第1章 全等三角形檢測(cè)題
(本檢測(cè)題滿分:100分,時(shí)間:90分鐘)
一、(每小題3分,共30分)
1.要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn) 的距離,先在 的垂線 上取兩點(diǎn) ,使 ,再作出 的垂線 ,使 在一條直線上(如圖所示),可以說明△ ≌△ ,得 ,因此測(cè)得 的長就是 的長,判定△ ≌△ 最恰當(dāng)?shù)睦碛墒牵ā 。?br />A.邊角邊 B.角邊角
C.邊邊邊 D.邊邊角
2.如圖所示,兩個(gè)全等的等邊三角形的邊長為1 ,一個(gè)微型機(jī)器人由A點(diǎn)開始按ABCDBEA的順序沿等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng),行走
2 012 停下,則這個(gè)微型機(jī)器人停在( 。
A.點(diǎn)A處 B.點(diǎn)B處
C.點(diǎn)C處 D.點(diǎn)E處
3.如圖,已知AB∥CD,AD∥BC,AC與BD交于點(diǎn)O,AE⊥BD于點(diǎn)E,CF⊥BD于點(diǎn)F,那么圖中全等的三角形有( )
A.5對(duì) B.6對(duì)
C.7對(duì) D.8對(duì)
4.下列命題中正確的是( 。
A.全等三角形的高相等
B.全等三角形的中線相等
C.全等三角形的角平分線相等
D.全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等
5.如圖所示,點(diǎn)B、C、E在同一條直線上,△ABC與△CDE都是等邊三角形,則下列結(jié)論不一定成立的是( )
A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC
C.△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA
6.如圖所示, 分別表示△ABC的三邊長,則下面與△ 一定全等的三角形是( 。
7.已知:如圖所示,B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上,AC=CD,∠B= ∠E=90°,AC⊥CD,則不正確的結(jié)論是( 。
A.∠A與∠D互為余角 B.∠A=∠2
C.△ABC≌△CED D.∠1=∠2
8.如圖所示,兩條筆直的公路 、 相交于點(diǎn)O, C村的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠 A、B、D,已知AB=BC=CD=DA=5 k,村莊C到公路 的距離為4 k,則C村到公路 的距離是( 。
A.3 k B.4 k
C.5 k D.6 k
9.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分線BD,CE相交于O點(diǎn),且BD交AC于點(diǎn)D,CE交AB于點(diǎn)E.某同學(xué)分析圖形后得出以下結(jié)論:①△BCD≌△CBE;②△BAD≌△BCD;③△BDA≌△CEA;④△BOE≌△COD;⑤△ACE≌△BCE,上述結(jié)論一定正確的是( 。
A.①②③ B.②③④
C.①③⑤ D.①③④
10.如圖所示,在△ABC中,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,則下列三個(gè)結(jié)論:①AS=AR;②QP∥AR;③△BPR≌△QPS中( 。
A.全部正確 B.僅①和②正確
C.僅①正確 D.僅①和③正確
二、題(每小題3分,共24分)
11.(2012•山東臨沂中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2 c,CD⊥AB,在AC上取一點(diǎn)E,使EC=BC,過點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長線于點(diǎn)F,若EF=5 c,則AE= c.
12.(2012•浙江義烏中考)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),作射線AD,在線段AD及其延長線上分別取點(diǎn)E,F(xiàn),連結(jié)CE,BF.添加一個(gè)條件,使得△BDF≌△CDE,你添加的條件是 (不添加輔助線).
13.如圖所示,已知△ABC和△BDE均為等邊三角形,連接AD、CE,若∠BAD=39°,那么∠BCE= 度.
14.如圖所示,已知等邊△ABC中,BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)P,則∠APE是 度.
15.如圖所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,則∠3= .
16.如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8 c,BD=5 c,那么D點(diǎn)到直線AB的距離是 c.
17.如圖所示,已知△ABC的周長是21,OB,OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,則△ABC的面積是 .
18. 如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F(xiàn).則下列結(jié)論:①DA平分∠EDF;②AE=AF,DE=DF;③AD上的點(diǎn)到B,C兩點(diǎn)的距離相等;④圖中共有3對(duì)全等三角形,正確的有 .
三、解答題(共46分)
19.(6分) 如圖所示,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,△ABC≌△BAD.
求證:(1)OA=OB;(2)AB∥CD.
20.(8分)如圖所示,△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,求 ∠DFB和∠DGB的度數(shù).
21.(6分)如圖所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.
求證:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF.
22.(8分)(2012•重慶中考)已知:如圖,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.
求證:BC=ED.
23.(9分)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD,CE相交于F.
求證:AF平分∠BAC.
24.(9分) 已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).
(1)直線BF垂直于直線CE,交CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G(如圖①),求證:AE=CG;
(2)直線AH垂直于直線CE,交CE的延長線于點(diǎn)H,交CD的延長線于點(diǎn)(如圖②),找出圖中與BE相等的線段,并證明.
第1章 全等三角形檢測(cè)題參考答案
1. B 解析:∵ BF⊥AB,DE⊥BD,∴ ∠ABC=∠BDE.
2.C 解析:因?yàn)?兩個(gè)全等的等邊三角形的邊長均為1 ,
所以 機(jī)器人由A點(diǎn)開始按ABCDBEA的順序沿等邊三角形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)一圈,即為6 .
因?yàn)? 012÷6=335……2,即行走了335圈余2 ,
所以行走2 012 停下時(shí),這個(gè)微型機(jī)器人停在點(diǎn)C處.故選C.
3.C 解析:由已知條件可以得出△ABO≌△CDO,△AOD≌△COB,△ADE≌△CBF,
△AEO≌△CFO,△ADC≌△CBA,△BCD≌△DAB,△AEB≌△CFD,共7對(duì),故選C.
4.D 解析:因?yàn)槿热切螌?duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)邊上的中線、對(duì)應(yīng)角的平分線相等,A、B、C項(xiàng)沒有“對(duì)應(yīng)”,所以錯(cuò)誤,而D項(xiàng)有“對(duì)應(yīng)”,D是正確的.故選D.
5.D 解析:因?yàn)?△ABC和△CDE都是等邊三角形,
所以 BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,
所以 ∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,
所以 在△BCD和△ACE中,
所以 △BCD≌△ACE(SAS),故A成立.
因?yàn)?△BCD≌△ACE,所以 ∠DBC=∠CAE.
因?yàn)?∠BCA=∠ECD=60°,所以 ∠ACD=60°.
在△BGC和△AFC中, 所以 △BGC≌△AFC,故B成立.
因?yàn)?△BCD≌△ACE,所以 ∠CDB=∠CEA,
在△DCG和△ECF中, 所以 △DCG≌△ECF,
故C成立.故選D.
6.B 解析:A.與三角形 有兩邊相等,而夾角不一定相等,二者不一定全等;
B.與三角形 有兩邊及其夾角相等,二者全等;
C.與三角形 有兩邊相等,但夾角不相等,二者不全等;
D.與三角形 有兩角相等,但邊不對(duì)應(yīng)相等,二者不全等.
故選B.
7.D 解析:因?yàn)?B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上,且AC⊥CD,所以 ∠1+∠2=90°.
因?yàn)?∠B=90°,所以 ∠1+∠A=90°,所以 ∠A=∠2. 故B選項(xiàng)正確.
在△ABC和△CED中,
所以 △ABC≌△CED,故C選項(xiàng)正確.
因?yàn)?∠2+∠D=90°,
所以 ∠A+∠D=90°,故A選項(xiàng)正確.
因?yàn)?AC⊥CD,所以 ∠ACD=90°,∠1+∠2=90°,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D.
8. B 解析:如圖所示,連接AC,作CF⊥ ,CE⊥ .
因?yàn)?AB=BC=CD=DA=5 k,所以 △ABC≌△ADC,
所以 ∠CAE=∠CAF,所以 CE=CF=4 k.故選B.
9. D 解析:因?yàn)?AB=AC,所以 ∠ABC=∠ACB.
因?yàn)?BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
所以 ∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE.
所以 ①△BCD≌△CBE (ASA);
由①可得CE=BD,所以 ③△BDA≌△CEA (SAS);由①可得BE=CD,又∠EOB=∠DOC,所以④△BOE≌△COD (AAS).故選D.
10. B 解析:因?yàn)?PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,AP=AP,
所以 △ARP≌△ASP(HL),所以 AS=AR,∠RAP=∠SAP.
因?yàn)?AQ=PQ,所以 ∠QPA=∠SAP,
所以 ∠RAP=∠QPA,
所以 QP∥AR.
而在△BPR和△QPS中,只滿足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS,找不到第3個(gè)條件,
所以無法得出△BPR≌△QPS.故本題僅①和②正確.故選B.
11.3 解析:由條件易判定△ABC≌△FCE,所以 AC=EF=5 c,則AE=AC-CE=EF-BC=5-2=3(c).
12. DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等) 解析:因?yàn)?BD=CD,∠FDB=∠EDC,DF=DE,所以 △BDF≌△CDE. 熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.(以第一種為例,添加其他條件的請(qǐng)同學(xué)們自行證明)
13. 39 解析:因?yàn)?△ABC和△BDE均為等邊三角形,
所以 AB=BC,∠ABC =∠EBD=60°,BE=BD.
因?yàn)?∠ABD=∠ABC +∠DBC,∠EBC=∠EBD +∠DBC,
所以 ∠ABD=∠CBE,
所以 △ABD≌△CBE,所以 ∠BCE=∠BAD =39°.
14. 60 解析:因?yàn)?△ABC是等邊三角形,
所以 ∠ABD=∠C,AB=BC.
因?yàn)?BD=CE,所以 △ABD≌△BCE,所以 ∠BAD=∠CBE.
因?yàn)?∠ABE+∠EBC=60°,所以 ∠ABE+∠BAD=60°,
所以 ∠APE=∠ABE+∠BAD=60°.
15. 55° 解析:在△ABD與△ACE中,
因?yàn)?∠1+∠CAD=∠CAE +∠CAD,所以 ∠1=∠CAE.
又因?yàn)?AB=AC,AD=AE,
所以 △ABD ≌△ACE(SAS).所以 ∠2=∠ABD.
因?yàn)?∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2,∠1=25°,∠2=30°,
所以 ∠3=55°.
16. 3 解析:由∠C=90°,AD平分∠CAB,作DE⊥AB于E,
所以D點(diǎn)到直線AB的距離就是DE的長.
由角平分線的性質(zhì)可知DE=DC,
又BC=8 c,BD=5 c,所以DE=DC=3 c.
所以D點(diǎn)到直線AB的距離是3 c.
17. 31.5 解析:作OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分別為E、F,連接OA,
因?yàn)?OB,OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,
所以 OD=OE=OF.
所以
= ×OD×BC+ ×OE×AC+ ×OF×AB
= ×OD×(BC+AC+AB)
= ×3×21=31.5.
18. ①②③④ 解析:∵ 在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,已知DE⊥AB,DF⊥AC,可證△ADE≌△ADF(AAS),
故有∠EDA=∠FDA,AE=AF,DE=DF,①②正確;
AD是△ABC的角平分線,在AD上可任意設(shè)一點(diǎn),可證△BD≌△CD,∴ B=C,∴ AD上的點(diǎn)到B,C兩點(diǎn)的距離相等,③正確;
根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知,圖中共有3對(duì)全等三角形,④正確.故填①②③④.
19. 分析:(1)要證OA=OB,由等角對(duì)等邊知需證∠CAB=∠DBA,由已知△ABC≌△BAD即可證得.(2)要證AB∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)需證∠CAB=∠ACD,由已知和(1)可證得∠OCD=∠ODC,又因?yàn)椤螦OB=∠COD,所以可證得∠CAB=∠ACD,即AB∥CD獲證.
證明:(1)因?yàn)?△ABC≌△BAD,所以 ∠CAB=∠DBA,所以 OA=OB. (2)因?yàn)?△ABC≌△BAD,所以 AC=BD.
又因?yàn)?OA=OB,所以 AC-OA=BD-OB,
即OC=OD,所以 ∠OCD=∠ODC.
因?yàn)?∠AOB=∠COD,∠CAB= ,∠ACD= ,
所以 ∠CAB=∠ACD,所以 AB∥CD.
20. 分析:由△ABC≌△ADE,可得∠DAE=∠BAC= (∠EAB-∠CAD),根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DFB=∠FAB+∠B.因?yàn)椤螰AB=∠FAC+∠CAB,即可求得∠DFB的度數(shù);根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DGB=∠DFB -∠D,即可得∠DGB的度數(shù).
解:因?yàn)?△ABC≌△ADE,
所以 ∠DAE=∠BAC= (∠EAB-∠CAD)= .
所以 ∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°,
∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°.
21. 分析:首先根據(jù)角之間的關(guān)系推出∠EAC=∠BAF.再根據(jù)邊角邊定理,證明△EAC≌ △BAF.最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理,得知EC=BF.根據(jù)角的轉(zhuǎn)換可求出EC⊥BF.
證明:(1)因?yàn)?AE⊥AB,AF⊥AC,所以 ∠EAB=90°=∠FAC,
所以 ∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC.
又因?yàn)?∠EAC=∠EAB+∠BAC,∠BAF=∠FAC+∠BAC.
所以 ∠EAC=∠BAF.
在△EAC與△BAF中,
所以 △EAC≌△BAF. 所以 EC=BF.
(2)因?yàn)?∠AEB+∠ABE=90°,又由△EAC≌△BAF可知∠AEC=∠ABF,
所以 ∠CEB+∠ABF+∠EBA=90°,即∠EB+∠EB=90°,即∠EB=90°,
所以 EC⊥BF.
22.分析:要證BC=ED,需證△ABC≌△AED.
證明:因?yàn)?∠1=∠2,
所以 ∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,即∠BAC=∠EAD.
又因?yàn)?AB=AE,∠B=∠E,
所以 △ABC≌△AED,
所以 BC=ED.
點(diǎn)撥:已知一邊一角對(duì)應(yīng)相等證兩三角形全等時(shí),思路有三種:(1)證對(duì)應(yīng)角的另一邊對(duì)應(yīng)相等,“湊”SAS;(2)證對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等,“湊”AAS;(3)證對(duì)應(yīng)邊的另一鄰角對(duì)應(yīng)相等,“湊”ASA.
23. 證明:因?yàn)?BD⊥AC ,CE⊥AB,所以 ∠AEC=∠ADB=90°.
在△ACE與△ABD中,
所以△ACE≌△ABD (AAS),所以AE=AD.
在Rt△AEF與Rt△ADF中,
所以Rt△AEF≌Rt△ADF(HL),
所以∠EAF=∠DAF,所以AF平分∠BAC.
24. ⑴證明:設(shè)∠ACE=∠1,因?yàn)橹本BF垂直于CE,交CE于點(diǎn)F,所以∠CFB=90°,
所以∠ECB+∠CBF=90°.
又因?yàn)椤?+∠ECB=90°,所以∠1=∠CBF .
因?yàn)锳C=BC, ∠ACB=90°,所以∠A=∠CBA=45°.
又因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn),所以∠DCB=45°.
因?yàn)椤?=∠CBF,∠DCB=∠A,AC=BC,所以△CAE≌△BCG,所以AE=CG.
(2)解:C=BE.證明如下:因?yàn)椤螦CB=90°,所以∠ACH +∠BCF=90°.
因?yàn)?CH⊥A,即∠CHA=90°,所以 ∠ACH +∠CAH=90°,所以∠BCF=∠CAH.
因?yàn)?CD為等腰直角三角形斜邊上的中線,所以 CD=AD.所以∠ACD=45°.
在△CA與△BCE中,CA=BC,∠CAH =∠BCF, ∠AC =∠CBE,
所以 △CA ≌△BCE,所以C=BE.
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