我們在初二已經(jīng)學習過勾股定理。在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理。這是由于，他們認為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有“”這一性質(zhì)并且最先給出嚴格證明的是古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前 580～前 500年）。
實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經(jīng)認識到這一定理的某些特例。除我國在公元前 1000多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外，據(jù)說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數(shù)學史家的懷疑。比如說，美國的數(shù)學史家M?克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結(jié)，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實�！辈贿^，考古學家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長度為 30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”這是一個三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊泥板上面刻著一個奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個勾股數(shù)表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共記載著15組勾股數(shù)。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。
無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國人誰最先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，我們的先人在不同的時期、不同的地點發(fā)現(xiàn)的這同一性質(zhì)，顯然不僅僅是哪一個民族的私有財產(chǎn)而是我們?nèi)祟惖墓餐敻�。值得一提的是：在發(fā)現(xiàn)這一共同性質(zhì)后的收獲卻是不完全相同的。下面以“畢達哥拉斯定理”和“勾股定理”為例，做一簡單介紹：
一、畢達哥拉期定理
畢達哥拉斯是一個古希臘人的名宇。生于公元前6世紀的畢達哥拉斯，早年曾游歷埃及、巴比倫（另一種說法是到過印度）等地，后來移居意大利半島南部的克羅托內(nèi)，并在那里組織了一個集政治、宗教、數(shù)學于一體的秘密團體──畢達哥拉斯學派，這個學派非常重視數(shù)學，企圖用數(shù)來解釋一切。他們宣稱，數(shù)是宇宙萬物的本原，研究數(shù)學的目的并不在于實用，而是為了探索自然的奧秘。他們對數(shù)學看法的一個重大貢獻是有意識地承認并強調(diào)；數(shù)學上的東西如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實際事物或?qū)嶋H形象是截然不同的。有些原始文明社會中的人（如埃及人和巴比倫人）也知道把數(shù)脫離實物來思考，但他們對這種思考的抽象性質(zhì)所達到的自覺認識程度，與畢達哥拉斯學派相比，是有相當差距的。而且在希臘人之前，幾何思想是離不開實物的。例如，埃及人認為，直線就是拉緊的繩或田地的一條邊；而矩形則是田地的邊界。這個學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯(lián)系起來。
正因為如此，畢達哥拉斯學派在他們的探索中，發(fā)現(xiàn)了既屬于算術又屬于幾何的用三個整數(shù)表示直角三角形邊長的公式：若2n+1,分別是兩直角邊，則斜邊是 （不過這法則并不能把所有的整勾股數(shù)組表示出來）。也正是由于上述原因，這個學派通過對整勾股數(shù)的尋找和研究，發(fā)現(xiàn)了所謂的“不可通約量”──例如，等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比即正方形對角線與其一邊之比不能用整數(shù)之比表達。為此，他們把那些能用整數(shù)之比表達的比稱做“可公度比”，意即相比兩量可用公共度量單位量盡，而把不能這樣表達的比稱做“不可公度比”。像我們今日寫成：l的比便是不可公度比。至于與1不能公度的證明也是畢達哥拉斯學派給出的。這個證明指出：若設等腰直角三角形斜邊能與一直角邊公度，那么，同一個數(shù)將既是奇數(shù)又是偶數(shù)。證明過程如下：設等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比為α：β，并設這個比已表達成最小整數(shù)之比。根據(jù)畢達哥拉斯定理，有。由于為偶數(shù)即為偶數(shù)，所以α必然也是偶數(shù)，因為任一奇數(shù)的平方必是奇數(shù)（任一奇數(shù)可表示為 2n+1，于是，這仍是一個奇數(shù)。但是α：β是既約的，因此，β必然不是偶數(shù)而是奇數(shù)，α既然是偶數(shù)，故可設α=2γ。于是。因此，，這里，是個偶數(shù)，于是β也是偶數(shù)，但是β同時又是個奇數(shù)，這就產(chǎn)生了矛盾。 關于對畢達哥拉斯定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的《幾何原本》第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個正方形之和”。其證明是用面積來進行的。
如下圖，可證
圖1
△ABD ≌△FBC，
矩形 BL=2△ABD，
正方形 GB= 2△凸FBC。
于是 矩形 BL=正方形GB。
同樣有 矩形CL=正方形AK。
所以 正方形GB+正方形AK=正方形BE。
畢達哥拉斯學派對勾股定理的研究及其收獲由此可見一般 高中歷史。實際上，畢達哥拉斯學派關心得更多的是數(shù)學問題本身的研究；以畢達哥拉斯學派為代表的古希臘數(shù)學是以空間形式為主要研究對象，以邏輯上的演繹推理為主要的理論形式。而畢達哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)（關于可公度比與不可公度比的研究、討論），實際上導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，盡管畢達哥拉斯學派不愿意接受這樣的數(shù)，并因此造成了數(shù)學史上所謂的第一次數(shù)學危機，但是畢達哥拉斯學派的探索仍然是功不可沒的。
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