第一學(xué)期金山中學(xué)高三期中考試試卷
理科數(shù)學(xué)
一、(每題5分,共40分)
1、命題“ , ≥ 恒成立”的否定是( )
A. , < 恒成立; B. , ≤ 恒成立;
C. , ≥ 成立; D. , < 恒成立.
2、已知函數(shù) 的零點(diǎn)為 , 則 所在區(qū)間為( 。
A. B. C. D.
3、已知函數(shù) 為非零常數(shù) ,則 的圖像滿足( )
A.關(guān)于點(diǎn) 對稱 B.關(guān)于點(diǎn) 對稱
C.關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線 軸對稱
4、函數(shù) ,如果 ,則 的值是( )
A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.零 D.無法確定
5、若 、 , 則 是 的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不是充分也不是必要條件
6、設(shè) 是定義在 上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng) 時, ,則 在區(qū)間 內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)為( 。
A.B.C.3020D.3019
7、設(shè)集合 ≥ , ≤ ≤ ,如果有 ,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8、在R上定義運(yùn)算:對 、 ,有 ,如果 ,則 的最小值是( )
A. B. C. D.
二、題(每題5分,共30分)
9、不等式 的解集是 .
10、已知 是R上的奇函數(shù),當(dāng) 時, ,則 .
11、已知函數(shù) 且 ,如果對任意 ,都有 成立, 則 的取值范圍是____________.
12、如果方程 有解,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
13、已知函數(shù) ,則函數(shù) 過點(diǎn) 的切線方程為 .
14、若對任意 , ,( 、 )有唯一確定的 , 與之對應(yīng),稱 , 為關(guān)于 、 的二元函數(shù). 現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù) 為關(guān)于實(shí)數(shù) 、 的廣義“距離”;
(1)非負(fù)性: 時取等號;
(2)對稱性: ;
(3)三角形不等式: 對任意的實(shí)數(shù)z均成立.
今給出三個二元函數(shù),請選出所有能夠成為關(guān)于 、 的廣義“距離”的序號:
① ; ② ; ③
能夠成為關(guān)于的 、 的廣義“距離”的函數(shù)的序號是____________.
三、解答題(15、16題每題12分,17至20題每題14分,共80分)
15、已知函數(shù)
(1)求 的最大值和最小正周期;
(2)設(shè) , ,求 的值.
16、某單位用2160萬元購得一塊空地,計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算,如果將樓房建為x (x≥10)層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?
(注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用,平均購地費(fèi)用= )
17、已知函數(shù) 滿足對 ,都有 ,且方程 有重根.
(1)求函數(shù) 的解析式;
(2)設(shè) ,求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
18、已知函數(shù) ;
(1)如果函數(shù) 有兩個極值點(diǎn) 和 ,求實(shí)數(shù) 、 的值;
(2)若函數(shù) 有兩個極值點(diǎn) 和 ,且 ∈ , ∈ , 求 的最小值.
19、已知函數(shù) , 函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線平行
于 軸.
(1)確定 與 的關(guān)系;
(2) 當(dāng) 時,求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(3)證明:對任意 ,都有 成立.
20、已知 ,函數(shù) , .(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)當(dāng) 時,求函數(shù) 的極值;
(2)令 ,若函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù),求 的取值范圍.
高三期中考理科數(shù)學(xué)參考答案:
DCAB BCAB
9、 10、1 11、 ≤ 12、 或 ≤
13、 和 14、①
15、解:(1)
且 的最大值為
最小正周期
(2)
,
又 , ∴
16、解:設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為 元,依題意有 ,
故
等號成立,當(dāng)且僅當(dāng) ,即
答:為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少,該樓房應(yīng)建為15層.
17、解:(1)由對 ,都有 ,∴函數(shù) 圖像的對稱軸為 ,
∴ , ∴ ,
又方程 有重根,即 有重根,
∴ , ∴
故
(2)由
18、解:(1)由 ,故 ,
函數(shù) 有兩個極值點(diǎn)-1和2,
故
∴ , .
經(jīng)檢驗(yàn), , 滿足題意.
(2)由函數(shù) 有兩個極值點(diǎn) 和 ,且 ,
故有 , 即
畫出上述不等式組的可行域 如右圖:
又 表示點(diǎn) 到點(diǎn) 距離的平方.
而點(diǎn) 到可行域 的點(diǎn)的最小距離是點(diǎn)A到點(diǎn) 的距離.
所以, 的最小值是 ,此時, , ;
經(jīng)檢驗(yàn), , 滿足題意.
19、解:(1)依題意得 ,則
由函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線平行于 軸得:
∴
(2)由 ,
令 得 或 ,
故 、 隨 變化如下表:
極大值
極小值
故函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增.
(3)證法一:由(2)知當(dāng) 時,函數(shù) 在 單調(diào)遞增,
,即 ,
令 ,則 ,
即
證法二:構(gòu)造數(shù)列 ,使其前 項(xiàng)和 ,
則當(dāng) 時, ,
顯然 也滿足該式,
故只需證
令 ,即證 ,記 ,
則 ,
在 上單調(diào)遞增,故 ,
∴ 成立,
即
證法三:令 ,
則
令 則 ,
記
∵ ∴函數(shù) 在 單調(diào)遞增,
又 即 ,
∴數(shù)列 單調(diào)遞增,又 ,∴
20、解:(1)由 , …………1分
令 ,解得: …………2分
故 、 隨 變化如下表:
極小值
又 ,故函數(shù) 有極小值 ; …………6分
(2)由 ,
令 , 則 ,
,故 在區(qū)間 上是減函數(shù),
從而對 , ≥ .
①當(dāng) ≥ ,即 ≤ 時, ≥ ,∴ 在區(qū)間 上增函數(shù).
故 ≤ ,即 ≤ ,
因此,故 在區(qū)間 上是減函數(shù), ≤ 滿足題意.
②當(dāng) < ,即 > 時,由 , , ,
且y = 在區(qū)間 的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線
故y = 在區(qū)間 有唯一零點(diǎn),設(shè)為 ,
, 在區(qū)間 上隨 變化如下表:
極大值
故有 ,而 ,
且y = 在區(qū)間 的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,
故y = 在區(qū)間 有唯一零點(diǎn),設(shè)為 ,
即y = 在區(qū)間 有唯一零點(diǎn) ,
, 在區(qū)間 上隨 變化如下表:
極大值
即函數(shù)在區(qū)間 遞減,在區(qū)間 遞增,矛盾, > 不符題意,
綜上所述: 的取值范圍是 .
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