一. 教學內容：平面解析幾何部分：圓的方程

二. 教學目的

1、掌握圓的標準方程與一般方程

2、掌握直線與圓、圓與圓的位置關系

3、掌握圓的切線、弦及相關問題

三. 教學重點、難點

1、重點：

（1）圓的標準方程與一般方程；（2）直線與圓的位置關系；（3）兩個圓的位置關系；（4）有關切線與弦的結論．

2、難點：

（1）因為圓的特殊性，在解決有關直線與圓的問題時，經(jīng)常運用由圓的幾何性質所產生的式子，如弦長、切線等，一般不列出它們的方程組去分析、討論。在判斷直線與圓的位置關系時，充分利用點到直線的距離公式 ）是圓心坐標），然后再利用①代數(shù)法：設斜率為k的直線與圓相交于 和 兩點，則

。

②幾何法：設直線AB，若圓的半徑為l的距離為 ，則

。

（3）在解決有關圓的軌跡及綜合問題時，要注意合理運用圓的幾何性質。

四. 分析

【知識梳理】

1、圓心為A（a，b），半徑長為r的圓的標準方程為 ）與圓 時，則點P（ 時，則點P（ 時，則點P（ 時，方程 叫做圓的一般方程．

4、直線與圓的位置關系有三種：相割、相切、相離。

5、直線 （r＞0）的位置關系的判斷有：

（1）幾何方法：

圓心（a，b）到直線

d＜r 直線與圓相交；

d＝r 直線與圓相切；

d＞r 直線與圓相離。

（2）代數(shù)方法：

由 消元，得到的一元二次方程的判別式為△，則

△＞0 直線與圓相交；

△＝0 直線與圓相切；

△＜0 直線與圓相離。

6、圓與圓的位置關系有外離、外切、相交、內切、內含。

7、根據(jù)圓的方程，判斷兩圓位置關系的方法有：

（1）幾何方法：

兩圓

有兩組不同的實數(shù)解 兩圓相交；

有兩組相同的實數(shù)解 兩圓相切；

無實數(shù)解 兩圓相離或內含。

【要點解析】

1、圓作為一種較特殊的曲線，它的方程來源于它軌跡的定義，這種根據(jù)曲線定義確定曲線方程的方法叫做軌跡法．

2、用二元二次方程表示的曲線也叫做“二次曲線”或“圓錐曲線”．圓是其中的特例，教材，只討論不含“xy”項的二次曲線．同時，在用方程表示曲線時，一定要注意其限制條件．

3、在討論含有字母參變量的圓方程的問題時，始終要把“方程表示圓的條件”作為首要條件，也可以理解為“定義域優(yōu)先原則”的拓展．

4、在討論直線與圓的位置關系時，要養(yǎng)成作圖的習慣，即在解讀完題意之后，通過圖形（象）語言將其中的關系再展示出來，在觀察和分析時，既可用平面幾何知識，又可用代數(shù)方法解析，使解決問題的思路更寬．

5、求兩圓公共弦所在的直線方程的方法

求兩圓的公共弦所在的直線方程，只需把兩個圓的方程相減即可．而在求兩圓的公共弦長時，則應注意數(shù)形結合思想方法的靈活運用．

6、解決直線與圓、圓與圓的位置關系問題時，要注意分類討論、等價轉化及數(shù)形結合等思想和方法的熟練運用．

【典型例題

命題角度1 求圓的方程

例1. 一個圓與y軸相切，圓心在直線 上截得的弦長為解法1：∵所求圓的圓心在直線 上截得的弦長為 的距離為 ，

∴有

故所求圓的方程為

或解法2：依題設所求圓的方程為

解方程組

可得

∵圓在直線 ，

即 解得

故所求圓的方程為

點評：確定一個圓需三個獨立條件，題中顯然給了三個條件：（1）圓與y軸相切；（2）圓心在直線 上；（3）在直線 ，但是依題圓與y軸左邊或在y軸右邊，圓心在直線 上，表明圓心的橫縱坐標同號。

命題角度2 與圓有關的軌跡問題

例2. 如圖所示，已知P（4，0）是圓 內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB＝90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程。

有

因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動。設Q（x，y），R（

代入方程

整理得 ，即點Q的軌跡方程為例3. 已知實數(shù)x、y滿足方程 的最大值和最小值；

（3）求 的最大值和最小值。

，即 與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時 ，即 與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時 ，即 的最大值為 。

（3）<0" > 表示圓上點與原點距離的平方，由平面幾何知識知它在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值。又圓心到原點的距離為2，

故

的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；②形如<4" > 的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；③形如 的最值問題，可轉化為兩點間的距離平方的最值問題等。

命題角度4 利用圓的方程解決實際問題

例4. 有一種大型商品，A、 B兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：A地每公里的運費是B地每公里運費的3倍。已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低。求P地居民選擇A地或B地購貨總費用相等時，點P所在曲線的形狀，并指出曲線上、曲線內、曲線外的居民應如何選擇購物地點？

化簡整理，得 為圓心、 為半徑的圓上時，居民到A地或B地購貨總費用相等。

（2）當P點在上述圓內時，

故此時到A地購物合算。

（3）當P點在上述圓外時，同理可知，此時到B地購物合算。

點評：在解決有關的實際問題時，關鍵要明確題意，掌握建立數(shù)學模型的基本方法．數(shù)學實際應用題，在多年來的中得到了重視，除了在選擇題、填空題中出現(xiàn)外，近幾年都有解答題出現(xiàn)，應引起重視，平時多練習，以提高解決實際問題的．

命題角度5 直線與圓的位置關系

例5. 已知圓解：用配方法將圓的一般方程配成標準方程，求出圓心坐標，消去m就得關于圓心的坐標間的關系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離d與圓半徑的大小即可；證明弦長相等時，可用幾何法計算弦長。

（1）配方得： 消去m得

則圓心到直線

因為圓的半徑為 ，即 時，直線與圓相交；

當 時，直線與圓相切；

當 時，直線與圓相離。

（3）對于任一條平行于l且與圓相交的直線 的距離 ，弦長 且r和d均為常量。

∴任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等。

點評：判斷直線與圓的位置關系可以看成它們構成的方程組有無實數(shù)解，也可以根據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關系進行判斷．

求圓的弦長有多種方法：一是直接求出直線與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式得出；二是不求交點坐標，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，即設直線的斜率為y后所得方程兩根為 ；三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形來求．對于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷．本題所用方法就是第三種方法．

命題角度6 直線與圓相交問題

例6. 已知圓設P、Q兩點的坐標分別為 ，則由 ，可得 ，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求解。

即 ①

的實數(shù)解，即 的兩個根 ②

∵P、Q在直線 上，

將③④代入①，解得 成立，∴解法2：已知圓 ，過點C作 的垂線為由∵OP⊥OQ，在Rt△POQ中，斜邊PQ上的中線

，有

。

代入圓的方程有

故可得∴由 ，得 ，解得

為所求。

點評：此題解法一中將 轉化為 為直徑兩端點的圓過某定點 ，均有例7. 自點A（－3，3）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓解析：已知圓 ，如圖所示。

可設光線l所在直線方程為

解得 或

∴光線l所在直線的方程為

例8. 試求與圓 相切于點Q（3， ）的圓的方程。

相切于點Q（3， ），則CQ垂直于直線

即有

圓C的半徑

由于圓C與已知圓

對該式討論：

①當 時，可得

∴圓的方程為

以上兩方程為所求圓的方程。

【模擬

1、過圓 外一點P（4，2）作圓的兩條切線，切點為A、B，則△ABP的外接圓方程為（ ）

A.

D. 相切，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）

A. B.

C. 與y軸交于A、B兩點，圓心為P，若∠APB＝90°，則C的值為（ ）

A. 8 B. 高中化學 3 C. D. －3

4、若過定點M（－1，0）且斜率為k的直線與圓 D. 的切線方程中有一個是（ ）

A. C. D.

6、過點（1， 與圓 P為△ABC的內切圓上的動點，則點P到頂點A，B，C的距離平方和的最大值與最小值分別為_________，___________。

9、曲線C：

（1）求證：對 ，直線l與圓C總有兩個不同的交點；

（2）設l與圓C交于A、B兩點，若 ，求l的傾斜角；

（3）求弦AB中點M的軌跡方程；

（4）若定點P（1，1）分弦AB為 ，求此時直線l的方程。

【試題答案】

1、D 2、C 3、D 4、A 5、C

6、

10、

11、（1）k = 1時，方程為x = 1，表示過點（1，0）且平行于y軸的直線。

k≠1時，方程為 為半徑的圓。

（2） （3） 或

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