北京市朝陽(yáng)區(qū)2013-2014學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷（理工類） 2013.11（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．，．若，則實(shí)數(shù)的值是 A． C．或 D．或或2.命題：對(duì)任意，的否定是A．：對(duì)任意， B．：不存在, C．：存在, D．：存在, 3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為 A．91B．55 C．54 D．304.若， 則A． B．C． D．5.由直線，，與曲線所圍成的圖形的面積等于 A．．．．，，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．與向量共線B．（，），則，C．，都存在實(shí)數(shù)，，使得D．在向量方向上的投影為7. 若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . .A. B. C. D. 8.同時(shí)滿足以下4個(gè)條件的集合記作：（1）所有元素都是正整數(shù)；（2）最小元素為1；（3）最大元素為2014；（4）各個(gè)元素可以從小到大排成一個(gè)公差為的等差數(shù)列．那么中元素的個(gè)數(shù)是A． B． C． D．．中，，，則數(shù)列的前三項(xiàng)和 ．10．的最小值是 ．11．在點(diǎn)，處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則12．與的夾角為，，，則 ；若平行四邊形滿足，，則平行四邊形的面積為 ．13． 若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 14．（），數(shù)列滿足，，.則與中，較大的是 ；，，的大小關(guān)系是 ．三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.15.（本小題滿分13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最小值；（Ⅱ）若，且，求的值．16. （本小題滿分13分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（Ⅰ）若，求的面積；（Ⅱ）若，求的最大值. 17.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的值和的表達(dá)式.18. （本小題滿分14分）已知函數(shù).（Ⅰ）若的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，求的取值范圍；若在上存在零點(diǎn)，求 的取值范圍；，.當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使，求的取值范圍．已知函數(shù).（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)； （Ⅱ），，，為函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，， 兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于，求的取值范圍.20. （本小題滿分13分）如果項(xiàng)數(shù)均為的兩個(gè)數(shù)列，滿足且集合，則稱數(shù)列是一對(duì) “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”.（Ⅰ）設(shè)是一對(duì)“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，求和的值，并寫出一對(duì)“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” ；（Ⅱ）是否存在 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” ？若存在，試寫出一對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）對(duì)于確定的，若存在“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，試證明符合條件的“項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì)．北京市朝陽(yáng)區(qū)2013-2014學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷答案（理工類） 2013.11選擇題：題號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CCBDACDB二、填空題： 題號(hào)91011121314答案（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：（15）（本小題滿分13分）解： ． （Ⅰ）函數(shù)的最小正周期為， 函數(shù)的最小值為． ………6分得． 所以． 又因?yàn)�，所以�?所以或． 所以或． ………13分分，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 所以的最大值為 ………13分的公差為，則解得，，，則，. ………5分時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，.則時(shí)，；時(shí)，.即. ………13分解：若的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，則方程 的判別式，即，解得. ………3分的對(duì)稱軸是，在上是減函數(shù)，在上存在零點(diǎn)，則必有：，即，解得：，故實(shí)數(shù) 的取值范圍為；分若對(duì)任意的，總存在，使，只需函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)值域的子集當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸是的值域?yàn)橄旅媲�，的值域，時(shí)，，不合題意，舍②當(dāng)時(shí)，的值域，只需要，解得③當(dāng)時(shí)，的值域，只需要，解得綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍 ………14分解（Ⅰ） 的定義域?yàn)椋�，�?dāng)時(shí)，，為增函數(shù).(?)若,恒成立，故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).（?）若,當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù). (?)若,當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,. ………6分（Ⅱ）兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于，則有，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒成立，則函數(shù)在恒為增函數(shù)，即在上，恒成立.解法一：(1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，說(shuō)明此時(shí)不恒成立；或，說(shuō)明此時(shí)不恒成立；(2)當(dāng)時(shí)，在上恒成立；(3)當(dāng)時(shí)，若恒成立，而當(dāng)時(shí)，，（ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即成立，即，解得，即，顯然符合題意.綜上所述，時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于.解法二：在上，恒成立，等價(jià)于，在成立，即在成立.（?）當(dāng)時(shí)，上式顯然滿足；（?）當(dāng)時(shí)，上式等價(jià)于，設(shè)，此時(shí)為減函數(shù)，，只需；（?）當(dāng)時(shí)，上式等價(jià)于，設(shè)，則 ，當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.則此時(shí).在上，當(dāng)時(shí)，成立. 過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于. 解法三：在上，恒成立，等價(jià)于在恒成立，則有（1）時(shí)，即，所以 或（2）時(shí)，需且，即顯然不成立.綜上所述，. ………………14分，相加得，，又，則，.“4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）………3分4項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”共6對(duì)： ：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4，1或：2，7，6，8；：1，5，3，4或：2，6，8，7；：1，4，5，3 或：8，4，6，5；：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在．理由如下：假設(shè)存在 “15項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，則，相加，得又由已知，由此，顯然不可能，所以假設(shè)不成立。從而不存在 “15項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” ………7分（Ⅲ）對(duì)于確定的，任取一對(duì) “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”，令，，先證也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列” ．因?yàn)橛忠驗(yàn)椋茱@然有，所以也必為 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”．再證數(shù)列與是不同的數(shù)列．假設(shè)與相同，則的第二項(xiàng)，又，則，即，顯然矛盾．從而，符合條件的 “項(xiàng)相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對(duì)． ┅┅┅┅┅┅ 13分是否T=0,i=1開 始T=T+i2i=i+1輸出Ti>5？結(jié)束縛北京市朝陽(yáng)區(qū)2014屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題及答案
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