異想天開,打破不可能??“化圓為方”的絕招

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 初中數(shù)學(xué) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著千千萬萬的奧秘,聽到“化圓為方”這個詞,你是不是一頭霧水呢?首先,我們來了解一下什么是“化圓為方”:“化圓為方”是古希臘數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖領(lǐng)域中的命題,它與“三等分角”、“倍立方問題”并列為尺規(guī)作圖三大難題!盎瘓A為方”要解決的問題是:求一個正方形,使其面積等于一給定圓的面積。

“化圓為方”的難度在于作圖時所使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只能使用直尺(沒有刻度,只能作直線的尺)和圓規(guī)。希波克拉底、安提豐、希皮亞斯等著名的研究者研究這一問題。

直到德國數(shù)學(xué)家林德曼在1882年解決了一個關(guān)于π的重要問題時,證明了π是一個“超越”數(shù),即π不可能是代數(shù)方程(一個僅含x的指數(shù)項的方程)的解。通過解決這個難題,林德曼給出了“化圓為方”這一問題的結(jié)論,此問題為: 給定一個圓,如何利用一對圓規(guī)和直尺,構(gòu)造一個和它面積一樣的正方形。林德曼最后證明了,這個問題是不可能做到的。因此,“化圓為方”問題禁用支持和圓規(guī)是無法完成的。

既然尺規(guī)作圖解決不了“化圓為方”的問題,那有什么方法可以解決呢?歐洲文藝復(fù)興時期,意大利數(shù)學(xué)家達(dá)芬奇發(fā)現(xiàn),若不受標(biāo)尺的限制,解決“化圓為方”這一問題并非難事,即可以通過特殊的曲線來完成。用已知圓為底,圓半徑的1/2為高的圓柱,在平面上滾動一周,所得的矩形,其面積恰為圓的面積,如圖:

圓的半徑為r,大家都知道圓的面積為S=πr2,圓的周長為C=2πr。矩形的面積為S=長×寬。而利用達(dá)芬奇的方法所得到的矩形的長度為已知圓的周長2πr,寬為r/2,計算得出矩形的面積為S=r/2×2πr=πr2,也就是圓的面積,再將矩形化為等積的正方形即可。這樣,“化圓為方”的問題就很好地解決了。

通過“化圓為方”的解決,我們不僅能學(xué)到數(shù)學(xué)知識,更要明白所有問題的解決辦法并不只有一條,要從多方面多角度去看問題、分析問題和解決問題。


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