(1) 常規(guī)的線性規(guī)劃問題，即求在線性約束條件下的最值問題;
(2) 與函數(shù)、平面向量等知識結合的最值類問題;
(3) 求在非線性約束條件下的最值問題;
(4) 考查線性規(guī)劃問題在解決實際生活、生產(chǎn)實際中的應用.而其中的第(2)(3)(4)點往往是命題的創(chuàng)新點。
【例1】 設函數(shù)f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點?P(x,y)?，且0≤θ≤?π?。
(1) 若點P的坐標為12,32，求f(θ)的值;
(2) 若點P(x,y)為平面區(qū)域Ω：x+y≥1,x≤1,y≤1。 上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值。
分析 第(1)問只需要運用三角函數(shù)的定義即可;第(2)問中只要先畫出平面區(qū)域Ω，再根據(jù)抽畫出的平面區(qū)域確定角θ的取值范圍，進而轉(zhuǎn)化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數(shù)的最值。
解 (1) 由點P的坐標和三角函數(shù)的定義可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。
于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。
(2) 作出平面區(qū)域Ω (即三角形區(qū)域ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?.于是0≤θ≤?π?2,
又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，
且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，
故當θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3時，f(θ)取得最大值，且最大值等于2;
當θ+?π?6=?π?6，即θ=0時，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。
點評 本題中的最大的亮點在于以解答題的形式將線性規(guī)劃中的基礎內(nèi)容平面區(qū)域與三角函數(shù)的求值進行了的有機綜合，過去歷年高考對線性規(guī)劃考查中并不多見。
二、 基本不等式
基本不等式是不等式的重要內(nèi)容,也是歷年高考重點考查的知識之一。它的應用幾乎涉及數(shù)學的所有的章節(jié),高考命題的重點是大小判斷、求最值、求范圍等.大多為填空題，試題的難度不大，近幾年的高考試題中也出現(xiàn)了不少考查基本不等式的實際應用問題。
【例2】 心理學家研究某位學生的學習情況發(fā)現(xiàn)：若這位學生剛學完的知識存留量為1，則x 天后的存留量y?1=4x+4;若在t(t>0)天時進行第一次復習，則此時這似乎存留量比未復習情況下增加一倍(復習的時間忽略不計)，其后存留量y?2隨時間變化的曲線恰好為直線的一部分，其斜率為a(t+4)?2(?a
(1) 若a=-1,t=5，求“二次復習最佳時機點”;
(2) 若出現(xiàn)了“二次復習最佳時機點”，求a的取值范圍。
分析 關鍵是分析圖像和理解題目所表示的含義，建立函數(shù)關系，再用基本不等式求最值。
解 設第一次復習后的存留量與不復習的存留量之差為y，
由題意知，y?2=a(t+4)?2(?x-?t)+8t+4(?t>?4),
所以y=y?2-y?1=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4(t>4)。
當a=-1,t=5時，
y=-1(5+4)?2(x-5)+85+4-4x+4
=-(x+4)81-4x+4+?1≤?-2481+1=59，
當且僅當x=14 時取等號，所以“二次復習最佳時機點”為第14天.
(2) y=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4?=--a(x+4)(t+4)?2-?4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)?2?≤-2-4a(t+4)?2+?8-at+4，當且僅當-a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2-a(t+4)-4 時取等號，
由題意2-a(t+4)-4>t，所以-4
點評 基本不等式在每年的高考中幾乎是從不缺席的，關鍵是要注意運用基本不等式的條件：一正、二定、三相等。
三、 不等式的求解
【例3】 對于問題：“已知關于x的不等式ax?2+bx+c>0的解集為(-1,2)，解關于x的不等式ax?2-bx+c>0”，給出如下一種解法：
參考上述解法，若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為-1,-13∪12,1，則關于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的解集為? ? 。
分析 觀察發(fā)現(xiàn)ax?2+?bx+?c>0將x換成?-x得??a(-x)?2+?b(-x)+c>0，則解集也相應變化，-x∈(-1,2)，則?x∈?(-2,1)，不等式kx+a+x+bx+c<0將x換成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+1<0，故1x∈-1,-13∪12,1，分析可得答案。
解 由ax?2+bx+c>0的解集為(-1,2)，得a(-x)?2+b(-x)+c>0的解集為(?-2?,1)，即關于x的不等式ax?2-bx+c>0的解集為(-2,1)。
若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為-1,?-13?∪12,1
則關于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的可看成kx+a+x+bx+c<0中的x用1x代入可得，則有1x∈?-1?,-13∪12,1從而解得x∈(-3,?-1?)∪(1,2),故答案為(-3,-1)∪(1,2)。
點評 本題考查了類比推理，一元二次不等式以及分式不等式的求解，通過已知條件發(fā)現(xiàn)規(guī)律，屬于探究類創(chuàng)新題。
綜上所述，不等式之所以成為高考中經(jīng)久不息考試熱點，而且創(chuàng)意不斷常考常新.除了不等式的知識本身在中學數(shù)學中具有豐富的內(nèi)涵和突出的地位外，與它和高等數(shù)學、現(xiàn)實生活有著緊密的關系也是重要的原因之一.在高考命題中，追尋不等式與其他重點知識的新穎巧妙的組合以及與高等數(shù)學的相互聯(lián)系，挖掘不等式在現(xiàn)實生活和科學研究中的廣泛應用，把對數(shù)學思想方法和數(shù)學應用意識以及在全新的情景中對學生數(shù)學素養(yǎng)等的考查賦于不等式的考查之中，往往是高考對不等式考查的一個創(chuàng)新點。
牛刀小試
1。若a>0,b>0，且函數(shù)f(x)=4x?3-ax?2-2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于.??
2. 關于x的不等式x?2-(a+1)x+a<0的所有整數(shù)解之和為27，則實數(shù)a的取值范圍是.
【參考答案】
1。f′(x)=12x?2-2ax-2b，∵f(x)在?x=?1處有極值，
∴f′(1)=0，即12-2a-?2b=?0，化簡得?a+?b=6，
∵a>0,b>0，∴ab≤a+b2?2=9，當且僅當?a=??b=?3時，ab有最大值，最大值為9。
2. 由x?2-(a+1)x+a<0得(x-1)(x-a)<0，由題意可知a≤1不可能，否則不能滿足不等式x?2-(a+1)x+a<0的所有整數(shù)解之和為27，所以a>1，由(x-1)(x-a)<0解得?1
沖刺：跳出單選陷阱題
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