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如何引導(dǎo)孩子學(xué)數(shù)學(xué)

編輯: 路逍遙 關(guān)鍵詞: 潛能開發(fā) 來源: 逍遙右腦記憶

  年齡:從出生到20歲出頭

  很多孩子都說過:“數(shù)學(xué)太難了!”??不僅僅是女孩兒,所有的孩子都一樣。孩子的腦已經(jīng)習(xí)慣于快速應(yīng)對(duì)日常生活中的問題了,也就是 說,跟解決代數(shù)問題相比,他們更擅長(zhǎng)算計(jì)如何報(bào)復(fù)剛剛欺負(fù)過他的孩 子。(當(dāng)然,這種“社會(huì)性計(jì)算”也需要某種數(shù)學(xué)能力,因?yàn)樗枰孪?判斷一下周圍有多少對(duì)方的朋友,多少自己的朋友。)

  孩子和很多動(dòng)物都有神經(jīng)系統(tǒng)來支持最原始的數(shù)量感。在正常情況下,這種數(shù)量感會(huì)跟人的其他能力結(jié)合在一起,使我們能夠創(chuàng)造和操縱 符號(hào),從而生成正式的數(shù)學(xué)。這種數(shù)學(xué)只存在于某些社會(huì)文化中,在其他的社會(huì)文化中則沒有。數(shù)學(xué)看似不適合孩子的成長(zhǎng),其實(shí)對(duì)孩子的成長(zhǎng)有益。

  在過去幾十年里,人們?cè)絹碓秸J(rèn)識(shí)到,嬰兒有很強(qiáng)的“形成跟數(shù)字有關(guān)的概念”的能力。例如,把一個(gè)物體藏到屏幕后面,之后卻出來兩個(gè)物體,嬰兒會(huì)盯著物體看很久,表現(xiàn)出驚奇。相反,如果一只米老鼠玩具“躲”到屏幕后面,然后出來一輛卡車,嬰兒一點(diǎn)兒都不關(guān)心。而如果他看到一只米老鼠跟另一只米老鼠一塊兒出來,他就會(huì)表現(xiàn)出驚奇了,注視的時(shí)間就更長(zhǎng)一點(diǎn)兒。這種注意新增加的物體的能力是數(shù)字概念的一個(gè)必要組成成分。

  這種能力并不局限于較小的數(shù)。當(dāng)一個(gè) 6 個(gè)月大的嬰兒看到一系列的圖片,每個(gè)圖片上都有若干個(gè)物體(黑點(diǎn)、面孔或者任何東西)時(shí), 他會(huì)注意到圖片上物體的數(shù)量是否翻倍或者減半了。隨著年齡的增加,這種數(shù)量感越來越強(qiáng)。對(duì)嬰兒來說,他們不用數(shù)就能夠識(shí)別出 1 ∶ 2 的比率(例如,比較 4 個(gè)和 8 個(gè)物體,或者比較 6 個(gè)和 12 個(gè)物體),不過 成人則能識(shí)別更精細(xì)的例如 7 ∶ 8 的比率。

  數(shù)量感(分辨大小不同的群組)人人都有。數(shù)量識(shí)別則是另一種普遍性的數(shù)學(xué)能力,它是指在不需要一個(gè)一個(gè)去數(shù)的情況下就能夠立即知道有幾個(gè)物體(通常數(shù)量較小)的能力。這個(gè)術(shù)語來自于拉丁文 subitus,意思是“突然”。數(shù)量感和數(shù)量識(shí)別是所有動(dòng)物共有的能力,而且,人和動(dòng)物的腦中負(fù)責(zé)兩種能力的神經(jīng)系統(tǒng)可能也是相同的。

  在老鼠、狗甚至鴿子身上都可以看到這些能力。這些能力為這些物種提供了一種生存優(yōu)勢(shì):使動(dòng)物能夠?qū)κ挛锏牧窟M(jìn)行估計(jì),從食物來源 到潛在的敵人。例如,一般來說,當(dāng)獅子聽到別的獅子在附近咆哮時(shí), 他們會(huì)作出反應(yīng)。但是,根據(jù)聽到的其他獅子的個(gè)數(shù)以及自己群體成員 的多寡,它們通常會(huì)作出不同的反應(yīng)。如果覺得自己這邊數(shù)量上不占優(yōu),他們會(huì)召集同伴來支援。同樣,對(duì)猩猩來說,如果自己群體中個(gè)體的數(shù) 量不占優(yōu),它們也會(huì)避免跟對(duì)方發(fā)生沖突。

  為什么研究人員花了幾十年的時(shí)間才了解小孩子的數(shù)量感呢?一個(gè)原因是早期的研究人員(如皮亞杰)在實(shí)驗(yàn)中問錯(cuò)了問題。例如,把小球排列成幾行,有的行小球間隔較遠(yuǎn),看起來好像更長(zhǎng)。研究人員如果 問:“哪一行的物體更多?”那么,三四歲的兒童會(huì)指著數(shù)量較少,但是 排列得較稀疏的那一行。而如果把小球換成巧克力,并許諾孩子一會(huì)兒 就可以吃掉這些巧克力,那么,他們的表現(xiàn)要好得多。如果分析一下的 話,這個(gè)實(shí)驗(yàn)似乎測(cè)量了兩種東西:數(shù)量感和清晰表達(dá)數(shù)量感的能力。3 歲的孩子有數(shù)量感,但是他不會(huì)說。除了讓他吃巧克力以外,你還真的 很難從他的嘴里知道他到底知不知道正確答案。

  奇怪的是,如果是 2 歲的孩子,無論是小球還是巧克力,他們感知得都 很好。這個(gè)結(jié)果似乎表明,在 2 歲的時(shí)候,孩子有較清晰的數(shù)量感,但是在隨后的 1 年里,他們失去了這種抽象的感覺。到底發(fā)生了什么?一種可能是,在三四歲的時(shí)候,孩子的數(shù)量感經(jīng)歷了一個(gè)“對(duì)數(shù)量的直覺”和“一種明確的、 較晚發(fā)展起來的抽象數(shù)字感”糅合在一起的過程。到了 5 歲,一切都搞定了, 此時(shí),他去數(shù)一數(shù)小球就行了??不過,他們也許會(huì)期待吃到巧克力。

  對(duì)巧克力的喜愛似乎是一種本能,實(shí)際上的確如此。研究證據(jù)表明, 黑猩猩也能在心里對(duì)數(shù)量進(jìn)行類似于加法的組合。如果按照先后順序給 黑猩猩看 3 個(gè)盤子,每個(gè)盤子里面都有不同數(shù)量的巧克力,那么,他們 能夠判斷頭兩個(gè)盤子中的巧克力總和比第三個(gè)盤子里面的巧克力多還是 少。由此可見,從進(jìn)化來說,最原始的數(shù)學(xué)能力比我們?nèi)祟惖臍v史還要 悠久,它是孩子與生俱來的能力的一部分。

  在人腦和猩猩的腦中,表征數(shù)量感的腦區(qū)是一樣的。數(shù)量信息似乎 由前額葉和頂葉后部來表征。一個(gè)關(guān)鍵的腦區(qū)是頂內(nèi)溝。這是一個(gè)凹進(jìn) 去的溝槽區(qū)域,表征著特定的數(shù)字概念(例如“第十七個(gè)”)。如果這個(gè) 腦區(qū)受到損傷,人們對(duì)數(shù)量問題的回答就只能接近正確,但是無法完全 正確??相當(dāng)于黑猩猩的水平。

  數(shù)量感能夠在演化中保留下來,使科學(xué)家們覺得,我們的腦對(duì)數(shù)量 的呈現(xiàn)可能跟它們的相對(duì)大小有關(guān),就好像有一條心理的數(shù)列一樣。有 一些證據(jù)對(duì)這種提法提供了支持,例如,讓我們判斷兩個(gè)數(shù)哪個(gè)更大的 時(shí)候,如果這兩個(gè)數(shù)相鄰(如 8 和 7),要比兩個(gè)數(shù)相隔較遠(yuǎn)(如 8 和 2) 的時(shí)候需要更長(zhǎng)的時(shí)間來反應(yīng),這就好像相鄰的兩個(gè)數(shù)在心理空間上也 是相鄰的一樣。在判斷相鄰的兩個(gè)數(shù)的時(shí)候,頂內(nèi)溝會(huì)被激活。你可能 會(huì)覺得數(shù)量的存儲(chǔ)像計(jì)算機(jī)加工數(shù)字一樣,數(shù)字之間無論差異大小,分 辨難度差不多,但其實(shí)在腦中,情況可能完全不同。腦可能采用更加有 序的方式來表征數(shù)量,就好像尺子上面的刻度一樣。

  當(dāng)猴子看到特定數(shù)量的物體或者近似數(shù)量的物體時(shí),它們的頂內(nèi)溝位置的一些神經(jīng)細(xì)胞會(huì)被激活。一般來說,這些腦區(qū)屬于腦中識(shí)別物體位置的神經(jīng)通路,包括識(shí)別有多少個(gè)物體,這些物體要向哪個(gè)方向移動(dòng)等。

  頂葉負(fù)責(zé)“位置信息”的皮層(參見第 10 章)似乎有多種不同的功能。在眼睛運(yùn)動(dòng)的時(shí)候,猴子和人的頂葉皮層后部都會(huì)被激活。同時(shí),當(dāng)神經(jīng)學(xué)家讓被測(cè)試者躺在磁共振掃描儀里,完成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)任務(wù)時(shí), 他們發(fā)現(xiàn),這個(gè)腦區(qū)還有一種有趣的能力:當(dāng)人們?cè)谛睦镒黾臃ɑ蛘邷p法運(yùn)算時(shí),即便眼睛沒有移動(dòng),這個(gè)腦區(qū)也被激活了。跟這個(gè)腦區(qū)有連 接的附近其他腦區(qū)緊密地參與了視覺功能,例如出現(xiàn)突然的眼球震顫(眼 跳),對(duì)某個(gè)圖像移動(dòng)方向的覺察等。因此,我們對(duì)空間的觀察方式可能 跟我們的心理數(shù)列密切關(guān)聯(lián)。甚至,我們可以根據(jù)頂葉皮層后部的激活 模式,在一定程度上預(yù)測(cè)某個(gè)人到底是在做加法還是減法,預(yù)測(cè)的正確 度大概是中等。

  跟眼睛運(yùn)動(dòng)能力有關(guān)的腦區(qū)和與基本的計(jì)算能力有關(guān)的腦區(qū)有重疊,這一點(diǎn)似乎有點(diǎn)兒怪異,但是這也表明,我們的腦加工抽象信息的能力在一定程度上依賴于我們應(yīng)對(duì)物理世界的方式。除了計(jì)算能力以外,我們的很多認(rèn)知能力都以類似的方式“鑲嵌”在其他能力中。通過這種方 式,我們的腦就能夠采用進(jìn)化過程中形成的更加具體的動(dòng)作(例如尋找獵物或者在叢林中尋找回家的路等),來進(jìn)行抽象的思考。要想將這些估算能力轉(zhuǎn)換成精確的數(shù)學(xué)表述則需要符號(hào)表征能力。

  這種能力是隨著語言而出現(xiàn)的。語言是一種高效而精細(xì)的表征信息的方 式。鸚鵡、海豚、恒河猴以及黑猩猩都能用符號(hào)來表征數(shù)量。例如,有兩只黑猩猩,一只叫作埃布爾,另一只叫作貝克。它們能從兩個(gè)數(shù)字中 選擇一個(gè)較大的,從而得到更多數(shù)量的糖果。在大多數(shù)情況下,動(dòng)物還不能對(duì)符號(hào)進(jìn)行加或減。但是有一只黑猩猩是個(gè)例外,它叫作謝巴赫, 經(jīng)過幾年的訓(xùn)練,它能完成一些簡(jiǎn)單的加法計(jì)算。

  即 便 人 類 有 計(jì) 算 和 數(shù) 學(xué) 的 心 理 能 力, 但 是 大 家 并 不 經(jīng) 常 使 用。 法 國科學(xué)家斯坦尼斯亞斯 ? 德阿納和皮埃爾 ? 皮察研究了南美洲亞馬孫 叢林中的蒙杜魯庫人,這個(gè)部落的人不會(huì)計(jì)算,他們的語言中用來表 示數(shù)量的詞匯也非常少。其中只有幾個(gè)詞是精確的數(shù)量(pug ma 代表1,xep xep 代表 2),大部分都只是近似數(shù)(如 ebapug 代表 2 和 5 之間, ebadipdip 代表 3 和 7 之間)。蒙杜魯庫人在進(jìn)行大組物體的粗略加法時(shí)還 不錯(cuò),跟西方人做得一樣好。但是對(duì)小的數(shù)量進(jìn)行精確計(jì)算時(shí)則不行了; 例如,如果把 6 顆豆子放進(jìn)罐子,然后拿出 4 顆,問他們還剩幾顆時(shí), 他們會(huì)說“0”或者“1”,很少會(huì)說“2”。

  孩子早期的估算能力能夠預(yù)測(cè)他將來的計(jì)算能力。這表明,在孩子們開始能進(jìn)行計(jì)算之前,他們加工數(shù)量的一般能力就已經(jīng)出現(xiàn)個(gè)體差異了。那么,這種能力是否可以通過訓(xùn)練得到提高呢?也許,可以通過訓(xùn)練孩子早期的估算能力來提高他們將來的計(jì)算能力。雖然這個(gè)想法還沒有得到檢驗(yàn),但還是很有可能的。

  基于基本的數(shù)量感,我們可以構(gòu)建起更加復(fù)雜的概念,像復(fù)數(shù)、虛數(shù)、實(shí)數(shù)等;谶@些能力以及其他方面的腦功能,我們就可以發(fā)掘出更復(fù)雜的數(shù)學(xué)能力:乘法、三角函數(shù)、微積分等等。

  關(guān)于腦如何生成抽象的數(shù)學(xué),這方面的研究才剛剛開始,不過,研究人員已經(jīng)有了一些發(fā)現(xiàn)。例如,較高水平的數(shù)學(xué)知識(shí)需要額外的概念和更多的腦區(qū)參與進(jìn)來。代數(shù)要求孩子把他們的數(shù)量能力跟抽象符號(hào)的操縱能力結(jié)合在一起。對(duì)于剛剛開始學(xué)習(xí)代數(shù)的學(xué)生來說,入門的方式可以多種多樣。例如,跟解方程式相比,解應(yīng)用題要相對(duì)容易一些。這些不同的處理方式要用到不同腦區(qū)。

  為了考察解決問題時(shí)到底哪些腦區(qū)參與進(jìn)來了,研究人員讓人們躺在磁共振掃描儀里面,同時(shí)解答應(yīng)用題和類似的公式。(例如:1. 服務(wù)員卡西每天當(dāng)班 4 小時(shí),每小時(shí)賺 10 元,在下班時(shí)還能得到 12 元的小費(fèi), 那么請(qǐng)問,她一天到底能賺多少錢? 2. 若 10H+12=E,且 H=4,那么, E是多少?)掃描結(jié)果表明,解應(yīng)用題時(shí),左側(cè)前額葉皮層被優(yōu)先激活,這個(gè)腦區(qū)跟工作記憶和數(shù)量加工有關(guān);解公式時(shí),負(fù)責(zé)表征心理數(shù)列的 腦區(qū)被激活了,例如頂葉皮層的一部分,包括楔前葉(頂葉內(nèi)側(cè)的一個(gè) 區(qū)域)以及部分基底神經(jīng)節(jié)(對(duì)于動(dòng)作和運(yùn)動(dòng)至關(guān)重要)。

  這樣的差異表明,開始學(xué)習(xí)代數(shù)的學(xué)生可以嘗試不同的方式來解決 同一個(gè)問題。當(dāng)問題較難時(shí),除了我們前面提到過的皮層區(qū)域,會(huì)有更 多的左半球腦區(qū)參與進(jìn)來。至于高等數(shù)學(xué),像三角函數(shù)或微積分,還沒 有得到充分的研究,但是研究人員相信,這些能力可能也跟腦中負(fù)責(zé)符 號(hào)表征和空間操縱的神經(jīng)系統(tǒng)有關(guān)。

  在某種程度上,上面這些發(fā)現(xiàn)支持了歐幾里得關(guān)于幾何學(xué)的名言:“通往知識(shí)殿堂的路沒有捷徑!睌(shù)學(xué)是非常復(fù)雜的系統(tǒng),是人類最偉大的發(fā)明之一。我們能夠發(fā)現(xiàn)負(fù)責(zé)講故事和控制眼睛運(yùn)動(dòng)的神經(jīng)環(huán)路 也參與了產(chǎn)生、理解和應(yīng)用數(shù)學(xué),這本身就是一項(xiàng)了不起的發(fā)現(xiàn)。讓我們的腦適應(yīng)我們的環(huán)境,是一件極其了不起的、我們的祖先從未想過的事情。


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