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2014年小學(xué)數(shù)學(xué)解題常見(jiàn)錯(cuò)誤分析
分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題
分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)較難學(xué)好的內(nèi)容之一，小學(xué)生解題時(shí)容易把解法混淆，該用乘法解答的卻用除法解答，該用除法解答的卻用乘法解答。其次是在解答稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，難以找到題目中數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
正確辨認(rèn)應(yīng)用題中的“標(biāo)準(zhǔn)數(shù)”，這是解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵。在確定“標(biāo)準(zhǔn)數(shù)”時(shí)，要特別注意分析應(yīng)用題中含有“分率”或“百分率”的詞句。當(dāng)正確地確定題中的“標(biāo)準(zhǔn)數(shù)”以后，就可以找出題中各個(gè)數(shù)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
當(dāng)確定了題中的數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系以后，再看題中的已知條件是什么，要求的是什么，從而正確地選擇解法。
（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾的應(yīng)用題
解答“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾”的應(yīng)用題，關(guān)鍵是要明確誰(shuí)與誰(shuí)比，被比的為標(biāo)準(zhǔn)量，然后用標(biāo)準(zhǔn)量作除數(shù)，求出商以后用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)表示出。
解答這類問(wèn)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不能正確地確定誰(shuí)是標(biāo)準(zhǔn)量，尤其有些題中，標(biāo)準(zhǔn)量并不明顯，因此，常常發(fā)生錯(cuò)誤。
例 1 人民機(jī)床廠生產(chǎn)320臺(tái)機(jī)床，結(jié)果多生產(chǎn)了40臺(tái)。實(shí)際完成了的百分之幾？
[解]（320+40）÷320=360÷320
=1.125=112.5％。
答：實(shí)際完成了計(jì)劃的112.5％。
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
320÷（320+40）
=320÷360
≈0.889=88.9％。
答：實(shí)際完成了計(jì)劃的88.9％。
例 2 育紅小學(xué)三月份支出電費(fèi)40元，四月份支出電費(fèi)32元，四月份支出的電費(fèi)比三月份節(jié)省了百分之幾？
[解]（40-32）÷40
=8÷40=0.2=20％。
答：四月份比三月份節(jié)省了20％。
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
（1）（40-32）÷32 = 8÷32 =0.25=25％。
答：四月份比三月份節(jié)省了25％。
例 3 春光小學(xué)今年有學(xué)生840人，比去年增加40人，今年的學(xué)生人數(shù)比去年增加百分之幾？
[解]40÷（840-40） = 40÷800 = 0.05 = 5％。
答：今年的學(xué)生人數(shù)比去年增加5％。
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
�。�1）（840-40）÷840
=800÷840
≈0.952=95.2％。
答：今年的學(xué)生人數(shù)比去年增加95.2％。
（2）（840-40）÷840
=800÷840
≈0.952=95.2％。1-95.2％=4.8％。
答：今年的學(xué)生人數(shù)比去年增加4.8％。
例 4 火炬童服廠九月上旬生產(chǎn)童服8085件，經(jīng)檢驗(yàn)有55件不合格。求這批童服的合格率。（百分號(hào)前面保留一位小數(shù)。）
[解]（8085-55）÷8085
=8030÷8085
≈0.993=99.3％。
答：這批童服的合格率是99.3％。
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
55÷（8085-55）
=55÷8030
≈0.007=0.7％。
答：這批童服的合格率是0.7％。
[分析]
以上4個(gè)例題，都是屬于求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾的應(yīng)用題，解答這類題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)“標(biāo)準(zhǔn)”量，而“標(biāo)準(zhǔn)”量是在比較中得的，如求甲數(shù)是乙數(shù)的幾（百）分之幾，則以乙數(shù)為“標(biāo)準(zhǔn)”，若求乙數(shù)是甲數(shù)的幾（百）分之幾，則以甲數(shù)為“標(biāo)準(zhǔn)”。學(xué)生在解題時(shí)，由于很難判定誰(shuí)與誰(shuí)比，所以常常出錯(cuò)。如例1要求“實(shí)際完成了計(jì)劃的百分之幾”，而錯(cuò)解中則恰恰弄反，求出了“計(jì)劃是實(shí)際完成的百分之幾”。例2中要求“四月份比三月節(jié)省百分之幾”，而錯(cuò)解求的是“四月比三月節(jié)省的電費(fèi)是四月份的百分之幾”。要避免出現(xiàn)這種錯(cuò)誤，要對(duì)應(yīng)用題中的特殊問(wèn)句加以正確的理解。如例1的“完成了計(jì)劃的百分之幾”，這句問(wèn)話的意思是完成數(shù)是計(jì)劃數(shù)的百分之幾。例2中所問(wèn)“四月份支出的電費(fèi)比三月份節(jié)省了百分之幾”，正確理解是“四月份比三月份節(jié)省的電費(fèi)是三月份的百分之幾”。
例 3 的第二種錯(cuò)解是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的，它求的是“去年的學(xué)生人數(shù)比今年減少百分之幾”。用這種方法解題的學(xué)生總以為，“去年的學(xué)生人數(shù)比今年減少百分之幾”，就是“今年的學(xué)生人數(shù)比去年增加百分之幾”。其實(shí)這是不相等的，其理由和甲數(shù)比乙數(shù)多幾就是乙數(shù)比甲數(shù)少幾，但甲數(shù)比乙數(shù)多百分之幾，一般決不是乙數(shù)比甲數(shù)少百分之幾一樣。這種錯(cuò)誤與學(xué)習(xí)整數(shù)求差的定勢(shì)影響有關(guān)，只要弄清了道理就不會(huì)犯這類錯(cuò)誤了。
（2）求一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾是多少的應(yīng)用題
求一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾是多少的應(yīng)用題，題中已知一個(gè)具求它的幾（百）分之幾是多少，用乘法計(jì)算。
例 1 一種收錄機(jī)，原每臺(tái)售價(jià)450元，現(xiàn)在降價(jià)25％，價(jià)多少元？
[解] 450×（1-25％）
=450×0.75
=337.5（元）。
答：現(xiàn)在每臺(tái)售價(jià)337.5元。
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
450×25％=112.5（元）。
答：現(xiàn)在每臺(tái)售價(jià)112.5元。
例 2 紅林鄉(xiāng)計(jì)劃今年造林800公頃，實(shí)際超過(guò)原計(jì)劃15％多少公頃？
[解]800×（1+15％）
=800×1.15
=920（公頃）。
答：實(shí)際造林920公頃。
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
800×15％=120（公頃）。
答：實(shí)際造林120公頃。
從圖中可以看出，求的是還剩下幾分之幾是多少頁(yè)，這樣，就不致于出現(xiàn)錯(cuò)解中的情況了。
（3）已知一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題
已知一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題，解題時(shí)應(yīng)先找出標(biāo)準(zhǔn)量，即“單位1”的量，然后設(shè)要求的數(shù)量為x，根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾是多少（用乘法計(jì)算）列出方程求解，也可以直接用除法求出答案。
對(duì)于這一類應(yīng)用題，極容易與求一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾是多少的應(yīng)用題相混淆。
例 1 一種白布每米的價(jià)錢是3.6元，正好是一種花布價(jià)錢的8/9�；ú济棵椎膬r(jià)錢是多少元？
[解]設(shè)花布價(jià)錢每米為x元。
答：水的體積為237.6立方厘米。
例 3 小明身高144厘米，比小
已知一個(gè)數(shù)的幾（百）分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題，由于題目的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，正確算式的算理不容易分析，且分析出又難弄懂，因此解答這類應(yīng)用題學(xué)生極容易發(fā)生錯(cuò)誤，其原因是找不準(zhǔn)“單位1”的量，因此很難確定用乘法計(jì)算還是用除法計(jì)算。再說(shuō)“甲數(shù)比乙數(shù)少幾分之幾”是否就是“乙數(shù)比甲數(shù)多幾分之幾”，一直模糊不清，因此小括號(hào)里究竟是用加法算還是用減法算始終拿不準(zhǔn)。要能正確且順利地解答這類應(yīng)用題，必須從題目的已知條件入手，加強(qiáng)分析，真正弄懂算式的
這里為什么都用除法算式，直接從算式本身去分析道理較抽象，若從已知兩因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)必然用除法，若這樣去理解就容易掌握這個(gè)算法的算理了。
�。�4）較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題
例 1 玩具廠原有職工128人，男職工人數(shù)占總數(shù)的25％，后又調(diào)進(jìn)
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
例 3 有一批貨物，分 3天運(yùn)完。第一天運(yùn)走30％，第二天比第一天多運(yùn)走80噸，第三天比第二天多運(yùn)走80噸。問(wèn)這批貨物共有多少噸？
[解]（80+80×2）÷（1-30％×3）
=240÷（1-90％）
=240÷0.1
=2400（噸）。
答：這批貨物共有2400噸。
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
�。�80+80）÷（1-30％×3）
=160÷（1-90％）
=160÷0.1
=1600（噸）。
答：這批貨物共有1600噸。
[分析]
只有理解了題目的數(shù)量關(guān)系才能分析出錯(cuò)解的原因。根據(jù)題意可作出下圖。
從圖中可以看出，三天除運(yùn)走這批貨物的90％外，還多運(yùn)了240噸，即這240噸貨物正好占這批貨物總量的10％，這樣很快地求得這批貨物的總量。然而上面錯(cuò)解對(duì)第三天比第二天多運(yùn)80噸。不能轉(zhuǎn)換成第三天比第一天多運(yùn)160噸，而這種轉(zhuǎn)換一般容易忽略也較難理解。適當(dāng)利用線段圖，可以較好地揭示這種數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)，防止出現(xiàn)上述錯(cuò)誤。
例 4 師徒兩人加工一批零件，原計(jì)劃師傅加工零件的個(gè)數(shù)是徒弟的
這批零件共有多少個(gè)？
[分析]
很多復(fù)雜的應(yīng)用題學(xué)生往往沒(méi)有真正弄清題目中的數(shù)量關(guān)系，而是采取瞎猜亂碰的作法去列式，這道題的錯(cuò)解就是這樣。題中由于乙隊(duì)原有人數(shù)不知道，后又從甲隊(duì)調(diào)入若干人到乙隊(duì)，調(diào)入后的甲、乙隊(duì)人數(shù)也都不知道，這給學(xué)生解題帶了一定的困難。
對(duì)于較難解答的復(fù)雜應(yīng)用題，我們一般采用一定辦法轉(zhuǎn)化條件，使之化難為易。這道題的一個(gè)特點(diǎn)是調(diào)入前后兩隊(duì)共有的人數(shù)是不變的（100人），
答：甲原有錢360元，乙原有錢490元。
[分析]
較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題一般較難列式，就是列出算式，也不容易分析出算式的算理。題目已知甲乙二人共有錢數(shù)，若設(shè)甲原有錢數(shù)為1，如果能求出乙原有錢數(shù)是甲原有錢數(shù)的幾分之幾，則甲原有錢數(shù)可求出。根據(jù)題目的另外一個(gè)條件可作出下圖。
3÷[48％-（1-55％）]×（1-48％）
=3÷[0.48-0.45]×0.52
=3÷0.03×0.52
=52（人）。
答：育紅小學(xué)六年級(jí)現(xiàn)有男生52人。
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
�。�3+3）÷[48％-（1-55％）]×（1-48％）
=6÷[0.48-0.45]×0.52
=6÷0.03×0.52
=104（人）。
答：育紅小學(xué)六年級(jí)現(xiàn)有男生104人。
[分析]
由題目條件可知，轉(zhuǎn)走3名男生同時(shí)轉(zhuǎn)3名女生，因此全年級(jí)總?cè)藬?shù)沒(méi)有變，變化的只是男生人數(shù)與女生人數(shù)。要求現(xiàn)有男生多少人，只有先求出六年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)。從圖中可知，女生由于轉(zhuǎn)3人，使女生占總?cè)藬?shù)的百分率由1-55％=45％上升到48％，顯然總?cè)藬?shù)為3÷[48％-（1-55％）]，而現(xiàn)在的男生，占總?cè)藬?shù)的1-48％=52％，這樣就可以列出解答的算式。上面錯(cuò)解的學(xué)生卻誤認(rèn)為轉(zhuǎn)走3名又轉(zhuǎn)3名，這一進(jìn)一出，兩者相差6人，由于對(duì)應(yīng)分率的部分?jǐn)?shù)找錯(cuò)，因此求出的學(xué)生總數(shù)、男生人數(shù)都是正確答案的2倍。
必須指出的是如果從男生人數(shù)的改變以及男生人數(shù)所占學(xué)生總?cè)藬?shù)分率的變化求總?cè)藬?shù)，可列出本題的另一算式：
3÷[55％-（1-48％）]×（1-48％）。
相對(duì)于這種解法也可以出現(xiàn)另一種錯(cuò)誤算式：
�。�3+3）÷[55％-（1-48％）]×（1-48％）。
例 9 兩所小學(xué)的高年級(jí)學(xué)生共同參加表演團(tuán)體操。甲校學(xué)生450人調(diào)出
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
45016× ÷57
= 45017× ×56
=105（人）。
答：乙校原有學(xué)生105人
[分析]
�。�5）工 程 問(wèn) 題
工程問(wèn)題實(shí)質(zhì)是一個(gè)分?jǐn)?shù)問(wèn)題，題目中的工作總量一般不是具體的數(shù)量，因而常常用“單位1”表示。這樣，工程問(wèn)題就是“單位1”與幾分之幾的關(guān)系問(wèn)題。例如一件工程，甲20天完成乙25天完成，兩人合作，多少
例1 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做要12天，乙隊(duì)單獨(dú)做要15天。甲隊(duì)先做3天后，余下的兩隊(duì)合做，還要多少天完成？
[常見(jiàn)錯(cuò)誤]
例 3 一批零件，由甲車間加工，需 5小時(shí)完成，由乙車間加工，需 7小時(shí)完成。現(xiàn)由兩個(gè)車間合作2小時(shí)，還剩下198件沒(méi)有加工。求合作時(shí)間內(nèi)乙車間加工零件多少件？
上面錯(cuò)解中如果前面的算式是求出零件總數(shù)的話，仍舊是對(duì)的，但總數(shù)減去剩下的198件，只是甲、乙兩車間合作加工零件數(shù)，并不是乙車間2小時(shí)加工的零件數(shù)。
例 4 甲、乙兩個(gè)打字員要打一份稿件，甲單獨(dú)打要5小時(shí)完成，乙單獨(dú)打要4小時(shí)完成，甲乙合打若干小時(shí)后，甲因事離開(kāi)，余下的乙用3小時(shí)打完。問(wèn)打完這份稿件甲乙各打了幾小時(shí)？
甲打的時(shí)間實(shí)際上就是兩人合打的時(shí)間，乙打的時(shí)間則是比兩人合打的時(shí)間多3小時(shí)。
上面錯(cuò)解在計(jì)算甲、乙兩人合打的時(shí)間時(shí)，把工作總量仍舊取作1，實(shí)際上這時(shí)的工作總量應(yīng)除去乙單獨(dú)完成的剩余工作量，由于兩人合作的工作總量找錯(cuò)，則由此計(jì)算的合打時(shí)間必然錯(cuò)。
例 5 一個(gè)水池裝有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)出水管，單獨(dú)開(kāi)甲管8分鐘可將空池注滿，單獨(dú)開(kāi)乙管要10分鐘注滿，單獨(dú)開(kāi)出水管5分鐘可把一池水放完。如果三管同時(shí)開(kāi)放，多少時(shí)間可把空池注滿？
例 6 一輛載客汽車從甲城到乙城需要8小時(shí)，一輛裝貨汽車從乙城到甲城需7小時(shí)�？蛙噺募壮�、貨車從乙城同時(shí)相向而行，行了6小時(shí)，兩車相遇后又相距170千米。求甲乙兩城的距離。
[分析]
這是一道行程問(wèn)題，解答過(guò)程既運(yùn)用了有關(guān)工程問(wèn)題的知識(shí)，又需要用到較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的有關(guān)知識(shí)。由題目的條件可知，甲城、乙城之間的
例 7 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管。要灌滿一池水，單開(kāi)甲管需要3小時(shí)，單開(kāi)丙管需要5小時(shí)，要排完一池水，單開(kāi)乙管需要4小時(shí)，單開(kāi)丁管需6小時(shí)，現(xiàn)在池內(nèi)
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