吳國(guó)平
自從新課程改革開展以來，無論是教師的“教”還是學(xué)生的“學(xué)”都發(fā)生很大變化，這種變化一方面是受教學(xué)新模式的影響，另一方面是受教材內(nèi)容“改變”所產(chǎn)生的影響。如高中數(shù)學(xué)教材的兩個(gè)顯著變化就是“向量和導(dǎo)數(shù)”的引入，這兩塊知識(shí)內(nèi)容引入的目的主要是為研究函數(shù)、空間圖形，提供新的手段。
導(dǎo)數(shù)是很多人都非常熟悉的知識(shí)內(nèi)容，現(xiàn)已成為高考數(shù)學(xué)重要熱門考點(diǎn)，而對(duì)于向量方面的認(rèn)知，很多人只停留在“工具性”層面上，沒有充分認(rèn)識(shí)到向量思想的重要性。
向量相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的引入，對(duì)我們的高中數(shù)學(xué)教育起到一定程度的影響現(xiàn)實(shí)意義。如空間向量在解決立體幾何比起傳統(tǒng)的知識(shí)和方法更具優(yōu)勢(shì)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用空間向量的“坐標(biāo)法”來解決空間中“三大角”問題，我們發(fā)現(xiàn)這種方法比起傳統(tǒng)解決方法更好，可操作性更強(qiáng)，因?yàn)橹灰芙ㄏ担凶鴺?biāo)就能解決。
雖然我們認(rèn)可向量在高中數(shù)學(xué)教育中的地位，認(rèn)識(shí)到向量相關(guān)知識(shí)內(nèi)容在數(shù)學(xué)教育中有著非常重要的地位和教育價(jià)值,但很多人在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)向量相關(guān)的知識(shí)結(jié)論理解不深，部分學(xué)生僅僅依靠死記硬背來消化向量知識(shí)內(nèi)容，這與新課改的精神完全背道而馳。
向量的工具性特點(diǎn)在數(shù)學(xué)的許多分支中都有體現(xiàn),尤其在高等數(shù)學(xué)與解析幾何中,向量的思想滲透非常廣泛。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，向量作為必修課程的其中一部分內(nèi)容，可以能很好培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng),幫助學(xué)生提高的綜合數(shù)學(xué)能力。
何為向量？向量從何而來？
我們知道在物理學(xué)當(dāng)中，有大小而沒有方向的量稱之為標(biāo)量，而把既有方向又有大小的物理量就稱為矢量。矢量廣泛地應(yīng)用于高中物理學(xué)習(xí)中，如力學(xué)中的力、速度、加速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等等內(nèi)容學(xué)習(xí)之中。其實(shí)物理學(xué)中的矢量就是數(shù)學(xué)中的向量，只不過同一個(gè)量在不同學(xué)科當(dāng)中兩種不同叫法而已。
在物理學(xué)和工程學(xué)中，幾何向量通常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個(gè)物體的位移，球撞向墻而對(duì)其施加的力等等。與之相對(duì)的是標(biāo)量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關(guān)的定義亦與物理概念有密切的聯(lián)系，如向量勢(shì)對(duì)應(yīng)于物理中的勢(shì)能。
在大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。
英國(guó)科學(xué)家牛頓是最先使用有向線段來表示向量，而“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段。
我們都知道，在數(shù)學(xué)中我們把具有大小和方向的量稱之為向量。同時(shí)向量也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量。
向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。其中箭頭代表向量的方向，線段長(zhǎng)度代表向量的大小。
與向量對(duì)應(yīng)的只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量，在物理學(xué)中我們稱之為標(biāo)量。
向量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)，如很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。這也體現(xiàn)數(shù)學(xué)和物理兩門重要學(xué)科之間的“親密關(guān)系”，更體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要性。
如何來表示向量？
一般情況下用印刷體記作粗體的字母，如a、b、u、v等等，同時(shí)書寫的時(shí)候在字母頂上加一小箭頭“→”。
如果給定向量的起點(diǎn)（A）和終點(diǎn)（B），可將向量記作AB，并且要在字母頂上加→。
在空間直角坐標(biāo)系中，也能把向量以數(shù)對(duì)形式表示，如在Oxy平面中(2,3)是一向量。
向量相關(guān)的定義有滑動(dòng)向量、固定向量、位置向量、方向向量、相反向量、平行向量、共面向量、法向量等等。一般情況下向量定義為向量空間的元素，我們特別要注意這些抽象意義上的向量不一定以數(shù)對(duì)表示，大小和方向的概念亦不一定適用。如幾何向量的概念在線性代數(shù)中經(jīng)由抽象化，得到更一般的向量概念。
因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，一定要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和進(jìn)一步理解，這樣你就學(xué)會(huì)根據(jù)語境來區(qū)分文中所說的"向量"是哪一種概念。
只要我們掌握好相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，就可以根據(jù)一個(gè)向量空間的基來設(shè)置坐標(biāo)系，透過選取恰當(dāng)?shù)亩x，在向量空間上介定范數(shù)和內(nèi)積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。
看到向量的表示方式，我們很容易想到復(fù)數(shù)這一數(shù)學(xué)知識(shí)。其實(shí)向量這一重要知識(shí)內(nèi)容進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，并取得重要發(fā)展，這要得益于復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的發(fā)展。
復(fù)數(shù)前后經(jīng)歷幾百年的時(shí)間才建立完整的知識(shí)系統(tǒng)，但在數(shù)學(xué)史上，空間的向量結(jié)構(gòu)被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間。直到18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)a+bi，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算。
人們把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來，并且把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題。
在復(fù)數(shù)的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的利用有時(shí)候會(huì)受到限制，如有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運(yùn)算體系。
在19世紀(jì)中期，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密爾頓發(fā)明了四元數(shù)，包括數(shù)量部分和向量部分，以代表空間的向量。從此，哈密爾頓為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎(chǔ)。
英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家麥克斯韋把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了大量的向量分析。
在19世紀(jì)80年代，英國(guó)的居伯斯和海維塞德于各自獨(dú)立完成了三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂。
他們提出，一個(gè)向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨(dú)立于任何四元數(shù)。他們引進(jìn)了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積。并把向量代數(shù)推廣到變向量的向量微積分。
因此，當(dāng)數(shù)學(xué)界逐步接受復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，并且用于數(shù)學(xué)進(jìn)一步研究，這也直接促進(jìn)數(shù)學(xué)家們利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中的向量，把空間的性質(zhì)與向量運(yùn)算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系。
在高中數(shù)學(xué)教育中引入向量相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)向量進(jìn)行系統(tǒng)深入的學(xué)習(xí)和研究。這樣做的目的不僅僅只是為了學(xué)習(xí)向量知識(shí)內(nèi)容，它可以幫助我們的學(xué)生更好去理解物理課上矢量相關(guān)知識(shí)。同時(shí)，學(xué)生通過物理學(xué)里面矢量?jī)?nèi)容的學(xué)習(xí)，也能更好幫助他們對(duì)向量有進(jìn)一步深入的了解。如在力學(xué)中，對(duì)力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加減理論。
因此，我們一定要認(rèn)真對(duì)待向量的學(xué)習(xí)，為今后的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們首先要熟練掌握好向量方法的基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容，學(xué)會(huì)掌握和運(yùn)用向量的思想方法，學(xué)會(huì)將各部分的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行合理重組和整合，并借助于向量，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、審美的觀點(diǎn)、進(jìn)行縱橫聯(lián)系和廣泛的聯(lián)想。
我們經(jīng)常說數(shù)學(xué)來源于生活，同時(shí)又要能服務(wù)于生活，將生活中的問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化，轉(zhuǎn)化成具體數(shù)學(xué)問題來解決，如方程、向量等等。向量相關(guān)知識(shí)的實(shí)踐運(yùn)用，不僅能很好體現(xiàn)其工具性，更充分體現(xiàn)向量在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面的教學(xué)價(jià)值。
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