31、（2013•溫州）如圖，在方格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和點(diǎn)P都在小方格的頂點(diǎn)上，按要求畫一個(gè)三角形，使它的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上．
（1）將△ABC平移，使點(diǎn)P落在平移后的三角形內(nèi)部，在圖甲中畫出示意圖；
（2）以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P落在旋轉(zhuǎn)后的三角形內(nèi)部，在圖乙中畫出示意圖．
考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．
專題：圖表型．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，把△ABC向右平移后可使點(diǎn)P為三角形的內(nèi)部的三個(gè)格點(diǎn)中的任意一個(gè)；
（2）把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可使點(diǎn)P在三角形內(nèi)部．
解答：解：（1）平移后的三角形如圖所示；
（2）如圖所示，旋轉(zhuǎn)后的三角形如圖所示．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．
32、（13年安徽省4分、14）已知矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2，將該紙片疊成一個(gè)平面圖形，折痕EF不經(jīng)過(guò)A點(diǎn)（E、F是該矩形邊界上的點(diǎn)），折疊后點(diǎn)A落在A，處，給出以下判斷：
（1）當(dāng)四邊形A，CDF為正方形時(shí)，EF=
（2）當(dāng)EF= 時(shí)，四邊形A，CDF為正方形
（3）當(dāng)EF= 時(shí)，四邊形BA，CD為等腰梯形；
（4）當(dāng)四邊形BA，CD為等腰梯形時(shí)，EF= 。
其中正確的是 （把所有正確結(jié)論序號(hào)都填在橫線上）。
33、（2013•巴中）△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示．
（1）作△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱的△A1B1C1．
（2）將△A1B1C1向右平移4個(gè)單位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x軸上求作一點(diǎn)P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫解答過(guò)程，直接寫出結(jié)果）
考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；作圖-平移變換．
分析：（1）延長(zhǎng)AC到A1，使得AC=A1C1，延長(zhǎng)BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出圖象；
（2）根據(jù)△A1B1C1將各頂點(diǎn)向右平移4個(gè)單位，得出△A2B2C2；
（3）作出A1的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C2，交x軸于點(diǎn)P，再利用相似三角形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答：解；（1）如圖所示：
（2）如圖所示：
（3）如圖所示：作出A1的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C2，交x軸于點(diǎn)P，
可得P點(diǎn)坐標(biāo)為：（，0）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用軸對(duì)稱求求最小值問(wèn)題是考試重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．
34、（2013•張家界）如圖，在方格紙上，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形，請(qǐng)按要求完成下列操作：先將格點(diǎn)△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，再將△A1B1C1沿直線B1C1作軸反射得到△A2B2C2．
考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-軸對(duì)稱變換．
分析：△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，△A1B1C1沿直線B1C1作軸反射得出△A2B2C2即可．
解答：解：如圖所示：
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換以及軸對(duì)稱圖形，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．
35、（2013•淮安）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的兩格中，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．
（1）將△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到得到△A1B1C1；
（2）將△ABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，請(qǐng)畫出△A2B2C2．
考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．
分析：（1）將點(diǎn)A、B、C分別向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可得出△A1B1C1；
（2）將點(diǎn)A、B、C分別繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可得出△A2B2C2．
解答：解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；
（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
36、（2013•眉山）如圖，在11×11的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1；（要求A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng)）
（2）作出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C；
（3）在（2）的條件下直接寫出點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B2所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)．（結(jié)果保留π）
考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；弧長(zhǎng)的計(jì)算；作圖-軸對(duì)稱變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的A2、B2的位置，然后順次連接即可；
（3）利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；
（2）△A2B2C如圖所示；
（3）根據(jù)勾股定理，BC= = ，
所以，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B2所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)= = π．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
37、（2013•昆明）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的位置如圖所示，解答下列問(wèn)題：
（1）將四邊形ABCD先向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位，得到四邊形A1B1C1D1，畫出平移后的四邊形A1B1C1D1；
（2）將四邊形A1B1C1D1繞點(diǎn)A1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到四邊形A1B2C2D2，畫出旋轉(zhuǎn)后的四邊形A1B2C2D2，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C、D平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1、D1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出B1、C1、D1繞點(diǎn)A1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B2、C2、D2的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)．
解答：解：（1）四邊形A1B1C1D1如圖所示；
（2）四邊形A1B2C2D2如圖所示，
C2（1，?2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
38、（13年安徽省8分、17）如圖，已知A（—3，—3），B（—2，—1），C（—1，—2）是直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn)。
（1）請(qǐng)畫出ΔABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的ΔA1B1C1，
（2）請(qǐng)寫出點(diǎn)B關(guān)天y軸對(duì)稱的點(diǎn)B2的坐標(biāo)，若將點(diǎn)B2向上平移h個(gè)單位，使其落在ΔA1B1C1內(nèi)部，指出h的取值范圍。
39、（2013•欽州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)．
（2）畫出△A1B1C1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-軸對(duì)稱變換．3718684
分析：（1）分別找出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接，然后根據(jù)圖形寫出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將△A1B1C1中的各點(diǎn)A1、B1、C1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后，得到相應(yīng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2，連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)即得△A2B2C2．
解答：解：（1）如圖所示：點(diǎn)A1的坐標(biāo)（2，?4）；
（2）如圖所示，點(diǎn)A2的坐標(biāo)（?2，4）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的軸對(duì)稱變換及旋轉(zhuǎn)變換．解答此類題目的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，然后根據(jù)題意找到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可．
40、（2013•郴州）在圖示的方格紙中
（1）作出△ABC關(guān)于N對(duì)稱的圖形△A1B1C1；
（2）說(shuō)明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的？
考點(diǎn)：作圖-軸對(duì)稱變換；作圖-平移變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合圖形解答．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；
（2）向右平移6個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位（或向下平移2個(gè)單位，再向右平移6個(gè)單位）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置以及變化情況是解題的關(guān)鍵．
41、（2013•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：
以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′），并回答下列問(wèn)題：
∠ABC= 30° ，∠A′BC= 90° ，OA+OB+OC= ．
考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換．
專題：作圖題．
分析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線，在截取A′B=AB，再以點(diǎn)A′為圓心，以AO為半徑畫弧，以點(diǎn)B為圓心，以BO為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)O′，連接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根據(jù)旋轉(zhuǎn)角與∠ABC的度數(shù)，相加即可得到∠A′BC；
根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，BC= ，
∴tan∠ABC= = = ，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，
∴△A′O′B如圖所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等邊三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，
在Rt△A′BC中，A′C= = = ，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ．
故答案為：30°；90°； ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，最后一問(wèn)求出C、O、A′、O′四點(diǎn)共線是解題的關(guān)鍵．
42、（2013福省福州19）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?2，0），等邊三角形AOC經(jīng)過(guò)平移或軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是 個(gè)單位長(zhǎng)度；△AOC與△BOD關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是 ；△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DOB，則旋轉(zhuǎn)角度可以是 度；
（2）連結(jié)AD，交OC于點(diǎn)E，求∠AEO的度數(shù)．
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．
專題：．
分析：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?2，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到△AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位得到△OBD，則△AOC與△BOD關(guān)于y軸對(duì)稱；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠AOC=∠BOD=60°，則∠AOD=120°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以O(shè)E為等腰△AOD的頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE垂直平分AD，則∠AEO=90°．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?2，0），
∴△AOC沿x軸向右平移2個(gè)單位得到△OBD；
∴△AOC與△BOD關(guān)于y軸對(duì)稱；
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB．
（2）如圖，∵等邊△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE為等腰△AOD的頂角的平分線，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
故答案為2；y軸；120．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)．
43、（2013•畢節(jié)地區(qū)）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF，連接AE、AF、EF．
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）：△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A 點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90 度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面積．
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，則∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到；
（3）先利用勾股定理可計(jì)算出AE=10，在根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是DCB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EBF=90°，
∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到；
故答案為A、90；
（3）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE= =10，
∵△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面積=AE2=×100=50（平方單位）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．
44、（2013•遵義）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線N折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線N交BC于點(diǎn)，交AD于點(diǎn)N．
（1）求證：C=CN；
（2）若△CN的面積與△CDN的面積比為3：1，求 的值．
考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）．
分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠AN=∠CN，由四邊形ABCD是矩形，可得∠AN=∠CN，則可證得∠CN=∠CN，繼而可得C=CN；
（2）首先過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，由△CN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得C=3ND=3HC，然后設(shè)DN=x，由勾股定理，可求得N的長(zhǎng)，繼而求得答案．
解答：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：∠AN=∠CN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AN=∠CN，
∴∠CN=∠CN，
∴C=CN；
（2）解：過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，
則四邊形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴ = = =3，
∴C=3ND=3HC，
∴H=2HC，
設(shè)DN=x，則HC=x，H=2x，
∴C=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC= =2 x，
∴HN=2 x，
在Rt△NH中，N= =2 x，
∴ = =2 ．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
45、（2013•徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）
（1）若△CEF與△ABC相似．
①當(dāng)AC=BC=2時(shí)，AD的長(zhǎng)為 ��；
②當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，AD的長(zhǎng)為 1.8或2.5��；
（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△ABC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）．
分析：（1）若△CEF與△ABC相似．
①當(dāng)AC=BC=2時(shí)，△ABC為等腰直角三角形；
②當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，分兩種情況：
（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示，此時(shí)EF∥AB，CD為AB邊上的高；
（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．由相似三角形角之間的關(guān)系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，從而可以證明兩個(gè)三角形相似．
解答：解：（1）若△CEF與△ABC相似．
①當(dāng)AC=BC=2時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示．
此時(shí)D為AB邊中點(diǎn)，AD= AC= ．
②當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，有兩種情況：
（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示．
∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．
由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時(shí)CD為AB邊上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=．
AD=AC•cosA=3×=1.8；
（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．
∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．
由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此時(shí)AD=AB=×5=2.5．
綜上所述，當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，AD的長(zhǎng)為1.8或2.5．
（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△ABC相似．理由如下：
如答圖3所示，連接CD，與EF交于點(diǎn)Q．
∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．
由折疊性質(zhì)可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，
又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．
點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問(wèn)題和相似三角形的判定與性質(zhì)．第（1）②問(wèn)需要分兩種情況分別計(jì)算，此處容易漏解，需要引起注意．
46、(2013河南省)如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片 和 重合放置，其中 .
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖2，固定 ，使 繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)。當(dāng)點(diǎn) 恰好落在 邊上時(shí)，：
①線段 與 的位置關(guān)系是 ；
②設(shè) 的面積為 ， 的面積為 。則 與 的數(shù)量關(guān)系是 。
【解析】①由旋轉(zhuǎn)可知：AC=DC，
∵ ，∴
∴△ADC是等邊三角形，∴ ,又∵
∴ ∥
②過(guò)D作DN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過(guò)E作E⊥AC交AC延長(zhǎng)線于，過(guò)C作CF⊥AB交AB于點(diǎn)F。
由①可知：△ADC是等邊三角形, ∥ ，∴DN=CF,DN=E
∴CF=E
∵ ，∴ ,又∵
∴
∵ ∴ =
（2）猜想論證
當(dāng) 繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中 與 的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了 和 中 邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想。
【證明】∵
又∵
又∵
∴△ANC≌△DC
∴AN=D
又∵CE=CB,∴
（3）拓展探究
已知 ，點(diǎn) 是其角平分線上一點(diǎn)， ， 交 于點(diǎn) （如圖4），若在射線 上存在點(diǎn) ，使 ,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的 的長(zhǎng)
【解析】如圖所示，作 ∥ 交 于點(diǎn) ,作 交 于點(diǎn) 。
按照（1）（2）求解的方法可以計(jì)算出
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