一、參考例題
［例1］一袋中有2個白球和2個黑球，把“從中任意摸出1個球，得到白球”記作事件A，把“從剩下的3個球中任意摸出1個球，得到白球”記作事件B，那么，當(dāng)事件A發(fā)生時，事件B的概率是多少？當(dāng)事件A不發(fā)生時，事件B的概率又是多少？這里事件A與B能否相互獨立？
分析：由于不論事件A發(fā)生與否，事件B都是等可能性事件，利用等可能性事件的概率計算公式可得當(dāng)A發(fā)生時，P(B)的值和當(dāng)A不發(fā)生時，P(B)的值.
解：∵當(dāng)事件A發(fā)生時，P(B)= ，
當(dāng)事件A不發(fā)生(即第一個取到的是黑球)時，P(B)= .
∴不論事件A發(fā)生與否，對事件B發(fā)生的概率有影響.所以事件A與B不是相互獨立事件.
［例2］設(shè)甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9、0.8,求：
(1)目標(biāo)恰好被甲擊中的概率;
(2)目標(biāo)被擊中的概率.
分析：設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”,由于事件A與B是相互獨立的，故A與 、 與B也是相互獨立的.
解：設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”.
∵甲、乙兩射手獨立射擊,
∴事件A與B是相互獨立的.
∴事件A與 、 與B都是相互獨立的.
(1)∵目標(biāo)恰好被甲擊中，即A? 發(fā)生,
∵P(A? )=P(A)?P( )=0.9×0.2=0.18,
∴目標(biāo)恰好被甲擊中概率為0.18.
(2)∵目標(biāo)被擊中，即甲、乙兩人至少有一人擊中目標(biāo)，即事件A? 或 ?B或A?B發(fā)生,
又∵事件A? 、 ?B、A?B彼此互斥.
∴目標(biāo)被擊中的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=0.9×0.2+0.1×0.9+0.9×0.8
=0.98.
［例3］甲袋中有8個白球，4個紅球；乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一個球，問取得的球是同色的概率是多少？
分析：設(shè)從甲袋中任取一個球，事件A：“取得白球”，故此時事件 為“取得紅球”.
設(shè)從乙袋中任取一個球，事件B：“取得白球”，故此時事件 為“取得紅球”.
由于事件A與B是相互獨立的，因此事件 與 也相互獨立.
由于事件“從每袋中任取一個球，取得同色”的發(fā)生即為事件A?B或 ? 發(fā)生.
解：設(shè)從甲袋中任取一個球，事件A：“取得白球”，則此時事件 ：“取得紅球”，從乙袋中任取一個球，取得同色球的概率為
P(A?B+ ? )=P(A?B)+P( ? )
=P(A)?P(B)+P( )?P( )
= ? ? .
［例4］甲、乙兩個同時報考某一大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否錄取互不影響，求：
(1)甲、乙兩人都被錄取的概率；
(2)甲、乙兩人都不被錄取的概率；
(3)其中至少一個被錄取的概率；
分析：設(shè)事件A：“甲被錄取”，事件B：“乙被錄取”.
因為，兩人是否錄取相互不影響，故事件A與B相互獨立.因此 與 ，A與 ， 與B都是相互獨立事件.
解：設(shè)事件A“甲被錄取”，事件B“乙被錄取”.
∵兩人錄取互不影響,
∴事件A與B是相互獨立事件.
∴事件 與 ，A與 ， 與B都是相互獨立事件.
(1)∵甲、乙二人都被錄取，即事件(A?B)發(fā)生,
∴甲、乙二人都被錄取的概率
P(A?B)=P(A)?P(B)=0.6×0.7=0.42.
(2)∵甲、乙二人都不被錄取，即事件( ? )發(fā)生,
∴甲、乙兩人都不被錄取的概率
P( ? )=P( )?P( )
=［1-P(A)］?［1-P(B)］
=0.4×0.3=0.12.
(3)∵其中至少一人被錄取，即事件(A? )或( ?B)或(A?B)發(fā)生，而事件(A? )，( ，B)，(A?B)彼此互斥,
∴其中至少一人被錄取的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=P(A)［1-P(B)］+［1-P(A)］?P(B)+P(A)?P(B)
=P(A)+P(B)-P(A)?P(B)
=0.6+0.7-0.42=0.88.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)壇中僅有黑、白兩種顏色大小相同的球，從中進(jìn)行有放回的摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與 是
A.相互獨立事件B.不相互獨立事件
C.互斥事件D.對立事件
答案：A
(2)若事件A與B相互獨立，則下列不相互獨立的事件為
A.A與 B. 和
C.B與 D.B與A
答案：C
(3)電燈泡使用時間在1000小時以上的概率為0.2，則3個燈泡在使用1000小時后壞了1個的概率是
A.0.128B.0.096
C.0.104D.0.384
答案：B
(4)某道路的A、B、C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條路上行駛時，三處都不停車的概率是
A. B.
C. D.
答案：A
2.填空題
(1)設(shè)P(A)=0.3，P(B)=0.6，事件A與B是相互獨立事件，則P( ?B)=________.
答案：0.42
(2)棉子的發(fā)芽率為0.9,發(fā)育為壯苗的概率為0.6.
①每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為________；此穴無壯苗的概率為________.
②每穴播三粒，此穴有苗的概率為________；此穴有壯苗的概率為________.
答案：①0.01 0.16
②1-(0.1)3 1-(1-0.6)3
(3)一個工人生產(chǎn)了四個零件，設(shè)事件Ak:“新生產(chǎn)的零件第k個是正品”(k=1,2,3,4),試用P(Ak)表示下列事件的概率(設(shè)事件Ak彼此相互獨立).
①沒有一個產(chǎn)品是次品:________;
②至少有一個產(chǎn)品是次品:________;
③至多有一個產(chǎn)品是次品:________.
答案：①P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A4)
②1-P(A1?A2?A3?A4)
③P( ?A2?A3?A4)+P(A1? ?A3?A4)+P(A1?A2? ?A4)+P(A1?A2?A3? )
3.解答題
(1)對飛機進(jìn)行三次獨立射擊，第一次、第二次、第三次的命中率分別為0.4、0.5、0.7,求：
①飛機被擊中一次、二次、三次的概率；
②飛機一次也沒有被擊中的概率.
解：①飛機被擊中一次的概率
P1=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36，
飛機被擊中二次的概率
P2=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41，
飛機被擊中三次的概率
P3=0.4×0.5×0.7=0.14.
②飛機一次也沒有被擊中的概率
P=0.6×0.5×0.3=0.09.
(2)設(shè)有10把各不相同的鑰匙，其中只有一把能打開某間房門，由于不知道哪一把是這間房門的鑰匙，從而只好將這些鑰匙逐個試一試.如果所試開的一把鑰匙是從還沒有試過的鑰匙中任意取出的，試求：
①第一次試能打開門的概率；
②第k次(k=1,2,…,10)試能打開門的概率.
解：①P= .
②P= ? ? … ? .
(3)在一次三人象棋對抗賽里，甲勝乙的概率為0.4,乙勝丙的概率為0.5,丙勝甲的概率為0.6，比賽順序如下：第一局，甲對乙；第二局，第一局勝者對丙；第三局，第二局勝者對第一局負(fù)者；第四局，第三局勝者對第二局負(fù)者，每局比賽必須決出勝負(fù)，試計算：
①乙連勝4局的概率；
②丙連勝3局的概率.
解：①P=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09.
②P=0.4×0.6×0.5×0.6+0.6×0.5×0.6×0.5=0.162.
評述：注意靈活分析同時發(fā)生的相互獨立事件的結(jié)構(gòu)，并加以概率計算.
(4)(2004全國,文20)從10位同學(xué)(其中6女,4男)中隨機選出3位參加測驗.每位女生能通過測驗的概率均為 ,每位男生能通過測驗的概率均為 .試求:
①選出的3位同學(xué)中,至少有一位男同學(xué)的概率;
②10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時被選中且通過測驗的概率.
解:①隨機選出的3位同學(xué)中,至少有一位男同學(xué)的概率為1- .
②甲、乙被選中且能通過測驗的概率為 .
評述:靈活應(yīng)用排列、組合、概率等基本概念及獨立事件和互斥事件的概率以及概率知識解決實際問題.
(5)(2004陜、甘、寧,文20)某同學(xué)參加科普知識競賽,需回答3個問題,競賽規(guī)則規(guī)定:答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分,答錯得零分.假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6.且各題答對與否相互之間沒有影響.
①求這名同學(xué)得300分的概率;
②求這名同學(xué)至少得300分的概率.
解:記“這名同學(xué)答對第i個問題”為事件Ai(i=1,2,3),則
P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.
①這名同學(xué)得300分的概率
P1=P(A1 A3)+P( A2A3)
=P(A1)P( )P(A3)+P( )P(A2)P(A3)
=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6
=0.228.
②這名同學(xué)至少得300分的概率
P2=P1+P(A1A2A3)
=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)
=0.228+0.8×0.7×0.6
=0.564.
●備課資料?
一、參考例題
［例1］甲、乙兩同學(xué)同時解一道數(shù)學(xué)題，設(shè)事件A：“甲同學(xué)做對”，事件B：“乙同學(xué)做對”，試用事件A、B表示下列事件.
(1)甲同學(xué)做錯，乙同學(xué)做對；
(2)甲、乙同學(xué)同時做錯；
(3)甲、乙兩同學(xué)中至少一人做對；
(4)甲、乙兩同學(xué)中至多一人做對；
(5)甲、乙兩同學(xué)中恰有一人做對.
分析：由于事件A：“甲同學(xué)做對”，事件B：“乙同學(xué)做對”，則 ：“甲同學(xué)做錯”， ：“乙同學(xué)做錯”.因為事件A與B是相互獨立事件，所以A與 ， 與B， 與 都是相互獨立事件.
解：(1)事件 與事件B同時發(fā)生，即 ?B;
(2)事件 與事件 同時發(fā)生，即 ? ;
(3)事件A? ， ?B，A?B互斥，其有一發(fā)生，則事件發(fā)生，即A? + ?B+A?B;
(4)事件可表示為 ? + ?B+A? .
(5)事件可表示為A? + ?B.
［例2］兩臺雷達(dá)獨立地工作，在一段時間內(nèi)，甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率為0.9,乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率為0.85,計算在這段時間內(nèi)，下列各事件的概率.
(1)甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；
(2)至少有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；
(3)至多有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo).
分析：設(shè)這段時間內(nèi)，事件A：“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”，事件B：“乙雷達(dá)未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”.由于兩雷達(dá)獨立工作，故事件A與B相互獨立.
解：設(shè)事件A：“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”，事件B：“乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”.
因甲、乙兩臺雷達(dá)獨立工作，故事件A與B相互獨立.所以事件A與 ， 與B， 與 也相互獨立.
(1)∵甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，即事件( ? )發(fā)生,
∴甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率
P( ? )=P( )?P( )=［1-P(A)］?［1-P(B)］=0.1×0.15=0.015.
(2)解法一：∵至少有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，即事件“A? + ?B+A?B”發(fā)生,
又∵事件A? ， ?B，A?B彼此互斥,
∴所求的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=0.9×0.15+0.1×0.85+0.9×0.85
=0.985.
解法二：∵事件“至少有一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”與事件“兩臺雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”是對立事件,
∴所求的概率為
1-P( ? )=1-P( )?P( )=1-0.1×0.15=0.985.
(3)解法一：∵至多有一雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，即事件A? + ?B+ ? 彼此互斥
∴所求的概率
P(A? + ?B+ ? )
=P(A? )+P( ?B)+P( ? )
=P(A)?P(B)+P( )?P(B)+P( )?P( )
=0.9×0.15+0.1×0.85+0.1×0.15
=0.235.
解法二：∵事件“至多一臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”與事件“兩雷達(dá)同時發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”是對立事件,
∴所求的概率為
1-P(A?B)=1-P(A)?P(B) =1-0.9×0.85=0.235.
［例3］有甲、乙、丙3批罐頭，每批100個，其中各有1個是不合法的，從三批罐頭中各抽出1個，求抽出的3個中至少有1個不合格的概率.
分析：設(shè)從甲、乙、丙3批罐頭中各抽出1個，得到不合格的事件分別為A、B、C；因為事件“抽出的3個中至少有1個是不合格的”與事件“抽出的3個全是合格的”是對立事件，且事件A、B、C相互獨立，故所求的事件概率可求.
解：設(shè)從甲、乙、丙三批罐頭中各抽出1個，得到不合格的事件分別為A、B、C；則事件A、B、C相互獨立， 、 、 也相互獨立.
∵事件“抽出的3個中至少有1個是不合格的”與事件“抽出的3個全是合格的”是對立事件,
∴所求的概率為1-P( ? ? ),
即1-P( )?P( )?P( )
=1- ? ?
=1-0.993≈0.03.
［例4］已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機的概率為0.2.
(1)假定有5門這種高炮控制某個區(qū)域，求敵機進(jìn)入這個區(qū)域后被擊中的概率；
(2)要使敵機一旦進(jìn)入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？
分析：因為敵機被擊中就是至少有1門高炮擊中敵機，故敵機被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機的概率.
解：(1)設(shè)敵機被第k門高炮擊中的事件為Ak(k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機的事件為 ? ? ? ? .
∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互獨立,
∴敵機未被擊中的概率
P( ? ? ? ? )
=P( )?P( )?P( )?P( )?P( )
=(1-0.2)5=( )5.
∴敵機被擊中的概率為1-( )5.
(2)至少需要布置n門高炮才能有0.9以上概率被擊中，仿(1)可得敵機被擊中的概率為1-( )n,
令1-( )n＞0.9，
即( )n＜ .
兩邊取常用對數(shù)，得n＞ ≈10.3.
∵n∈N*,∴n=11.
∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機.
評述：逆向思維在解決帶有詞語“至多”“至少”的問題時的運用，常常能使問題的解答變得簡便.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)同一天內(nèi)，甲地下雨的概率是0.12,乙地下雨的概率是0.15,假定在這天兩地是否下雨相互之間沒有影響，那么甲、乙兩地都不下雨的概率是
A.0.102B.0.132
C.0.748D.0.982
答案：C
(2)一名學(xué)生體育達(dá)標(biāo)的概率是 ，他連續(xù)測試2次，那么其中恰有1次達(dá)標(biāo)的概
率為
A. B.
C. D.
答案：C
(3)甲、乙兩人獨立地解決一道數(shù)學(xué)題，已知甲能解對的概率為m，乙能解對的概率為n,那么這道數(shù)學(xué)題被得到正確解答的概率為
A.m+nB.m?n
C.1-(1-m)(1-n)D.1-m?n
答案：C
(4)甲、乙兩個學(xué)生通過某種英語聽力測試的概率分別為 、 ，兩人同時參加測試，其中有且只有1個通過的概率是
A. B.
C. D.1
答案：C
(5)有10個均勻的正方體玩具，在它的各面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6，每次同時拋出，共拋5次，則至少有一次全部都是同一個數(shù)字的概率是
A.［1-( )10］5B.［1-( )5］10
C.1-［1-( )5］10D.1-［1-( )10］5
答案：D
2.填空題
(1)在甲盒內(nèi)有螺桿200個，其中A型有160個，在乙盒內(nèi)有螺母240個，其中A型有180個，若從甲、乙兩盒內(nèi)各任取一個，則能配套的一對螺桿、螺母的概率是________.
答案：
(2)某種大炮擊中目標(biāo)的概率是0.7,要以m門這種大炮同時射擊一次，就可以擊中目標(biāo)的概率超過0.95,則m的最小值為________.
答案：3
3.解答題
(1)某兩人負(fù)責(zé)照看三臺機床工作，如果在某一小時內(nèi)機床不需要照看的概率，第一臺是0.8,第二臺是0.85,第三臺是0.9,假定各臺機床是否需要照看相互之間沒有影響，計算在這個小時內(nèi)至少有1臺機床要兩人照看的概率為多少？
解：由題意，可得至少有一臺機床要照看的概率，
P=1-0.8×0.9×0.85=0.388.
∴至少有1臺要照看的概率為0.388.
(2)某籃球運動員在罰球上投籃兩次，已知該運動員一次投籃進(jìn)球的概率為0.8，試求下列各事件的概率. ①兩次都未投進(jìn)；
②只有一次投進(jìn)；
③至少有一次投進(jìn)；
④至多有一次投進(jìn).
解：①P=(1-0.8)2=0.04.
②P=0.8×(1-0.8)+0.2×0.8=0.32.
③P=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96.
④P=0.04+0.32=0.36.
(3)一射手射擊時，命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，求該射手射擊三次得到不少于27環(huán)的概率.
解：“不少于27環(huán)”即每次不少于9環(huán),
則P=0.33+3×0.7×0.7×0.3+0.73=0.811.
∴不少于27環(huán)的概率為0.811.
(4)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，先命中目標(biāo)者為勝，已知甲、乙兩人命中目標(biāo)的概率都是 ，每槍都以甲先乙后的順序進(jìn)行比賽，求：
①甲先勝的概率；
②乙先勝的概率.
解：①據(jù)題意,可知甲先勝的概率
P= +…
=
= ? .
②P= ? +…
= ?［1+( )2+( )4+…］
= ? .
評述：逆向思維在解決帶有詞語“至多”“至少”的問題時的運用，常常能使問題的解答變得簡便.
(5)一次數(shù)學(xué)測驗共有10道單項選擇題,每題都有四個選項.評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:考生每答對一題得4分,不答或答錯一題倒扣1分.某考生能正確解答第1~6道題,第7~9題的四個選項中可正確排除其中一個錯誤選項.因此該考生從余下的三個選項中猜選一個選項.第10題因為題目根本讀不懂,只好亂猜.在上述情況下,試求:
(1)該考生這次測試中得20分的概率;
(2)該考生這次測試中得30分的概率.
解:(1)設(shè)可排除一個錯誤選項的試題答對為事件A,亂猜的一題答對事件為B,
則P(A)= ,P(B)= ,那么得分為20分的事件相當(dāng)于事件A獨立重復(fù)試驗3次沒有1次發(fā)生而事件B不發(fā)生.
其概率為:
.
答:該考生這次測試中得20分的概率為 .
(2)得30分的事件相當(dāng)于事件A獨立重復(fù)試驗3次有2次發(fā)生而且事件B不發(fā)生,或事件A獨立重復(fù)試驗3次只有1次發(fā)生而且事件B發(fā)生.
其概率
.
答：該考生這次測試中得30分的概率為 .
(6)(2004年湖北，文21)為防止某突發(fā)事件發(fā)生,有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預(yù)防措施可供采用,單獨采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率(記為P)和所需費用如下表:
預(yù)防措施甲乙丙丁
P0.90.80.70.6
費用(萬元)90603010
預(yù)防方案可單獨采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施.在總費用不超過120萬元的前提下,請確定一個預(yù)防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.
解:方案一:單獨采用一種預(yù)防措施的費用均不超過120萬元.由表可知采用甲措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大,其概率為0.9.
方案二:聯(lián)合采用兩種預(yù)防措施,費用不超過120萬元.由表可知聯(lián)合甲、丙兩種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大,其概率為1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.
方案三:聯(lián)合采用三種預(yù)防措施,費用不超過120萬元,故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施,此時突發(fā)事件不發(fā)生的概率為
1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6) =1-0.2×0.3×0.4=1-0.024=0.976.
綜合上述三種預(yù)防方案，可知在總費用不超過120萬元的前提下,聯(lián)合使用乙、丙、丁三種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.
●備課資料?
一、參考例題
［例1］求一位病人服用某藥品被治愈的概率為90%，求服用這種藥的10位患有同樣疾病的病人中至少有7人被治愈的概率.
分析：設(shè)事件A：“服用此藥后病人被治愈，則有P(A)=90%”.
解：∵10位病人獨立地服用此藥相當(dāng)于10次獨立重復(fù)試驗，至少7人被治愈即是事件A至少發(fā)生7次,
∴所求的概率
P=P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
= ?0.97?0.13+ ?0.98?0.12+ ?0.99?0.1+ ?0.910≈0.98.
［例2］某人參加一次考試，若五道題中解對4道則為及格，已知他解一道題的正確率為0.6,試求他能及格的概率.
分析：設(shè)事件A：“解題一道正確”則P(A)=0.6,由于解題五道相當(dāng)于5次獨立重復(fù)試驗，且他若要獲得及格需解對4題或5題，因此即在5次獨立重復(fù)試驗中，事件A至少發(fā)生4次.
解：設(shè)事件A：“解題一道正確”.
∵解五道題相當(dāng)于5次獨立重復(fù)試驗，且他若要達(dá)到及格需解對其中的4道題或5道題,
∴事件A必須發(fā)生至少4次，其中“發(fā)生4次”與“發(fā)生5次”是互斥的.
∴所求的概率P=P5(4)+P5(5)= ?0.64?0.4+ ?0.65≈0.34.
［例3］設(shè)在一袋子內(nèi)裝有6只白球，4只黑球，從這袋子內(nèi)任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子內(nèi)，求在5次取球中.
(1)取得白球3次的概率；
(2)至少有1次取得白球的概率.
分析：設(shè)事件A：“取球一只得白球”，由于每次取出的球又放回袋子內(nèi)，因此取球5次可以看成5次獨立重復(fù)試驗.
解：(1)設(shè)事件A：“取球一只，得到白球”，則P(A)= ，根據(jù)題意,可知從袋子里任意取球5次就是5次獨立重復(fù)試驗.
∵取得白球3次相當(dāng)于事件A發(fā)生3次,
∴所求的概率P5(3)= ( )3( )2≈0.35. (2)∵在上述的5次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生0次的概率
P5(0)= ( )0( )5≈0.010,
∴所求的概率為1-P5(0)=1-0.01=0.99.
［例4］某車間的5臺機床在1小時內(nèi)需要工人照管的概率都是 ，求1小時內(nèi)這5臺機床中至少2臺需要工人照管的概率是多少？
分析：設(shè)事件A：“一臺機床需要工人照管”，則P(A)= ，且5臺機床需要照管相當(dāng)于5次獨立重復(fù)試驗.1小時內(nèi)這5臺機床中至少2臺需要照管就是指事件A至少發(fā)生2次.
解：設(shè)事件A：“一臺機床需要工人照管”，則有P(A)= .
∵5臺機床需要照管相當(dāng)于5次獨立重復(fù)試驗,
而事件A至少發(fā)生2次的概率為
1-［P5(1)+P5(0)］=1-［ ( )( )4+ ( )0( )5］≈0.37,
∴所求概率為0.37.
［例5］某人對一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不少于0.75,至少應(yīng)射擊n次？
分析：設(shè)至少射擊n次，事件A：“射擊一次命中目標(biāo)”，則P(A)=0.25.由于“射擊n次至少命中1次”與“射擊n次命中0次”是對立事件，故射擊n次，至少命中1次的概率為1-Pn(0).
解：設(shè)至少應(yīng)射擊n次，事件A：“射擊一次命中目標(biāo)”，則P(A)=0.25.
∵射擊n次相當(dāng)于n次獨立重復(fù)試驗,
∴事件A至少發(fā)生1次的概率為
1-Pn(0)=1- (0.25)0?(1-0.25)n=1-0.75n.
令1-( )n≥ ,∴( )n≤ ,即
n≥ ≈4.82.
∵n∈N*,∴n=5.
∴至少射擊5次.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)在某一次試驗中事件A出現(xiàn)的概率為P，則在n次獨立重復(fù)試驗中 出現(xiàn)k次的概率為
A.1-PkB.(1-P)k?Pn-k
C.1-(1-P)kD. (1-P)kPn-k
答案：D
(2)設(shè)在一次試驗中事件A出現(xiàn)的概率為P，在n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率為Pk,則
A.P1+P2+…+Pn=0B.P0+P1+P2+…+Pn=1
C.P0+P1+P2+…+Pn=0D.P1+P2…+Pn=1
答案：B
2.填空題
(1)從次品率為0.05的一批產(chǎn)品中任取4件，恰有2件次品的概率為________.
答案： 0.052(1-0.05)2
(2)某事件在5次重復(fù)獨立試驗，一次也沒有發(fā)生的概率為P5(0)，恰有一次發(fā)生的概率為P5(1)，則該事件至少發(fā)生1次的概率為________.
答案：1-［P5(0)+P5(1)］
3.解答題
(1)某車間有5臺車床，每臺車床的停車或開車是相互獨立的，若每臺車床在任一時刻處于停車狀態(tài)的概率為 ，求：
①在任一時刻車間里有3臺車床處于停車的概率；
②至少有一臺處于停車的概率.
解：①P= ( )3(1- )2≈0.11.
②P=1- ( )0(1- )5≈0.13.
(2)種植某種樹苗，成活率為90%，現(xiàn)在種植這種樹苗5棵，試求：
①全部成活的概率；
②全部死亡的概率；
③恰好成活3棵的概率；
④至少成活4棵的概率.
解：①P=0.95≈0.59.
②P=(1-0.9)5=0.15.
③P= ?0.93(1-0.9)2≈0.073.
④P= ?0.94(1-0.9)+ 0.95≈0.92.
(3)用8門炮摧毀某一目標(biāo)，如果至少命中2發(fā)時，目標(biāo)就被摧毀，假定每門炮命中目標(biāo)的概率都是0.6,若8門炮同時向目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，求目標(biāo)被摧毀的概率.
解：分析題意可知“至少要有2門命中目標(biāo)”其概率
P=1-P8(0)-P8(1) =1- 0.60(1-0.6)8- ?0.6?(1-0.6)7≈0.99.
(4)在抗菌素的生產(chǎn)中，常常需要優(yōu)良菌株，若一只菌株變成優(yōu)良菌株的概率是0.05,那么，從一大批經(jīng)過誘變處理的菌株中，選擇多少株進(jìn)行培養(yǎng)，就能有95%以上的把握至少選到一只優(yōu)良菌株？
解：設(shè)選n只菌株進(jìn)行培養(yǎng)可得到優(yōu)良菌株,
∴1-Pn(0)=1- 0.050(1-0.05)n=1-0.95n≥0.95.
∴n=58.
∴至少選擇58株.
(5)甲、乙兩人下棋，在每盤比賽中，甲取勝的概率為0.5,乙取勝的概率為0.4，平局的概率為0.1,他們決定不管如何都要下完三盤棋，誰勝兩盤以上(含兩盤)誰就是最后的勝利者，分別計算甲、乙獲勝的概率.
解：甲獲勝的概率
P1=3×0.52×(1-0.5)+3×0.52×0.1+0.53
=4×0.53+0.52×0.3=0.575.
乙獲勝的概率
P2=3×0.42×(1-0.4)+3×0.42×0.1+0.43=0.4.
(6)甲、乙兩人投籃，命中率各為0.7和0.6,每人投球三次，求下列事件的概率：
①兩人都投進(jìn)2球；
②兩人投進(jìn)的次數(shù)相等.
解：①P=［ 0.72?(1-0.7)］×［ 0.62(1-0.6)］≈0.19.
②P= [ 0.70?(1-0.7)3? 0.60?(1-0.6)3]+ [ 0.7(1-0.7)2? 0.6(1-0.6)2]+ [ 0.72(1-0.7)? 0.62?(1-0.6)]+ [ ?0.73(1-0.7)0? 0.63(1-0.6)0]≈0.148.
(7)在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，求在n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生奇數(shù)次的概率.
解：據(jù)題意,可知
所求概率
P= p(1-p)n-1+ p3(1-p)n-3+ p5(1-p)n-5+…+ {[(1-p)+p]n+ [(1-p)-p]n}= + (1-2p)n.

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