不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數(shù)量關系，是數(shù)學研究的重要內容。建立不等觀念，處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的。根據(jù)課程標準，在本章中，學生將通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認識基本不等式及其簡單應用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。
一、內容與課程學習目標
本章主要學習描述不等關系的數(shù)學方法，一元二次不等式的解法及其應用，線性規(guī)劃問題，基本不等式及其應用等，通過學習，要使學生達到以下目標：
1．通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關系、了解不等式（組）的實際背景。
2．經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖。
3．從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。
4．探索基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡單最大(小)值問題。
二、內容安排
本章共有4個小節(jié)，教學時間約需16課時，具體安排如下(僅供參考)：
3．1不等關系與不等式 約2課時
3．2一元二次不等式及其解法 約3課時
3．3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 約5課時
3．4基本不等式： 約3課時
小結與復習 約3課時
本章知識結構如下：
1．依據(jù)課程標準中提出的“通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關系、了解不等式（組）的實際背景”的精神，教科書首先從學生熟知的平面幾何基礎知識和日常生活中經(jīng)常用到的“長與短、”大與小、多與少、遠與近等的比較及比較的結果入手，描述客觀事物在數(shù)量關系上存在的不等關系。列不等式需要依據(jù)實際問題中存在的不等關系建立不等式。教科書通過用不等式(組)表示汽車的車速，產(chǎn)品質量檢驗中相關含量指標等例子，使學生感受到不等關系是通過不等式來表示的，理解不等式(組)對于刻劃不等關系的意義和價值。進而，通過具有實際應用價值的問題，讓學生在他們感興趣的數(shù)學問題情境中，學習如何列不等式和不等式組。
為了研究不等關系，教科書類比等式的性質給出了不等式的基本性質，并給出了不等式的基本性質（3）的證明。
3．1節(jié)例1的證明過程中先后利用了不等式的基本性質（3）（4），目的是引導學生體會不等式的基本性質在證明中所起的作用。
2．對于一元二次不等式及其解法，教科書仍然結合實際問題展開，從學生感興趣的上網(wǎng)收費問題說起，通過對兩種收費標準下的收費情況的比較，抽象出不等關系，并引出了一元二次不等式的概念。為了得到問題的答案，引出了解不等式及不等式的解集，并重點討論了列不等式和解不等式的問題。
教科書通過觀察具體的二次函數(shù)圖象及與其相應的一元二次方程根的關系，推廣出了一般的一元二次不等式解集的求法，并用框圖的形式歸納了求解一元二次不等式的過程。
在學生學習了一元二次不等式及其解法的基礎上，為了解決生活中會遇到的各種不同的不等關系，本章再次結合實際例子引出了另一種不等關系的模型──二元一次不等式（組）和簡單的線性規(guī)劃問題。
3．會用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，能畫出給定的不等式（組）表示的平面區(qū)域，是學習簡單線性規(guī)劃問題圖解法的重要基礎。教科書在第3.3節(jié)探求二元一次不等式所表示的平面區(qū)域時，先后以思考和探究的方式提出問題，從研究具體的不等式的解集所表示的平面區(qū)域入手，討論直線的一側點的坐標與不等式的關系，由此推廣到一般的二元一次不等式（或）表示的平面區(qū)域，并得到了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的交集的結論。3.3節(jié)的重點是二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，比較困難的是把實際問題轉化成線性規(guī)劃問題，解決這一困難的關鍵是根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解，問題的解決體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要數(shù)學思想。
4．對于基本不等式，教科書結合北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，聯(lián)系我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，用數(shù)學史實恰時恰點的對學生進行愛國主義教育，緊緊抓住弦圖中相關面積間存在的數(shù)量關系，得到了不等式，還用分析法以填空的形式給出了證明，并通過兩個實際問題的例題，說明了不等式的實際應用，感受數(shù)學的應用價值。
三、編寫中考慮的幾個問題
1．加強與實際問題的聯(lián)系
本章一開始的章頭圖是一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，給學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著，由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關系的愿望。
不等關系是從日常生活中經(jīng)常用到的長與短、大與小、多與少、遠與近等的比較及比較的結果引入的；不等式及不等式組的建立是在對實際問題1、2、3逐一分析的基礎上列出的。
教科書通過學生感興趣的上網(wǎng)問題及大家關注的計時收費問題引入一元二次不等式的有關概念，通過讓學生比較兩種不同的收費方式，從中認識到學習不等關系及不等式的必要性。從銀行貸款中的資金分配問題中引入二元一次不等式組的數(shù)學模型，從現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常遇到的資源利用、人力調配、生產(chǎn)安排等問題中引入二元線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃是數(shù)學規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，它能解決科學研究、工程設計、經(jīng)濟管理等許多方面的實際問題。通過這部分內容的學習，使學生進一步了解數(shù)學在解決實際問題中的應用，以培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣、應用數(shù)學的意識和解決實際問題的能力。
對于不等式，教科書結合北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，聯(lián)系我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，緊緊抓住弦圖中相關面積間存在的數(shù)量關系來加以引入。
教科書對本章各節(jié)中引入的實際問題，在學習了一元二次不等式的解集，二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，及用基本不等式： 求最大（�。┲档葍热莸幕A上，都一一給出了解答，使學生認識到，數(shù)學問題源于生活且用于生活，學好數(shù)學目的在于應用。
2．注重讓學生體驗數(shù)學知識的形成過程
一元二次不等式解集的求法對學生而言并不會感到困難，但理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的關系，則要經(jīng)歷觀察、思考、探究的過程。教科書遵循人們認識事物的一般規(guī)律，從具體的二次函數(shù)與一元二次方程的關系出發(fā)，利用二次函數(shù)圖象的直觀性，借助方程的根是二次函數(shù)的兩個零點，引導學生觀察二次函數(shù)圖象上任意一點P(x,y)在圖象上移動，隨著點P的橫坐標x變化，點P的縱坐標y的變化情況，在獲得感性認識的前提下，歸納出一元二次不等式解集的求法，進而由特殊推廣到一般。
同樣，對于二元一次不等式組表示的平面區(qū)域問題，教科書引導學生進行探究探究討論直線的一側點的坐標與不等式的關系。在此基礎上理解二元一次不等式組表示的平面區(qū)域問題。
教科書中“錯在哪兒”欄目，提出的問題具有思考性又具有挑戰(zhàn)性。對于同一道習題得到不同的答案的類似的問題情境學生常常經(jīng)歷，也常常給學生帶來困惑，引導學生辨析糾錯，有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性和反思意識。
另外，本章教材先后兩處在正文中以填空的形式呈現(xiàn)教材內容。一處是用框圖表示求解一元二次不等式的過程，框圖留有空格由學生填充，另一處是用分析法證明基本不等式。這樣編寫的目的在于要實實在在的體現(xiàn)變教學活動為學生的思維活動，留給學生思維的空間。
3．重視數(shù)學思想方法的運用
本章教材重視利用函數(shù)圖象及坐標系中坐標、平面區(qū)域的直觀，為學生創(chuàng)設觀察、比較、歸納、探究的問題情境，將數(shù)形結合的數(shù)學思想貫穿于全章，這是幫助學生學好本章的一個關鍵。例如，在求一元二次不等式解集的過程中，教科書在畫出二次函數(shù)圖象，借助圖象的直觀，通過觀察圖象上任意一點P(x,y)橫、縱坐標變化情況得到一元二次不等式解集，在這一過程中，學生既發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集間的聯(lián)系，又對一元二次不等式的解集有了直觀的理解。又如，對于簡單的線性規(guī)劃問題，教科書借助直觀的平面區(qū)域的幾何背景，幫助學生理解二元一次不等式組的解集這樣比較抽象的概念。對于線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，教科書借助直線的截距概念，使原本較為復雜的線性規(guī)劃問題變得易于理解和易于操作。
對教學的幾個建議
1．準確把握教學要求
總體上說，本章內容從以往比較關注不等式的解法轉變到了強調不等式是刻畫和描述現(xiàn)實世界中事物不等關系的一種工具，是描述刻畫優(yōu)化問題的一種數(shù)學模型。淡化了解不等式的技巧性要求，突出了不等式的實際背景及其應用。
對于一元二次不等式，教學中要把學生“經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程”的要求放在首位，同時要強調“通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系”，充分注重數(shù)形結合，而對一元二次不等式的求解不要過分展開，只要達到最基本要求即可，值得關注的是算法思想的融入，設計求解一元二次不等式的程序框圖是以往教科書中沒有的。教學中要充分重視與算法的結合問題，因為這不但是使算法找到了用武之地，而且對學生認識不等式的結構也有很大幫助。
教科書將最簡單的線性不等式組——二元一次不等式組作為不等式部分的重要內容，并將其作為刻畫區(qū)域的工具，為解決簡單的線性規(guī)劃問題做鋪墊。同樣的，教學中要強調從實際情境中抽象出二元一次不等式組模型，而不是像以往那樣從純數(shù)學角度提出問題。對不等式組，要強調其幾何意義，使學生能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組。這種從點與數(shù)對的對應，線與方程的對應，到平面區(qū)域與不等式組的對應的過渡和提升，能使學生進一步體會到數(shù)形結合思想的實質及其重要性，也是體現(xiàn)數(shù)形結合的好素材。
線性規(guī)劃是數(shù)學應用的一個最重要內容之一，其問題本身以及解決問題的方法促進了許多數(shù)學多分支的發(fā)展，其蘊涵的優(yōu)化思想方法是數(shù)學中的基本思想方法。教學中應當強調借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，引導學生體會線性規(guī)劃的基本思想，要避免引入過多名詞。
線性規(guī)劃的豐富案例體現(xiàn)了數(shù)學的應用正在不斷地滲透到社會生活的方方面面。數(shù)學思想蘊涵于案例之中，教學中要充分關注案例的作用。除了教科書中的例子外，教學中可舉一反三，引導學生自己搜集一些實際問題，使學生通過一定的訓練，掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法。教學中還應引導學生從社會生產(chǎn)、生活實際中提取可以歸結為二元線性規(guī)劃的問題并加以解決。
均值不等式 ( )的教學，要強調讓學生探索并了解基本不等式的證明過程，在此基礎上，用基本不等式解決簡單的最大（小）的值問題。這里要突出求解不等式模型的基本方法，防止陷入“煩瑣的計算、人為技巧化的難題”，不要“過分強調細枝末節(jié)的內容”。
2．加強與現(xiàn)實及相關內容的聯(lián)系性
教學中要加強“不等關系是客觀事物的基本數(shù)量關系”的認識，把不等關系及不等式的教學建立在實際問題的背景之上。教學中可以引導學生進一步挖掘一些感興趣的和富有時代感的素材，通過分析其中的基本數(shù)量關系，以加深學生對用不等式刻畫現(xiàn)實世界中的不等關系的認識。
在不等式的教學中，要注意不等式與等式的類比，通過類比，使學生認識不等式及其性質與等式及其性質之間的相同點與不同點。另外，還要注意加強與函數(shù)、方程的聯(lián)系，積極滲透算法思想。
不等式、一元二次不等式、二元一次不等式組都是解決實際問題的重要數(shù)學模型，教學中應強調它們在解決實際問題中的工具作用，滲透建立數(shù)學模型的思想。
3．重視信息技術的使用
在本章中，信息技術的介入，可以為求解不等式的過程提供形象、快捷的技術支持，可以顯現(xiàn)那些有豐富內涵的不等式的幾何背景，為傳統(tǒng)教學中抽象思維的培養(yǎng)注入形象思維的活力。特別是在二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題的教學中，計算器及計算機可以為研究二元一次不等式組的解集表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃問題提供試驗探索平臺，學生可以利用技術，按照各自的想法在實際操作中體驗數(shù)學活動，在觀察坐標的連續(xù)變化的具體情境中，分析引起數(shù)量關系產(chǎn)生變化的原因，發(fā)現(xiàn)各數(shù)學對象之間的邏輯關聯(lián)，從動手實踐、觀察猜想中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣對學生數(shù)學思維的完整性、連續(xù)性是很有益的。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaozhong/185673.html
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