2013中考全國120份試卷分類匯編
操作與探究
1、（13年北京5分22）下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為 的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BG=∠CHN=∠DEP=45°時，求正方形NPQ的面積。

小明發(fā)現(xiàn)：分別延長QE，F(xiàn)，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）
請回答：
（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個新的正方形的邊長為__________；
（2）求正方形NPQ的面積
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ，若 ，則AD的長為__________。
解析：

考點：操作與探究（旋轉(zhuǎn)、從正方形到等邊三角形的變式、全等三角形）

2、（2013成都市）如圖， ，為⊙ 上相鄰的三個 等分點，弧 ，點 在弧 上， 為⊙ 的直徑，將⊙ 沿 折疊，使點 與 重合，連接 ， ， .設 ， ， .先探究 三者的數(shù)量關(guān)系：發(fā)現(xiàn)當 時， .請繼續(xù)探究 三者的數(shù)量關(guān)系：
當 時， _______；當 時， _______.
（參考數(shù)據(jù)： ，
）

3、（2013山西，21，8分）（本題8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長線上的一點，點E是AC的中點。
（1）實踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不寫作法）。
①作∠DAC的平分線A。②連接BE并延長交A于點F。

【解析】解：①作圖正確，并有痕跡。
②連接BE并延長交A于點F。
（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由。
【解析】解：AF∥BC且AF=BC
理由如下：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C
由作圖可知：∠DAC=2∠FAC
∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC.
∵E是AC的中點， ∴AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC.

4、（13年山東青島、23）在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因集合直觀而形象化。
【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？

幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（ 1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個47×43的
矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式，47×43
的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形
面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋
3×7＝2021

用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，
再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果

歸納提煉：
兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述） ____________________

【研究方程】
提出問題：怎么圖解一元二次方程
幾何建模：
（1）變形：
（2）畫四個長為 ，寬為 的矩形，構(gòu)造圖④
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式， 或四個長 ，寬 的矩形之和，加上中間邊長為2的小正方形面積
∵
∴
歸納提煉：求關(guān)于 的一元二次方程 的解
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關(guān)線段的長）

【研究不等關(guān)系】
提出問題：怎么運用矩形面積表示 與 的大小關(guān)系（其中 ）？
幾何建模：
（1）畫長 ，寬 的矩形，按圖⑤方式分割
（2）變形：
（ 3）分析：圖⑤中大矩形的面積可以表示為
；陰影部分面積可以表示為 ，
畫點部分的面積可表示為 ，由圖形的部分與整體
的關(guān)系可知： ＞ ，即
＞

歸納提煉：
當 ， 時，表示 與 的大小關(guān)系
根據(jù)題意，設 ， ，要求參照上 述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關(guān)線段的長）

解析：

5、(2013年江西省)某數(shù)學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：
　　●操作發(fā)現(xiàn)：
在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，是BC的中點，連接D和E，則下列結(jié)論正確的是 （填序號即可）
①AF=AG= AB；②D=E；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DB．
●數(shù)學思考：
在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，是BC的中點，連接D和E，則D和E具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；
●類比探索：
在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，是BC的中點，連接D和E，試判斷△ED的形狀．
答： ．

【答案】 解：
●操作發(fā)現(xiàn)：①②③④
●數(shù)學思考：
答：D=E，D⊥E，
１、D=E；
如圖2，分別取AB，AC的中點F，G，連接DF，F(xiàn)，G，EG，
∵是BC的中點，
∴F∥AC，F(xiàn)= AC．
又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線，
∴EG⊥AC且EG= AC，
∴F=EG．
同理可證DF=G．
∵F∥AC，
∴∠FA＋∠BAC=180°．
同理可得∠GA+∠BAC=180°，
∴∠FA=∠GA．
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．
同理可得∠DFA=90°，
∴∠FA+∠DFA=∠GA=∠EGA，
即∠DF=∠EG，又F=EG，DF=G，
∴△DF≌△GE（SAS），
∴D=E．
2、D⊥E；
證法一：∵G∥AB，
∴∠FA+∠FG=180°，
又∵△DF≌△GE，∴∠EG=∠DF.
∴∠FA+∠FD+∠DE+∠DF=180°，
其中∠FA+∠FD+∠DF=90°，
∴∠DE=90°.
即D⊥E；
證法二：如圖2，D與AB交于點H，
∵AB∥G，
∴∠DHA=∠DG，
又∵∠DHA=∠FD+∠DFH,
即∠DHA=∠FD+90°,
∵∠DG=∠DE+∠GE，
∴∠DE=90°
即D⊥E；
●類比探究
答：等腰直角三解形
【考點解剖】 本題考查了軸對稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉(zhuǎn)化等知識，能力要求很高．
【解題思路】 （1） 由圖形的對稱性易知①、②、③都正確，④∠DAB=∠DB=45°也正確；（2）直覺告訴我們D和E是垂直且相等的關(guān)系，一般由全等證線段相等，受圖1△DF≌△GE的啟發(fā)，應想到取中點構(gòu)造全等來證D=E，證D⊥E就是要證∠DE=90°，由△DF≌△GE得∠EG=∠DF, △DF中四個角相加為180°，∠FG可看成三個角的和，通過變形計算可得∠DE=90°． （3）只要結(jié)論，不要過程，在（2）的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形.
【解答過程】 略.
【方法規(guī)律】 由特殊到一般，形變但本質(zhì)不變（仍然全等）
【關(guān)鍵詞】 課題學習 全等 開放探究

6、（2013山西，25，13分）（本題13分）數(shù)學活動——求重疊部分的面積。
問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：
如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經(jīng)過點C，DF交AC于點G。
求重疊部分（△DCG）的面積。
（1）獨立思考：請解答老師提出的問題。
【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中點,
∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC
又∵DC=DA,∴G是AC的中點,
∴CG= AC= ×8=4,DG= BC= ×6=3
∴SDCG= ×CG•DG= ×4×3=6
（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。

【解析】解法一：
∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1
∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2
∴GH=GD
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°
∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH
∴點G是AH的中點，
在Rt△ABC中，AB= 10
∵D是AB的中點，∴AD= AB=5
在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB, ∴ = , = ,∴DH= ,
∴S△DGH＝ S△ADH＝ × ×DH•AD= × ×5=
解法二：同解法一，G是AH的中點，
連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點，∴AH=BH，設AH=x則CH＝８-ｘ
在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=
∴S△ABH=AH•BC= × ×6=
∴S△ＤＧＨ= S△ADH= × S△ABH= × = .

解法三：同解法一，∠1=∠2
連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC,
作D⊥AC于點，CN⊥AB于點N，∵D是AB的中點，∠ACB=90°
∴CD=AD=BD，∴點是AC的中點，∴D= BC= ×6=3
在Rt△ABC中，AB= =10， AC•BC= AB•CN，
∴CN＝ .
∵△DGH∽△BDC, ∴ ,
∴ =
∴
（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，再提出一個求重疊部分面積的問題。“愛心”小組提出的問題是：如圖(3)，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點，N，使D=N求重疊部分(△DN)的面積、
任務：①請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DN的面積是
②請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時針方向旋轉(zhuǎn)）。

【答案】①
②注：此題答案不唯一，語言表達清晰、準確得1分，畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點，DF交AC于點N，求重疊部分（四邊形DCN）的面積。

　7、（2013達州）通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補充完整。
FF
原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由。
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線。
根據(jù)__SAS__________，易證△AFG≌_△AFE_______，得EF=BE+DF。
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關(guān)系_互補___時，仍有EF=BE+DF。
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。
解：BD2+EC2=DE2

解析：(1)SAS………………………(1分）
△AFE………………………(2分）
(2)∠B+∠D=180°………………………(4分）
(3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5分）
∵AB=AC，
∴把△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合.
∵△ABC中，∠BAC=90°.
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.
∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分）
在△AEG與△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED.
∴DE=EG.又∵CG=BD,
∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分）
8、（2013陜西壓軸題）問題探究
（1）請在圖①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；
（2）如圖②，是正方形ABCD內(nèi)一定點，請在圖②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.
問題解決
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點P是AD的中點，如果AB= ，CD= ，且 ，那么在邊BC上是否存在一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由.

考點：本題陜西近年來考查的有：折疊問題，勾股定理，矩形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，面積問題及最值問題，位似的性質(zhì)應用等。此題考查對圖形的面積等分問題。
解析：此題主要考查學生的問題的能力，綜合問題的能力，動手操作能力，問題的轉(zhuǎn)化能力，分析圖形能力和知識的遷徙能力，從特殊圖形到一般的過渡，從特殊中發(fā)現(xiàn)關(guān)系到一般的知識遷移的過程。
（1）問較易解決，圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達到目的。
（2）問中其實在八年級學習四邊形時好可解決此類問題。平行四邊形過對角線的交點的直線將平行四邊形分成面積相等的兩個部分。而在正方形中就更特殊，常見的是將正方形重疊在一起旋轉(zhuǎn)的過程中的圖形的面積不變的考查，此題有這些知識的積累足夠解決。
（3）問中可以考慮構(gòu)造（1）（2）中出現(xiàn)的特殊四邊形來解決。也可以用中點的性質(zhì)來解決。在中學數(shù)學中中點就有兩個方面的應用，一是中線（倍長中線構(gòu)造全等三角形或者是平行四邊形）二是中位線的應用。
解：（1）如圖①所示．
（2）如圖②，連接AC、BD相交于點O，作直線O分別交AD、BC于P、Q兩點，過點O作用O的垂線分別交AB、CD于E、F兩點，則直線O、EF將正方形ABCD的面積四等分.
理由如下：

∵點O是正方形ABCD對角線的交點，∴點O是正方形ABCD的對稱中心
∴AP=CQ，EB=DF，
D在△AOP和△EOB中，
∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE
∴∠AOP=∠BOE
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°∴△AOP≌△EOB
∴AP=BE=DF=CQ ∴AE=BQ=CF=PD
設點O到正方形ABCD一邊的距離為 .
∴
∴
∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分
另解：∵點O是正方形ABCD對角線的交點，∴點O是正方形ABCD的中心
∴OA=OB=OC=OD ∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45°
∵PQ⊥EF，∴∠POD+∠DOF=90°，∠POD+∠POA=90°
∴∠POA=∠DOF同理：∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ
∴△AOP≌△BOE≌△COQ≌△DOF
∴
∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分
（3）
存在.當BQ=CD= 時，PQ將四邊形ABCD面積二等分.
理由如下：如圖③，延長BA至點E，使AE= ，
延長CD至點F，使DF= ，連接EF.
∴BE∥CF，BE=CF ∴四邊形BCFE為平行四邊形，
∵BC=BE= + ，∴平行四邊形DBFE為菱形
連接BF交AD于點，則△AB≌△DF
∴A=D.即點P、重合.
∴點P是菱形EBCF對角線的交點，
在BC上截取BQ=CD= ，則CQ=AB= .
設點P到菱形EBCF一邊的距離為
∴
所以當BQ= 時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.

另解：存在.當BQ=CD= 時，PQ將四邊形ABCD面積二等分.
理由如下：如圖④，連接BP并延長BP交CD延長線于點F，連接CP
∵點P是AD的中點，∴PA=PD
∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DFP，∵∠APB=∠DPF ∴△APB≌△DPF
∴AB=DF，PB=PF，所以CP是△CBF的中線，∴
∵AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，∴∠CBF=∠CFB
∵∠ABP=∠DFP∴∠ABP=∠CBP即PB是角平分線.
∴點P到AB與CB的距離相等，
∵BQ= ，所以CQ=AB=
∴
∴
所以當BQ= 時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/244923.html

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