希爾伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世紀(jì)上半葉德國(guó)乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他在橫跨兩個(gè)世紀(jì)的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進(jìn)了整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)。希爾伯特是哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的核心，他以其勤奮的工作和真誠(chéng)的個(gè)人品質(zhì)吸引了來自世界各地的年青學(xué)者，使哥廷根的傳統(tǒng)在世界產(chǎn)生影響。希爾伯特去世時(shí)，德國(guó)《自然》雜志發(fā)表過這樣的觀點(diǎn)：現(xiàn)在世界上難得有一位數(shù)學(xué)家的工作不是以某種途徑導(dǎo)源于希爾伯特的工作。他像是數(shù)學(xué)世界的亞歷山大，在整個(gè)數(shù)學(xué)版圖上，留下了他那顯赫的名字。

　　1900年，希爾伯特在巴黎數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)最重要的問題供二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯�，這就是著名的"希爾伯特23個(gè)問題"。

　　1975年，在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)召開的一次國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上，數(shù)學(xué)家們回顧了四分之三個(gè)世紀(jì)以來希爾伯特23個(gè)問題的研究進(jìn)展情況。當(dāng)時(shí)統(tǒng)計(jì)，約有一半問題已經(jīng)解決了，其余一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。

　　1976年，在美國(guó)數(shù)學(xué)家評(píng)選的自1940年以來美國(guó)數(shù)學(xué)的十大成就中，有三項(xiàng)就是希爾伯特第1、第5、第10問題的解決。由此可見，能解決希爾伯特問題，是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的無上光榮。

　　下面摘錄的是1987年出版的《數(shù)學(xué)家小辭典》以及其它一些文獻(xiàn)中收集的希爾伯特23個(gè)問題及其解決情況：

　　1． 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 1874年，康托猜測(cè)在可列集基數(shù)和實(shí)數(shù)基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科亨證明連續(xù)假設(shè)和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨(dú)立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個(gè)意義上已獲解決。

　　2． 算術(shù)公理的相容性 歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發(fā)表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國(guó)數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性。

　　1988年出版的《中國(guó)大百科全書》數(shù)學(xué)卷指出，數(shù)學(xué)相容性問題尚未解決。

　　3． 兩個(gè)等底等高四面體的體積相等問題

　　問題的意思是，存在兩個(gè)等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對(duì)此問題給出了肯定解答。

　　4． 兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題 此問題提得過于一般。滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對(duì)稱距離情況下，問題獲得解決。

　　《中國(guó)大百科全書》說，在希爾伯特之后，在構(gòu)造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進(jìn)展，但問題并未解決。

　　5.一個(gè)連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個(gè)群的函數(shù)不假定是可微的 這個(gè)問題簡(jiǎn)稱連續(xù)群的解析性，即：是否每一個(gè)局部歐氏群都有一定是李群？中間經(jīng)馮·諾伊曼（1933，對(duì)緊群情形）、邦德里雅金（1939，對(duì)交換群情形）、謝瓦莢（1941，對(duì)可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結(jié)果。

　　6.物理學(xué)的公理化 希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學(xué)。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化。后來在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得了很大成功。但是物理學(xué)是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。

　　7.某些數(shù)的無理性與超越性 1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨(dú)立地解決了問題的后半部分，即對(duì)于任意代數(shù)數(shù)α≠0 ，1，和任意代數(shù)無理數(shù)β證明了αβ 的超越性。

　　8.素?cái)?shù)問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素?cái)?shù)問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于陳景潤(rùn)（1966），但離最解決尚有距離。目前孿生素?cái)?shù)問題的最佳結(jié)果也屬于陳景潤(rùn)。

　　9．在任意數(shù)域中證明最一般的互反律 該問題已由日本數(shù)學(xué)家高木貞治（1921）和德國(guó)數(shù)學(xué)家E.阿廷（1927）解決。

　　10． 丟番圖方程的可解性 能求出一個(gè)整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。

　　11． 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個(gè)問題上獲得重要結(jié)果。

　　12． 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去 這一問題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很遠(yuǎn)。

　　13． 不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程 七次方程的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個(gè)函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來？蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問題尚未解決。

　　14． 證明某類完備函數(shù)系的有限性 這和代數(shù)不變量問題有關(guān)。1958年，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了反例。

　　15． 舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ) 一個(gè)典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)�，F(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)不密切聯(lián)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立。

　　16． 代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓?fù)鋯栴} 這個(gè)問題分為兩部分。前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部分要求討論的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對(duì)位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式.蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時(shí)極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過3，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的，已由中國(guó)數(shù)學(xué)家舉出反例（1979）。

　　17． 半正定形式的平方和表示 一個(gè)實(shí)系數(shù)n元多項(xiàng)式對(duì)一切數(shù)組(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對(duì)的。

　　18． 用全等多面體構(gòu)造空間 由德國(guó)數(shù)學(xué)家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。

　　19． 正則變分問題的解是否一定解析 對(duì)這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結(jié)果。

　　20． 一般邊值問題 這一問題進(jìn)展十分迅速，已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支。目前還在繼續(xù)研究。

　　21． 具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明 已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。

　　22． 由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化 它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P(guān).克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。

　　23． 變分法的進(jìn)一步發(fā)展出 這并不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問題，只是談了對(duì)變分法的一般看法。20世紀(jì)以來變分法有了很大的發(fā)展。

　　這23問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)大部分重要領(lǐng)域，推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

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