2018中考數(shù)學(xué)專題:例談“雙勾模型圖”的提煉及其應(yīng)用

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級(jí) 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
例談“雙勾模型圖”的提煉及其應(yīng)用
    數(shù)學(xué)教學(xué)中,適時(shí)地對(duì)課本的定理進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由?與提煉,形成模型,再利用模型去分析和解決問(wèn)題,能縮短思考時(shí)間,提高解題效率.下面舉例說(shuō) 明.
    1.題目
    筆者在教學(xué)勾股定理內(nèi)容 時(shí),為幫助學(xué)生形成新的模型圖,給出下面這道題:
    在  中, 于 ,求 證:  .
    這是一道無(wú)圖題,蘊(yùn)含分類圖,圖有兩種可能,如圖1、圖2.
 
    題中有垂直且有線段的平方之間的關(guān)系,自然想到勾股定理.將圖形看成兩個(gè)直角三角形,利用勾股定理及兩 個(gè)直角三角形的公共邊,便能得 證.
    即由 ,得
      ,
    所以 .
    這個(gè)模型圖在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛,我們把這兩個(gè)圖形形象地稱之為“雙勾模型圖”.
    2.雙勾模型圖的應(yīng)用
     例1  (2018 年益陽(yáng)中考題)如圖3,在 中, ,求 的面積.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流,給出了下面的解題思路,請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過(guò)程.
    1.作  于 ,設(shè) , 用含 的代數(shù)式表示 .
     2.根據(jù)勾股定理,利 用 作為“橋梁”,建立方程模型求出 .
    3.利用勾股定理,求出 的長(zhǎng),再計(jì)算三角形面積.
    解析  由雙勾模型圖3,得
     .
    設(shè) ,則 ,
即 ,
解得 .
 ,

         .
評(píng)析  本題求面積實(shí)際上是求一邊上的高.利用雙勾模型圖1求出 的 長(zhǎng),然后利用勾股定理即可求出高 的長(zhǎng).
 
     例2  如圖4,四邊 形 中, .求證:  .
    解析  由雙勾模型圖1得:
 ,
 .
    將兩式相減,得
      ,
    即 .
    評(píng)析本題把圖形看成兩個(gè)雙勾模型圖(1),利用雙勾模型圖的結(jié)淪很容易解決,這也體現(xiàn)了利用模型圖給解題帶來(lái)的簡(jiǎn)便.
    例3  如圖5,在 中,求證: .
 
    解析  作 于點(diǎn) , 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ,
     則  ,.
     由三 , 得
      .
    由雙勾模型圖1,得
     ,
    由雙勾 模型圖2,得
     .
    兩式相加,得
     ,
    整理得,
     ,
即 
 
 
    評(píng)析  題中出現(xiàn)了線段之間的平方關(guān)系,易聯(lián)想到勾股定理,為此作高構(gòu)造直角三角形,形成了雙勾模型圖,利用這個(gè)模型圖即可完成證明.
例4  如圖6,正方形 和正方形 , 、 相交于點(diǎn) .若 ,求正方形 和正方形 的面積之和.
 
    解析  連結(jié) .
    由正方形 和正方形 ,得
     ,
    ∴ ,
    可得 ,
    ∴ .
從而 
 ,
    即 .
     由雙勾模型圖1及例2,易推得
     ,
由 ,得 ,
∴ .
因此,正方形 和正方形  的面積之和為
 .
    評(píng)析  題中“正方形的母子圖”中有一個(gè)重要 的結(jié)論: 與 既相等,又垂直. 由垂直,聯(lián)想到雙 勾模型圖,便能順利解答.當(dāng)然,解本題時(shí),若有例2的模型圖在心中 ,就更易解答.
本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/1219161.html

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