（或某列）各數(shù)的符號，而不改變其絕對值，顯然，數(shù)表中
個數(shù)之和必然小于等于 ，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止,終止
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