首先,我們要了解下正弦定理的應用領(lǐng)域
在解三角形中,有以下的應用領(lǐng)域:
(1)已知三角形的兩角與一邊,解三角形
(2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角,解三角形
(3)運用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系
直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦
正弦定理
在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑)
其次,余弦的應用領(lǐng)域
余弦定理
余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理,直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題,若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識,則使用起來更為方便、靈活。
正弦定理的變形公式
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;在一個三角形中,各邊與其所對角的正弦的比相等,且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的,利用正弦定理解三角形時,其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角,由于該三角形具有不穩(wěn)定性,所以其解不確定,可結(jié)合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角,大角對大邊”定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題
(3)相關(guān)結(jié)論:a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)
(4)設R為三角外接圓半徑,公式可擴展為:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當一內(nèi)角為90°時,所對的邊為外接圓的直徑。靈活運用正弦定理,還需要知道它的幾個變形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
(5)a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a
正弦、余弦典型例題
1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,則sinA的值為
2.已知α為銳角,且,則α的度數(shù)是()A.30°B.45°C.60°D.90°
3.在△ABC中,若,∠A,∠B為銳角,則∠C的度數(shù)是()A.75°B.90°C.105°D.120°
4.若∠A為銳角,且,則A=()A.15°B.30°C.45°D.60°
5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足為D,且AD=,E是AC中點,EF⊥BC,垂足為F,求sin∠EBF的值。
正弦、余弦解題訣竅
1、已知兩角及一邊,或兩邊及一邊的對角(對三角形是否存在要討論)用正弦定理
2、已知三邊,或兩邊及其夾角用余弦定理
3、余弦定理對于確定三角形形狀非常有用,只需要知道最大角的余弦值為正,為負,還是為零,就可以確定是鈍角。直角還是銳角。
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