直線平行的條件(一)
目標
1.經(jīng)歷觀察、操作、想像、推理、交流等活動，進一步發(fā)展空間觀念，推理能力和有條理表達能力.
2.經(jīng)歷探究直線平行的條件的過程,掌握直線平行的條件,領悟歸納和轉化的數(shù)學思想方法.
重點、難點
探索并掌握直線平行的條件是本課的重點也是難點.
過程
一、復習引入
1.填空:經(jīng)過直線外一點 ,________與這條直線平行.
2.畫圖:已知直線AB,點P在直線AB外,用直尺和三角尺畫過點P的直線CD,使CD∥AB.
3.反思:在用直尺和三角形畫平行線過程中,三角尺起著什么樣的作用.
學生講出是為畫∠PHF,使所畫的角與∠BGF相等.
教師指出既然兩個角相等與兩條直線平行能聯(lián)系起來, 那么這兩個角具有什么樣的位置關系,我們是否得到了一個判定兩直線平行的方法?這是本課要研究的內 容之一.
二、探索直線平行的條件
1.畫出課本圖5.2-5的簡化圖形,分析∠1、∠2的位置關系.
(1)讓學生先描述∠1、∠2的方位.
(2)教師指出像∠1、∠2這樣分別位于直線CD、AB的下方,又在直線EF的右側, 也就是位置相同的兩個角叫做同位角.
(3)讓學生識別圖中其他的同位角,并標記出它們,要求正確而又不遺漏.
(4)教師強調:同位角是具有特殊位置關系的兩個角, 它不同于對頂角和鄰補角.同位角都有一條邊在截線EF上.
2.歸納利用同位角判定兩條直線平行的方法.
(1) 學生根據(jù)同位角的意義以及平推三角尺畫出平行線活動中敘述判定兩條直線平行的方法.
教師引導學生正確表達平行線的判定方法1,并板書.
方法1:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行. 簡單記為:同位角相等,兩條直線平行.
(2)教師引導學生,結合圖形用符號語言表達兩直線平行的判定方法1: 如果∠1=∠2,那么AB∥CD.[
教師強調判定兩直線平行方法1的條件中有兩層意思:第一層這兩個角是這兩條被第三條直線所截而成的一對同位角;第二層這兩個角相等兩者缺一不可.
(3)簡單應用.
①教師表演木工用每尺畫平行線過程,讓學生說出用角尺畫平行線的道理(結合P15圖5.2-7).
教師規(guī)范說理過程:因為∠DCB與∠FEB是直線CD、EF被AB所截而成的同位角,而且∠DCB=∠FEB,即同位角相等,根據(jù)直線平行判定方法,從而CD∥EF.
3.利用教具模型認識內錯角和同旁內角.
(1)教師展示教具模型,并在黑板上畫出右圖圖型,指出在直線a、b被直線c所截成的角中,∠1和∠2是同位角,∠2與∠3、∠2與∠4雖然不是同位角, 但是它們又是具有某種位置關系的兩個角,大家能敘述∠2與∠3有怎樣的位置關系?∠2和∠4呢?
教師引導學生正確地敘述,如∠2與∠3位在直線a,b的內部,又分別位于直線c的兩側,∠2與∠4位在直線a,b內部,都在直線c的右側(同側).
(2)教師轉動直線a或者直線b,再問學生∠2與∠3,∠2與∠4 的度數(shù)是否發(fā)生變化?它們之間的位置是否發(fā)生改變?
學生回答后,教師指出像∠2和∠3這樣的兩個角叫做內錯角,像∠2和∠4這樣的兩個角叫做同旁內角.
(3)讓學生識別圖中其他的內錯角和同旁內角,標記出它們.
(4)學生概括由直線a、b被直線c所截成的八個角中有四對的同位角, 兩對的內錯角、兩對的同旁內角.
4.探索兩條直線平行的其它方法
(1)演示教具,使學生直覺當內錯角相等時,兩條直線平行.
(2)讓學生思考:為什么內錯角相等時,兩條直線平行?你能用學過的兩直線平行的 判定方法1來說明嗎?
學生若有困難,教師可提示學生通過內錯角和同位角之間的關系把條件∠2=∠3轉化為∠1=∠2.
教師規(guī)范說理過程:因為∠2=∠3,而∠3=∠1(對頂角相等),所以∠1=∠2, 即同位角相等,因此a∥b.
(3)師生歸納判定兩條直線平行的方法2,教師板書:
兩條直線被第三條直線所截,如果內錯角相等,那么這兩條直線平行.
簡單記為:內錯角相等,兩直線平行.
教師引導學生結合圖形用符號語言表達方法2:如果∠2=∠3,那么a∥b.
(4)討論:同旁內角數(shù)量上滿足什么關系時,兩直線平行?
①學生猜想,可借 助于教具.先排除相等,當∠4是銳角時,∠2是鈍角才有可能使a∥b,進一步觀察發(fā)現(xiàn):如果同旁內角互補時,兩條直線平行,即如果∠2+∠4=180 °,那么a∥b.
②學生利用平行判定方法1或方法2來說明猜想正確.
教師根據(jù)學生說理,再準確地板書:
因為∠4+∠2=180°,而∠4+∠1=180°,根據(jù)同角的補角相 等 ,所以有∠2=∠1, 即同位角相等,從而a∥b.
因為∠4+∠2=180°,而∠4+∠3=180°,根據(jù)同角的補角相等,所以有∠3=∠2, 即內錯角相等,從而a∥b.
③師生歸納兩條直線平行的判定方法3,教師板書:
兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內角互補,那么兩條直線平行.
簡單記為:同旁內角互補,兩直線平行.
綜合圖形,用符號語言表達:如果∠4+∠2=180°,那么a∥b.
三、鞏固練習
課本P17練習.
四、作業(yè)
1.作業(yè)P18.1,2,3,4.
2.補充設計:
一、判斷題
1.兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么內錯角也相等.( )
2.兩條直線被第三條直線所截,如果內錯角互補,那么同旁內角相等.( )
二、填空
1.如圖1,如果∠3=∠7,或______,那么______,理由是__________;如果∠5=∠3,或筆________,那么________, 理由是______________; 如果∠2+ ∠5= ______ 或者_______,那么a∥b,理由是__________.
(1) (2) (3)(
2.如圖2,若∠2=∠6,則______∥_______,如果∠3 +∠4+∠5+∠6=180°, 那么____∥_______,如果∠9=_____,那么AD∥BC;如果∠9=_____,那么AB∥CD.
三、選擇題
1.如圖3所示,下列條件中,不能判定AB∥CD的是( )
A.AB∥EF,CD∥EF B.∠5=∠A; C.∠ABC+∠BCD=180° D.∠2=∠3
2.右圖,由圖和已知條件,下列判斷中正確的是( )
A.由∠1=∠6,得AB∥FG;
B.由∠1+∠2=∠6+∠7,得CE∥EI
C.由∠1+∠2+∠3+∠5=180°,得CE∥FI;
D.由∠5=∠4,得AB∥FG
四、已知直線a、b被直線c所截,且∠1+∠2=180°,試判斷直線a、b的位置關系,并說明理由.
答案:
一、1.∨ 2.∨
二、1.∠1=∠5求∠2=∠6或∠4=∠8,a∥b,同位角相等,兩直線平行,或∠2=∠8,a∥b,內錯角相等,兩直線平行,180°,∠3+∠8=180°,同旁內角互補,兩條直線平行. 2.BC∥AD,AD∥BC,∠BAD,∠BCD
三、1.D 2.D 四、a∥b,可以用三種平行線判定方法加以說明,其一:因為∠1+∠2=180°,又∠3=∠1(對頂角相等)所以∠2+∠3=180°,所以a∥b(同旁內角互補,兩直線平行),其他略.
5.2.2直線平行的條件(第2課時)
直線平行的條件(二)
教學目標
1.經(jīng)歷觀察、操作、想像、推理、交流等活動,進一步發(fā)展空間觀念,推理能力和有條理表達能力.
2.經(jīng)歷分析題意,說理過程,能靈活地選用直線平行的規(guī)定方法進行說理.
重點、難點
重點:直線平行的條件的應用.
難點:選取適當判定直線平行的方法進行說理是重點也是難點.
教學過程
一、畫圖實踐活動
1.回憶怎樣用移動三角尺的方法畫兩條平行線的, 其中直尺和三角尺的作用是什么?
師生交流后得出:直尺與已知直線構成等于三角尺度數(shù)的角∠1, 確定第三條直線即截線的位置,移動三角尺再形成一個與∠1相等的同位角∠2.
2.教師提出問 題:學習了平行線后,大家還能想出過一點畫一條直線的平行線的新方法嗎?
學生思考、小組交流,教師根據(jù)學生的想法在全班交流每種畫法的方法步驟、 定義.如果學生沒有想到的,教師可按課本P36李強、張明、王玲同學的做法,組織學生分析做法要點和合理性,正確性.
對于李強畫法,教師使學生明白,畫過點P的直線b是確定直線b的位置和確定∠1的大小,其次點P為頂點,作與∠1相等的同位角∠2,從而畫出過點P的直線c, 根據(jù)平行判定1,可知c∥a.
對于張明做法,學生應明確本做法就畫一個一邊在直線a的長方形PQRS, 由于長方形的對邊平行,從而b∥a.
對于王玲做法,學生應明確第一次折紙是過點P作直線a的垂線b, 第二次折紙是過點P作直線b的垂線c,至于a∥c的理由在例題講解中說明.
3.教師再提出問題:你還有其他方法嗎?動手試一試與同學們交流一下. 教師發(fā)現(xiàn)學生新的做法,組織學生交流,并歸納新的方法主要是:
(1)用尺規(guī)畫過點P的與∠1相等的內錯角∠3,達到作c∥a;
(2)再尺規(guī)畫有別于李強的其他對同位角,達到作c∥a;
(3)用直尺、三角尺畫出與王玲一樣的線條,達到作c∥a.
在解釋學生做法的合理性時,要求學生能利用“同位角相等,兩直線平行”或“內錯角相等,兩直線平行”去說明.
二、例題講解
例:在同一平面內,如果兩條直線都垂直于同一條直線,那么這兩條直線平行嗎?為什么?
教師:這個問題的研究,就是回答了王玲折線方法的合理性.
首先王玲對折直線a,使折線過點P,于是把一個平角分成兩個相等的∠1、∠2, 因為∠1+∠2=180°,所以∠1=∠2=90°.
其次王玲再對折折線b,使折線c過點P,很顯然∠3=90°.
由垂直定義,可知a⊥b,c⊥b.
以上分析使學生明了垂直與直角總聯(lián)系在一起.至于要判定兩條直線是否平行,先考慮學過哪些判定平行線的方法,題中的條件與某種判定方法的條件是否相同?
學生先口述判斷與理由,教師糾正.并規(guī)范板書兩步推理過程:
如課本P17圖5.2-10.
因為b⊥a,c⊥a,
所以∠1=∠2=90°,
從而b∥c.
教師說明:這個道理過程有兩個因為……所以……. 第一個“因為”“所以”是根據(jù)垂直定義，第二個只寫出“所以”的內容b∥c，中間省略一個“因為”的內容，這個內容就是第一個“所以”中的∠1=∠2.這樣處理是使說理表達更簡練, 第二個“因為”、“所以”是根據(jù)同位角相等,兩直線平行.
例題講解后,師提問:你還能利用其他方法說明b∥c嗎?
教師鼓勵學生模仿課本方法用圖(1)內錯角相等的方法寫出理由,用圖(2) 同旁內角互補的方法寫出理由.
(1) (2)
如果∠1,∠2不是同位角,也不是內錯角、同旁內角,如圖(3), 教師啟發(fā)學生用化歸思想將它轉化為已知問題來解決,并且有條理地陳述理由:
如圖(3),
因為a⊥b,c⊥a,
所以∠1=90°,∠2=90°.
因為∠3=∠1=90°,
從而b∥c(同位角相等,兩直線平行). (3)
三、鞏固練習
1.課本P18思考,教師要求學生說出盡可能多的判別方法和理由.
2.已知:如圖,直線a、b被直線c所截,且∠1+∠2=180°,那么直線a與b平行嗎? 為什么?
四、作業(yè)
1.課本作業(yè)P19.5,6,8,9,10,12.
2.補充作業(yè):
一、填空題.
1.如圖,點E在CD上,點F在BA上,G是AD延長線上一點 .
(1)若∠A=∠1,則可判斷_______∥_______,因為________.
(2)若∠1=∠_________,則可判斷AG∥BC,因為_________.
(3)若∠2+∠________=180°,則可判斷CD∥AB,因為_____ _______.
(第1題) (第2題)
2.如圖,一個合格的變形管道ABCD需要AB邊與CD邊平行,若一個拐角 ∠ABC=72°,則另一個拐角∠BCD=_______時,這個管道符合要求.
二、選擇題.
1.如圖,下列判斷不正確的是( )
A.因為∠1=∠4,所以DE∥AB
B.因為∠2=∠3,所以AB∥EC
C.因為∠5=∠A,所以AB∥DE
D.因為∠ADE+∠BED=180°,所以AD∥BE
2.如圖,直線AB、CD被直線EF所截,使∠1=∠2≠90°,則( )
A.∠2=∠4 B.∠1=∠ 4
C.∠2=∠3 D.∠3=∠4
三、解答題.
1.你能用一張不規(guī)則的紙(比如,如圖1所示的四邊形的紙)折出兩條平行的直線嗎?與同伴說說你的折法.
2.已知,如圖2,點B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,問射線CF與BD平行嗎?試用兩種方法說明理由.
答案:
一、1.(1)CD∥AB, 同位角相等,兩直線平行 (2)∠C,內錯角相等, 兩直線平行 (2)∠EFB,同旁內角互補,兩直線平行 2.108°
二、1.C 2.D
三、1.把四邊形紙某條邊分兩次折疊,那么兩條折線是兩條平行線;如果要求折出兩條平行線分別過某兩點,那么首先過這 兩點折出一條直線L,然后分別過這兩點兩次折 疊直線L, 則所折出的線就是所求的平行線 2.平行 提求:第一種先說理∠2=∠C, 第二種說明∠DBC與∠C互補.
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