廣西欽州市2013年中考數(shù)學(xué)試卷
一、(共12小題,每小題3分,共36分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題意的。用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑)
1.(3分)(2013•欽州)7的倒數(shù)是( 。
A.?7B.7C.? D.
考點(diǎn):倒數(shù).
專題:.
分析:直接根據(jù)倒數(shù)的定義求解.
解答:解:7的倒數(shù)為 .
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查了倒數(shù)的定義:a(a≠0)的倒數(shù)為 .
2.(3分)(2013•欽州)隨著交通網(wǎng)絡(luò)的不斷完善.旅游業(yè)持續(xù)升溫,據(jù)統(tǒng)計(jì),在今年“五一”期間,某風(fēng)景區(qū)接待游客403000人,這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為( 。
A.403×103B.40.3×104C.4.03×105D.0.403×106
考點(diǎn):科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
分析:科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤a<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).
解答:解:將403000用科學(xué)記數(shù)法表示為4.03×105.
故選C.
點(diǎn)評(píng):此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤a<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.
3.(3分)(2013•欽州)下列四個(gè)圖形中,是三棱柱的平面展開圖的是( 。
A. B. C. D.
考點(diǎn):幾何體的展開圖.
分析:根據(jù)三棱柱的展開圖的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可.
解答:A、是三棱錐的展開圖,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是三棱柱的平面展開圖,故選項(xiàng)正確;
C、兩底有4個(gè)三角形,不是三棱錐的展開圖,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、是四棱錐的展開圖,故選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選B.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了幾何體展開圖,熟練掌握常見立體圖形的平面展開圖的特征,是解決此類問題的關(guān)鍵.
4.(3分)(2013•欽州)在下列實(shí)數(shù)中,無理數(shù)是( 。
A.0B. C. D.6
考點(diǎn):無理數(shù).
分析:無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念,一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念,有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).
解答:解:A、B、D中0、 、6都是有理數(shù),
C、 是無理數(shù).
故選C.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了無理數(shù)的定義,其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有:π,2π等;開方開不盡的數(shù);以及像0.1010010001…,等有這樣規(guī)律的數(shù).
5.(3分)(2013•欽州)已知⊙O1與⊙O2的半徑分別為2c和3c,若O1 O2=5c.則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是( 。
A.外離B.相交 C.內(nèi)切D.外切
考點(diǎn): 圓與圓的位置關(guān)系.
分析:由⊙O1、⊙O2的半徑分別是2c和3c,若O1O2=5c,根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d,兩圓半徑R, r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出⊙O1和⊙O2的位置關(guān)系.
解答:解:∵⊙O1、⊙O2的半徑分別是2c和3c,若O1O2=5c,
又∵2+3=5,
∴⊙O1和⊙O2的位置關(guān)系是外切.
故選D.
點(diǎn)評(píng):此題考查了圓與圓的位置關(guān)系.解題的關(guān)鍵是掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d,兩圓半徑R,r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.
圓和圓的位置與兩圓的圓心距、半徑的數(shù)量之間的關(guān)系:①兩圓外離⇔d>R+r;②兩圓外切⇔d=R+r;③兩圓相交⇔R?r<d<R+r(R≥r);④兩圓內(nèi)切⇔d=R?r(R>r);⑤兩圓內(nèi)含⇔d<R?r(R>r).
6.(3分)(2013•欽州)下列運(yùn)算正確的是( 。
A.5?1= B.x2•x3=x6C.(a+b)2=a2+b2D. =
考點(diǎn):二次根式的加減法;同底數(shù)冪的;完全平方公式;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
分析:根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、同底數(shù)冪的、同類二次根式的合并及完全平方公式,分別進(jìn)行各選項(xiàng)的判斷即可得出答案.
解答:解:A、5?1= ,原式計(jì)算正確,故本選項(xiàng)正確;
B、x2•x3=x5,原式計(jì)算錯(cuò)誤,故本選項(xiàng) 錯(cuò)誤;
C、(a+b)2=a2+2ab+b2,原式計(jì)算錯(cuò)誤,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、 與 不是同類二次根式,不能直接合并,原式計(jì)算錯(cuò)誤,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次根式的加減運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘法及完全平方公式,掌握各部分的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.
7.(3分)(2013•欽州)關(guān)于x的一元二次方程3x2?6x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是( 。
A.<3B.≤3C.>3D.≥3
考點(diǎn):根的判別式.
專題:.
分析:根據(jù)判別式的意義得到△=(?6)2?4×3×>0,然后解不等式即可.
解答:解:根據(jù)題意得△=(?6)2?4×3×>0,
解得<3.
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2?4ac:當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程 沒有實(shí)數(shù)根.
8.(3分)(2013•欽州)下列說法錯(cuò)誤的是( 。
A.打開電視機(jī),正在播放廣告這一事件是隨機(jī)事件
B.要了解小趙一家三口的身體健康狀況,適合采用抽樣調(diào)查
C.方差越大,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大
D.樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量
考點(diǎn):隨機(jī)事件;全面調(diào)查與抽樣調(diào)查;總體、個(gè)體、樣本、樣本容量;方差.
分析: 根據(jù)隨機(jī)事件的概念以及抽樣調(diào)查和方差的意義和樣本容量的定義分別分析得出即可.
解答:解:A、打開電視機(jī),正在播放廣告這一事件是隨機(jī)事件,根據(jù)隨機(jī)事件的定義得出,此選項(xiàng)正確,不符合題意;
B、要了解小趙一家 三口的身體健康狀況,適合采用全面調(diào)查,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意;
C、根據(jù)方差的定義得出,方差越大,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,此選項(xiàng)正確,不符合題意;
D、樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量,此選項(xiàng)正確,不符合題意.
故選:B.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了隨機(jī)事件以及樣本容量和方差的定義等知識(shí),熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵.
9.(3分)(2013•欽州)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包某一城市美化工程,已知甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要30天,若由甲隊(duì)先做10天,剩下的工程由甲、乙兩隊(duì)合作8天完成.問乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需 要多少天?若設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天.則可列方程為( 。
A. + =1B.10+8+x=30C. +8( + )=1D.(1? )+x=8
考點(diǎn):由實(shí)際問題抽象出分式方程.
分析:設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天,由題意可得等量關(guān)系:甲10天的工作量+甲與乙8天的工作量=1,再根據(jù)等量關(guān)系可得方程10× +( + )×8=1即可.
解答:解:設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天,由題意得:
10× +( + )×8=1.
故選:C.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程,關(guān)鍵是弄清題意,找出題目中的等量關(guān)系,再列出方程,此題用到的公式是:工作效率×工作時(shí)間=工作量.
10.(3分)(2013•欽州)等腰三角形的一個(gè)角是80°,則它頂角的度數(shù)是( 。
A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°
考點(diǎn):等腰三角形的性質(zhì).
專題:分類討論.
分析:分80°角是頂角與底角兩種情況討論求解.
解答:解:①80°角是頂角時(shí),三角形的頂角為80°,
②80°角是底角時(shí),頂角為180° ?80°×2=20°,
綜上所述,該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°.
故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì),難點(diǎn)在于要分情況討論求解.
11.(3分)(2013•欽州)如圖,圖1、圖2、圖3分別表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路線圖(箭頭表示行進(jìn)的方向).其中E為AB的中點(diǎn),AH>HB,判斷三人行進(jìn)路線長度的大小關(guān)系為( 。
A.甲<乙<丙B.乙<丙<甲C.丙<乙<甲D.甲=乙=丙
考點(diǎn):平行四邊形的判定與性質(zhì).
專題:.
分析:延長ED和BF交于C,如圖2,延長AG和BK交于C,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定求出即可.
解答:解:圖1中,甲走的路線長是AC+BC的長度;
延長ED和BF交于C,如圖2,
∵∠DEA=∠B=60°,
∴DE∥CF,
同理EF∥CD,
∴四邊形CDEF是平行四邊形,
∴EF=CD,DE=CF,
即乙走的路線長是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的長;
延長AG和BK交于C,如圖3,
與以上證明過程類似GH=CK,CG=HK,
即丙走的路線長是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的長;
即甲=乙=丙,
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行線的判定,平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,注意:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,平行四邊形的對邊相等.
12.(3分)(2013•欽州)定義:直線l1與l2相交于點(diǎn)O,對于平面內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn)到直線l1、l2的距離分別為p、q,則稱有序?qū)崝?shù)對(p,q)是點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”,根據(jù)上述定義,“距離坐標(biāo)”是(1,2)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( 。
A.2B. 3C.4D.5
考點(diǎn):點(diǎn)到直線的距離;坐標(biāo)確定位置;平行線之間的距離.
專題:新定義.
分析:“距離坐標(biāo)”是(1,2)的點(diǎn)表示的含義是該點(diǎn)到直線l1、l2的距離分別為1、2.由于到直線l1的距離是1的點(diǎn)在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上,到直線l2的距離是2的點(diǎn)在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2 上,它們有4個(gè)交點(diǎn),即為所求.
解答: 解:如圖,
∵到直線l1的距離是1的點(diǎn)在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上,
到直線l2的距離是2的點(diǎn)在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上,
∴“距離坐標(biāo)”是(1,2)的點(diǎn)是1、2、3、4,一共4個(gè).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了點(diǎn)到直線的距離,兩平行線之間的距離的定義,理解新定義,掌握到一條直線的距離等于定長k的點(diǎn)在與已知直線相距k的兩條平行線上是解題的關(guān)鍵.
二、題(共6小題,每小題3分,共18分,請將答案填在答題卡上)
13.(3分)(2013•欽州)比較大。?1。肌2(填“>”或“<”)
考點(diǎn):有理數(shù)大小比較.
分析:根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較即可.
解答:解:∵負(fù)數(shù)都小于正數(shù),
∴?1<2,
故答案為:<.
點(diǎn)評(píng):本題考查了對有理數(shù)的大小比較法則的應(yīng)用,注意:負(fù)數(shù)都小于正數(shù).
14.(3分)(2013•欽州)當(dāng)x= 2 時(shí),分式 無意義.
考點(diǎn):分式有意義的條件.
分析:根據(jù)分式無意義的條件可得x?2=0,再解方程即可.
解答:解:由題意得:x?2=0,
解得:x=2,
故答案為:2.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了分式無意義的條件,關(guān)鍵是掌握分式無意義的條件是分母等于零.
15.(3分)(2013•欽州)請寫出一個(gè)圖形經(jīng)過一、三象限的正比例函數(shù)的解析式 y=x(答案不唯一).。
考點(diǎn):正比例函數(shù)的性質(zhì).
分析:先設(shè)出此正比例函數(shù)的解析式,再根據(jù)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限確定出k的符號(hào),再寫出符合條件的正比例函數(shù)即可.
解答:解:設(shè)此正比例函數(shù)的解析式為y=kx(k≠0),
∵此正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限,
∴k>0,
∴符合條件的正比例函數(shù)解析式可以為:y=x(答案不唯一).
故答案為:y=x(答案不唯一).
點(diǎn)評(píng):本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì),即正比例函數(shù)y=kx(k≠0)中,當(dāng)k>0時(shí)函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限.
16.(3分)(2013•欽州)如圖,DE是△ABC的中位線,則△ADE與△ABC的面積的比是 1:4。
考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理.
分析:由中位線可知DE∥BC,且DE= BC;可得△ADE∽△ABC,相似比為1:2;根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方,即得結(jié)果.
解答:解:∵DE是△ABC的中位線,
∴DE∥BC,且DE= BC,
∴△ADE∽△ABC,相似比為1:2,
∵相似三角形的面積比是相似比的平方,
∴△ADE與△ABC的面積的比為1:4(或 ).
點(diǎn)評(píng):本題要熟悉中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì),牢記相似三角形的面積比是相似比的平方.
17.(3分)(2013•欽州)不等式組 的解集是 3<x≤5。
考點(diǎn):解一元一次不等式組.
分析:首先分別計(jì)算出兩個(gè)不等式的解集,再根據(jù)“大小小大中間找”找出公共解集即可.
解答:解: ,
解①得:x≤5,
解②得:x>3,
故不等式組的解集為:3<x≤5,
故答案為:3<x≤5.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了一元一次不等式組的解法,關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律:同大取大;同小取;大小小大中間找;大大小小找不到.
18.(3分)(2013•欽州)如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),BE=2,AE=3BE,P是AC上一動(dòng)點(diǎn),則PB+PE的最小值是 10。
考點(diǎn):軸對稱-最短路線問題;正方形的性質(zhì).
分析:由正方形性質(zhì)的得出B、D關(guān)于AC對稱,根據(jù)兩點(diǎn)之間 線段最短可知,連接DE,交AC于P,連接BP,則此時(shí)PB+PE的值最小,進(jìn)而利用勾股定理求出即可.
解答:解:如圖,連接DE,交AC于P,連接BP,則此時(shí)PB+PE的值最。
∵四邊形ABCD是正方形,
∴B、D關(guān)于AC對稱,
∴PB=PD,
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2,AE=3BE,
∴AE=6,AB=8,
∴DE= =10,
故PB+PE的最小值是10.
故答案為:10.
點(diǎn)評(píng):本題考查了軸對稱?最短路線問題,正方形的性質(zhì),解此題通常是利用兩點(diǎn)之間,線段最短的性質(zhì)得出.
三、解答題(本大題共8分,滿分66分,請將答案寫在答題卡上,解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟)
19.(6分)(2013•欽州)計(jì)算:?5+(?1)2013+2sin30°? .
考點(diǎn):實(shí)數(shù)的運(yùn)算;特殊角的三角函數(shù)值.
專題:計(jì)算題.
分析:本題涉及絕對值、乘方、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡等考點(diǎn).針對每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算,然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果.
解答:解:原式=5?1+2× ?5
=?1+1
=0.
點(diǎn)評(píng):本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力,是各地中考題中常見的計(jì)算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握絕對值、乘方、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡等考點(diǎn)的運(yùn)算.
20.(6分)(2013•欽州)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,∠DEC=∠C,求證:梯形ABCD是等腰梯形
考點(diǎn):等腰梯形的判定.
專題:證明題.
分析:由AB∥DE,∠DEC=∠C,易證得∠B=∠C,又由同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形,即可證得結(jié)論.
解答:證明:∵AB∥DE,
∴∠DEC=∠B,
∵∠DEC=∠C,
∴∠B=∠C,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
點(diǎn)評(píng):此題考查了等腰梯形的判定.此題比較簡單,注意掌握同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形定理的應(yīng)用,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
21.(6分)(2013•欽州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),請解答下列問題:
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo).
(2)畫出△A1B1C1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到的△A2B2C2,并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo).
考點(diǎn):作圖-旋轉(zhuǎn)變換;作圖-軸對稱變換.
分析:(1)分別找出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),再順次連接,然后根據(jù)圖形寫出A點(diǎn)坐標(biāo);
(2)將△A1B1C1中的各點(diǎn)A1、B1、C1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后,得到相應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2,連接各對應(yīng)點(diǎn)即得△A2B2C2.
解答:解:(1)如圖所示:點(diǎn)A1的坐標(biāo)(2,?4);
(2)如圖所示,點(diǎn)A2的坐標(biāo)(?2,4).
點(diǎn)評(píng):本題考查圖形的軸對稱變換及旋轉(zhuǎn)變換.解答此類題目的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn),然后根據(jù)題意找到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn),然后順次連接即可.
22.(12分)(2013•欽州)(1)我市開展了“尋找雷鋒足跡”的活動(dòng),某中學(xué)為了了解七年級(jí)800名學(xué)生在“學(xué)雷鋒活動(dòng)月”中做好事的情況,隨機(jī)調(diào)查了七年級(jí)50名學(xué)生在一個(gè)月內(nèi)做好事的次數(shù),并將所得數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
①所調(diào)查的七年級(jí)50名學(xué)生在這個(gè)月內(nèi)做好事次數(shù)的平均數(shù)是 4.4 ,眾數(shù)是 5 ,極差是 6。
②根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)該校七年級(jí)800名學(xué)生在“學(xué)雷鋒活動(dòng)月”中做好事不少于4次的人數(shù).
(2)甲口袋有2個(gè)相同的小球,它們分別寫有數(shù)字1和2;乙口袋中裝有3個(gè)相同的小球,它們分別寫有數(shù)字3、4和5,從這兩個(gè)口袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)小球.
①用“樹狀圖法”或“列表法”表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
②取出的兩個(gè)小球上所寫數(shù)字之和是偶數(shù)的概率是多少?
考點(diǎn):列表法與樹狀圖法;用樣本估計(jì)總體;條形統(tǒng)計(jì)圖.
分析:(1)①根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、極差定義分別進(jìn)行計(jì)算即可;②根據(jù)樣本估計(jì)總體的方法,用800乘以調(diào)查的學(xué)生做好事不少于4次的人數(shù)所占百分比即可;
(2)①根據(jù)題意畫出樹狀圖可直觀的得到所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;②根據(jù)①所列樹狀圖,找出符合條件的情況,再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.
解答:解:(1)①平均數(shù);(2×5+3×6+4×13+5×16+6×10)÷50=4.4;
眾數(shù):5次;
極差:6?2=4;
②做好事不少于4次的人數(shù):800× =624;
(2)①如圖所示:
②一共出現(xiàn)6種情況,其中和為偶數(shù)的有3種情況,故概率為 = .
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、眾數(shù)、平均數(shù)、極差、樣本估計(jì)總體、以及畫樹狀圖和概率,關(guān)鍵是能從條形統(tǒng)計(jì)圖中得到正確信息,正確畫出樹狀圖.
23.(7分)(2013•欽州)如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A(?2,),B(4,?2)兩點(diǎn),與x軸交于C點(diǎn),過A作AD⊥x軸于D.
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式:
(2)求△ADC的面積.
考點(diǎn):反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
分析:(1)因?yàn)榉幢壤瘮?shù)過A、B兩點(diǎn),所以可求其解析式和的值,從而知A點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求一次函數(shù)解析式;
(2)先求出直線AB與與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo),再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.
解答:解:(1)∵反比例函數(shù)y= 的圖象過B(4,?2)點(diǎn),
∴k=4×(?2)=?8,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=? ;
∵反比例函數(shù)y= 的圖象過點(diǎn)A(?2,),
∴=? =4,即A(?2,4).
∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象過A(?2,4),B(4,?2)兩點(diǎn),
∴ ,
解得
∴一次函數(shù)的解析式為y=?x+2;
(2)∵直線AB:y=?x+2交x軸于點(diǎn)C,
∴C(2,0).
∵AD⊥x軸于D,A(?2,4),
∴CD=2?(?2)=4,AD=4,
∴S△ADC= •CD•AD= ×4×4=8.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查對一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式,三角形的面積,解二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.
24.(7分)(2013•欽州)如圖,某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD,小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°.沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡AB的坡度i=1: ,AB=10米,AE=15米.(i=1: 是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比)
(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH;
(2)求廣告牌CD的高度.
(測角器的高度忽略不計(jì),結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù): 1.414, 1.732)
考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題;解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
分析:(1)過B作DE的垂線,設(shè)垂足為G.分別在Rt△ABH中,通過解直角三角形求出BH、AH;
(2)在△ADE解直角三角形求出DE的長,進(jìn)而可求出EH即BG的長,在Rt△CBG中,∠CBG=45°,則CG=BG,由此可求出CG的長然后根據(jù)CD=CG+GE?DE即可求出宣傳牌的高度.
解答:解:(1)過B作BG⊥DE于G,
Rt△ABF中,i=tan∠BAH= = ,
∴∠BAH=30°,
∴BH= AB=5;
(2)由(1)得:BH=5,AH=5 ,
∴BG=AH+AE=5 +15,
Rt△BGC中,∠CBG=45°,
∴CG=BG=5 +15.
Rt△ADE中,∠DAE=60°,AE=15,
∴DE= AE=15 .
∴CD=CG+GE?DE=5 +15+5?15 =20?10 ≈2.7.
答:宣傳牌CD高約2.7米.
點(diǎn)評(píng):此題綜合考查了仰角、坡度的定義,能夠正確地構(gòu)建出直角三角形,將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵.
25.(10分)(2013•欽州)如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC邊上一點(diǎn),以O(shè)為圓心的半圓與AB邊相切于點(diǎn)D,與AC、BC邊分別交于點(diǎn)E、F、G,連接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD= .
(1)求⊙O的半徑OD;
(2)求證:AE是⊙O的切線;
(3)求圖中兩部分陰影面積的和.
考點(diǎn):切線的判定與性質(zhì);扇形面積的計(jì)算.
專題:計(jì)算題.
分析:(1)由AB為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AB,在直角三角形BDO中,利用銳角三角函數(shù)定義,根據(jù)tan∠BOD及BD的值,求出OD的值即可;
(2)連接OE,由AE=OD=3,且OD與AE平行,利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行,再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直,即可得證;
(3)陰影部分的面積由三角形BOD的面積+三角形ECO的面積?扇形DOF的面積?扇形EOG的面積,求出即可.
解答:解:(1)∵AB與圓O相切,
∴OD⊥AB,
在Rt△BDO中,BD=2,tan∠BOD= = ,
∴OD=3;
(2)連接OE,
∵AE=OD=3,AE∥OD,
∴四邊形AEOD為平行四邊形,
∴AD∥EO,
∵DA⊥AE,
∴OE⊥AC,
又∵OE為圓的半徑,
∴AC為圓O的切線;
(3)∵OD∥AC,
∴ = ,即 = ,
∴AC=7.5,
∴EC=AC?AE=7.5?3=4.5,
∴S陰影=S△BDO+S△OEC?S扇形BOD?S扇形EOG= ×2×3+ ×3×4.5?
=3+ ?
= .
點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的判定與性質(zhì),扇形的面積,銳角三角函數(shù)定義,平行四邊形的判定與性質(zhì),以及平行線的性質(zhì),熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
26.(12分)(2013•欽州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y= x2+2x與x軸相交于O、B,頂點(diǎn)為A,連接OA.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠AOB的度數(shù);
(2)若將拋物線y= x2+2x向右平移4個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,得到拋物線,其頂點(diǎn)為點(diǎn)C.連接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′.試判斷其形狀,并說明理由;
(3)在(2)的情況下,判斷 點(diǎn)C′是否在拋物線y= x2+2x上,請說明理由;
(4)若點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)O、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,且OC為該四邊形的一條邊?若存在,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.
專題:探究型.
分析:(1)由y= x2+2x得,y= (x?2)2?2,故可得出拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo),令 x2+2x=0得出點(diǎn)B的坐標(biāo)過點(diǎn)A作AD⊥x軸,垂足為D,由∠ADO=90°可知點(diǎn)D的坐標(biāo),故可得出OD=AD,由此即可得出結(jié)論;
(2)由題意可知拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為 ,由此可得拋物線的解析式過點(diǎn)C作CE⊥x軸,垂足為E;過點(diǎn)A作AF⊥CE,垂足為F,與y軸交與點(diǎn)H,根據(jù)勾股定理可求出OC的長,同理可得AC的長,OC=AC,由翻折不變性的性質(zhì)可知,OC=AC=OC ′=AC′,由此即可得出結(jié)論;
(3)過點(diǎn)C′作C′G⊥x軸,垂足為G,由于OC和OC′關(guān)于OA對稱,∠AOB=∠AOH=45°,故可得出∠COH=∠C′OG,再根據(jù)CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG,根據(jù)全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO,故可得出點(diǎn)C′的坐標(biāo)把x=?4代入拋物線y= x2+2x進(jìn)行檢驗(yàn)即可得出結(jié)論;
(4)由于點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上, 故設(shè)Q(a, (a?2)2?4),由于OC為該四邊形的一條邊,故OP為對角線,由于點(diǎn)P在x軸上,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的定義即可得出a的值,故可得出結(jié)論.
解答:解:(1)∵由y= x2+2x得,y= (x?2)2?2,
∴拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2,?2),
令 x2+2x=0,解得x1=0,x2=?4,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?4,0),
過點(diǎn)A作AD⊥x軸,垂足為D,
∴∠ADO=90°,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2,?2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?2,0),
∴OD=AD=2,
∴∠AOB=45°;
(2)四邊形ACOC′為菱形.
由題意可知拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為 ,且過頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,?4),
∴拋物線的解析式為:y= (x?2)2?4,即y= x2?2x?2,
過點(diǎn)C作CE⊥x軸,垂足為E;過點(diǎn)A作AF⊥CE,垂足為F,與y軸交與點(diǎn)H,
∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE?EF=2,
∴OC= = =2 ,
同理,AC=2 ,OC=AC,
由反折不變性的性質(zhì)可知,OC=AC=OC′=AC′,
故四邊形ACOC′為菱形.
(3)如圖1,點(diǎn)C′不在拋物線y= x2+2x上.
理由如下:
過點(diǎn)C′作C′G⊥x軸,垂足為G,
∵OC和OC′關(guān)于OA對稱,∠AOB=∠AOH=45°,
∴∠COH=∠C′OG,
∵CE∥OH,
∴∠OCE=∠C′OG,
又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′,
∴△CEO≌△C′GO,
∴OG=4,C′G=2,
∴ 點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(?4,2),
把x=?4代入拋物線y= x2+2x得y=0,
∴點(diǎn)C′不在拋物線y= x2+2x上;
(4)存在符合條件的點(diǎn)Q.
∵點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上,
∴設(shè)Q(a, (a?2)2?4),
∵OC為該四邊形的一條邊,
∴OP為對角線,
∴ =0,解得x1=6,x2=4,
∴P(6,4)或(?2,4)(舍去),
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到拋物線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí),難度適中.
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