(2013•江西)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質(zhì)時(shí),經(jīng)歷了如下過(guò)程:
●操作發(fā)現(xiàn):
在等腰△ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖1所示,其中DF⊥AB于點(diǎn)F,EG⊥AC于點(diǎn)G,是BC的中點(diǎn),連接D和E,則下列結(jié)論正確的是 (填序號(hào)即可)
①AF=AG= AB;②D=E;③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形;④∠DAB=∠DB.
●數(shù)學(xué)思考:
在任意△ABC中,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖2所示,是BC的中點(diǎn),連接D和E,則D和E具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過(guò)程;
●類比探索:
在任意△ABC中,仍分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形,如圖3所示,是BC的中點(diǎn),連接D和E,試判斷△ED的形狀.
答: .
【答案】 解:
●操作發(fā)現(xiàn):①②③④
●數(shù)學(xué)思考:
答:D=E,D⊥E,
1、D=E;
如圖2,分別取AB,AC的中點(diǎn)F,G,連接DF,F(xiàn),G,EG,
∵是BC的中點(diǎn),
∴F∥AC,F(xiàn)= AC.
又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線,
∴EG⊥AC且EG= AC,
∴F=EG.
同理可證DF=G.
∵F∥AC,
∴∠FA+∠BAC=180°.
同理可得∠GA+∠BAC=180°,
∴∠FA=∠GA.
又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°.
同理可得∠DFA=90°,
∴∠FA+∠DFA=∠GA=∠EGA,
即∠DF=∠EG,又F=EG,DF=G,
∴△DF≌△GE(SAS),
∴D=E.
2、D⊥E;
證法一:∵G∥AB,
∴∠FA+∠FG=180°,
又∵△DF≌△GE,∴∠EG=∠DF.
∴∠FA+∠FD+∠DE+∠DF=180°,
其中∠FA+∠FD+∠DF=90°,
∴∠DE=90°.
即D⊥E;
證法二:如圖2,D與AB交于點(diǎn)H,
∵AB∥G,
∴∠DHA=∠DG,
又∵∠DHA=∠FD+∠DFH,
即∠DHA=∠FD+90°,
∵∠DG=∠DE+∠GE,
∴∠DE=90°
即D⊥E;
●類比探究
答:等腰直角三解形
【考點(diǎn)解剖】 本題考查了軸對(duì)稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉(zhuǎn)化等知識(shí),能力要求很高.
【解題思路】 (1) 由圖形的對(duì)稱性易知①、②、③都正確,④∠DAB=∠DB=45°也正確;(2)直覺(jué)告訴我們D和E是垂直且相等的關(guān)系,一般由全等證線段相等,受圖1△DF≌△GE的啟發(fā),應(yīng)想到取中點(diǎn)構(gòu)造全等來(lái)證D=E,證D⊥E就是要證∠DE=90°,由△DF≌△GE得∠EG=∠DF, △DF中四個(gè)角相加為180°,∠FG可看成三個(gè)角的和,通過(guò)變形計(jì)算可得∠DE=90°. (3)只要結(jié)論,不要過(guò)程,在(2)的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形.
【解答過(guò)程】 略.
【方法規(guī)律】 由特殊到一般,形變但本質(zhì)不變(仍然全等)
【關(guān)鍵詞】 課題學(xué)習(xí) 全等 開(kāi)放探究
(2013,河北)如圖8-1,是鐵絲AD的中點(diǎn),將該鐵絲首尾相接折成
△ABC,且∠B = 30°,∠C = 100°,如圖8-2.
則下列說(shuō)法正確的是
A.點(diǎn)在AB上
B.點(diǎn)在BC的中點(diǎn)處
C.點(diǎn)在BC上,且距點(diǎn)B較近,距點(diǎn)C較遠(yuǎn)
D.點(diǎn)在BC上,且距點(diǎn)C較近,距點(diǎn)B較遠(yuǎn)
(2013•上海)如圖3,在△ 和△ 中,點(diǎn)B、F、C、E在同一直線上,BF = CE,AC∥DF,請(qǐng)?zhí)砑右粋(gè)條件,使△ ≌△ ,這個(gè)添加的條件可以是____________.(只需寫(xiě)一個(gè),不添加輔助線)
(2013•上海)當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí),我們稱此三角形為“特征三角形”,其中α稱為“特征角”.如果一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100°,那么這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)_________.
(2013•上海)如圖5,在△ 中, , , tan C = 32 ,如果將△
沿直線l翻折后,點(diǎn) 落在邊 的中點(diǎn)處,直線l與邊 交于點(diǎn) ,
那么 的長(zhǎng)為_(kāi)_________.
(2013•上海)如圖8,在△ 中, , ,點(diǎn) 為邊 的中點(diǎn), 交 于點(diǎn) , 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) .
(1)求證: ;
(2)聯(lián)結(jié) ,過(guò)點(diǎn) 作 的垂線交 的
延長(zhǎng)線于點(diǎn) ,求證: .
(2013•畢節(jié)地區(qū))已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4,另一邊長(zhǎng)為8,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為( 。
A.16B.20或16C.20D.12
考點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
分析:因?yàn)橐阎L(zhǎng)度為4和8兩邊,沒(méi)由明確是底邊還是腰,所以有兩種情況,需要分類討論.
解答:解:①當(dāng)4為底時(shí),其它兩邊都為8,
4、8、8可以構(gòu)成三角形,
周長(zhǎng)為20;
②當(dāng)4為腰時(shí),
其它兩邊為4和8,
∵4+4=8,
∴不能構(gòu)成三角形,故舍去,
∴答案只有20.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系;已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進(jìn)行討論,還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答,這點(diǎn)非常重要,也是解題的關(guān)鍵.
(2013•畢節(jié)地區(qū))如圖,已知AB∥CD,∠EBA=45°,∠E+∠D的度數(shù)為( 。
A.30°B.60°C.90°D.45°
考點(diǎn):平行線的性質(zhì);三角形的外角性質(zhì).
分析:根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CFE=45°,再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠E+∠D=∠CFE.
解答:解:∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠CFE,
∵∠EBA=45°,
∴∠CFE=45°,
∴∠E+∠D=∠CFE=45°,
故選:D.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了平行線的性質(zhì),以及三角形內(nèi)角與外角 的關(guān)系,關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
(2013•昆明)如圖,在 ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn), A=50?, ADE=60?,則 C的度數(shù)為( )
A.50? B.60?
C.70? D.80?
(2013•昆明)在平面直角坐標(biāo)系 中,已知點(diǎn)A(2,3),在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P,使得 AOP是等腰三角形,則這樣的點(diǎn)P共有 個(gè)。
(2013•昆明)已知:如圖,AD、BC相交于點(diǎn)O,OA=OD,AB∥CD.求證:AB=CD.
(2013•邵陽(yáng))如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),連結(jié)DE,若DE=5,則BC= 10。
考點(diǎn):三角形中位線定理.
分析:由在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),可得DE是△ABC的中位線,然后由三角形中位線的性質(zhì),即可求得答案.
解答:解:∵在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),
∴DE= BC,
∵DE=5,
∴BC=10.
故答案為:10.
點(diǎn)評(píng):此題考查了三角形中位線的性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
(2013•邵陽(yáng))將一幅三角板拼成如圖所示的圖形,過(guò)點(diǎn)C作CF平分∠DCE交DE于點(diǎn)F.
(1)求證:CF∥AB.
(2)求∠DFC的度數(shù).
考點(diǎn):平行線的判定;角平分線的定義;三角形內(nèi)角和定理.
分析:(1)首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1=45°,再有∠3=45°,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可判定出AB∥CF;
(2)利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可.
解答:(1)證明:∵CF平分∠DCE,
∴∠1=∠2= ∠DCE,
∵∠DCE=90°,
∴∠1=45°,
∵∠3=45°,
∴∠1=∠3,
∴AB∥CF;
(2)∵∠D=30°,∠1=45°,
∴∠DFC=180°?30°?45°=105°.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了平行線的判定,以及三角形內(nèi)角和定理,關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.
(2013•柳州)如圖,△ABC≌△DEF,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,寫(xiě)出x= 20。
考點(diǎn):全等三角形的性質(zhì).
分析:先利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=70°,然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答.
解答:解:如圖,∠A=180°?50°?60°=70°,
∵△ABC≌△DEF,
∴EF=BC=20,
即x=20.
故答案為:20.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的性質(zhì),根據(jù)角度確定出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵.
(2013•銅仁)已知△ABC的各邊長(zhǎng)度分別為3c,4c,5c,則連結(jié)各邊中點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為( )
A.2cB.7cC.5cD.6c
(2013•銅仁)如圖,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一條直線上.
求證:BD=CE.
證明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE AB=AC………………………………4分
又∵∠EAC=90°+∠CAD, ∠DAB=90°+∠CAD
∴∠DAB=∠EAC…………………………6分
在△ADB和△AEC中
∵AD=AE
∠DAB=∠EAC
AB=AC
∴△ADB≌△AEC(SAS) …………………………8分
∴BD=CE……………………………
(2013•紅河)如圖,D是△ABC的邊AB上一點(diǎn),E是AC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作 ,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:AD = CF.
證明:∵E是AC的中點(diǎn),
∴AE = CE. ………………………1分
∵CF∥AB,
∴∠A =∠ECF, ∠ADE =∠F. ………………………………3分
在△ 與△ 中,
∴△ ≌△ (AAS). ……………………………4分
∴ .
本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/244144.html
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