三、解答題

11.(2012上海理改編)如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是四棱錐的高，是的中點(diǎn)，已知，，，求：

⑴四棱錐的體積；

⑵異面直線與所成的角的大小.

考查目的：考查異面直線所成角的概念及其求法.

答案：⑴，⑵.

解析：⑴根據(jù)題意四棱錐的體積.⑵取PB的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥BC，∴∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角.連結(jié)AC.在直角△AEF中，，∴.在△AEF中，，，AE=2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=，∴異面直線BC與AE所成的角大小為.

 

 

12.(2011湖南文)如圖，在圓錐PO中，已知，⊙O的直徑AB=2，點(diǎn)C在上，且，D為AC的中點(diǎn).

⑴證明：AC平面POD；

⑵求直線OC和平面PAC所成角的正弦值.

考查目的：考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成角的計算，以及空間想象能力.

答案：⑴略，⑵.

解析：⑴∵OA=OC，D是AC的中點(diǎn)，∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O，底面⊙O，∴AC⊥OD.PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，∴AC⊥平面POD.

⑵由⑴知，AC⊥平面POD.又∵，∴平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，過O作OH⊥PD于點(diǎn)H，則OH⊥平面PAC.連結(jié)CH，則CH是OC在平面PAC上的射影，∴∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角.在中，；在中，.

 

 

13.(2010陜西文)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn).

    ⑴證明：EF∥平面PAD；

    ⑵求三棱錐E—ABC的體積V.

考查目的：考查直線與平面平行的判定，以及三棱錐的體積計算.

答案：⑴略；⑵.

解析：⑴在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.又∵BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.

⑵連接AE，AC，EC，過E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G，則BG⊥平面ABCD，且.在△PAB中，AD=AB，，BP=2，∴，.∴，∴.

 

14.(2010四川理)已知正方體的棱長為1，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn).

⑴求證：OM為異面直線和的公垂線；

⑵求二面角的正切值.

考查目的：考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體等基礎(chǔ)知識，空間想象能力和邏輯推理能力.

答案：⑴略；⑵.

解析：⑴連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)K，則K為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OK.∵M(jìn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴.

由⊥AK，得MO⊥.∵AK⊥BD，AK⊥，∴AK⊥平面，∴AK⊥，∴MO⊥.又∵OM與異面直線和都相交，

∴OM為異面直線和的公垂線.

⑵取中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN⊥平面.過點(diǎn)N作NH⊥于H，連結(jié)MH，則由三垂線定理得⊥MH，從而，∠MHN為二面角的平面角.MN=1，.在Rt△MNH中，，

∴二面角的正切值大小為.

 

15.(2012湖南理)如圖，在四棱錐中，⊥平面，，，，，是的中點(diǎn).

⑴證明：CD⊥平面PAE；

⑵若直線與平面成的角和與平面所成的角相等，求四棱錐的體積.

考查目的：考查直線與平面垂直的判定，直線和平面所成角的運(yùn)用，體積計算以及綜合運(yùn)用立體幾何知識解決問題的能力.

答案：⑴略；⑵.

解析：⑴連接，由，，，得.又∵，Ｅ是的中點(diǎn)，∴.∵，∴.而是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴⊥平面.

⑵過點(diǎn)作，分別與相交于，連接.由⑴⊥平面知，⊥平面，∴為直線與平面所成的角，且.由知，為直線與平面所成的角.，，.由題意知，.∵，∴.由知，AD∥BC. 又∵BG∥CD，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴.在中，，∴，于是.又∵梯形的面積為，∴四棱錐的體積為.

 

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