一. 教學(xué)內(nèi)容：平面向量與解析幾何的綜合
二. 教學(xué)重、難點(diǎn)：
1. 重點(diǎn)：
平面向量的基本，圓錐曲線的基本。
2. 難點(diǎn)：
平面向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系和知識綜合，向量作為解決問題的一種工具的應(yīng)用意識。
【典型例題
[例1] 如圖，已知梯形ABCD中， ，點(diǎn)E分有向線段 所成的比為< > ，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，求雙曲線的離心率.
解：如圖，以AB的垂直平分線為 軸，直線AB為 軸，建立直角坐標(biāo)系 軸，因為雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D且以AB為焦點(diǎn)，由對稱性知C、D關(guān)于 軸對稱
設(shè)A（ ）B（ 為梯形的高
∴
設(shè)雙曲線為 則
由（1）： （3）
將（3）代入（2）：∴ ∴
[例2] 如圖，已知梯形ABCD中， ，點(diǎn)E滿足 時，求離心率 的取值范圍。
解：以AB的垂直平分線為 軸，直線AB為 軸，建立直角坐標(biāo)系 軸。
因為雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性，知C、D關(guān)于 軸對稱。
依題意，記A（ ）、E（ 是梯形的高。
由
得
設(shè)雙曲線的方程為 ，則離心率由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和由（1）式，得 高中化學(xué) （3）
將（3）式代入（2）式，整理，得故 ，得解得所以，雙曲線的離心率的取值范圍為
[例3] 在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（ ）為 的直角頂點(diǎn)，已知 ，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零，（1）求 關(guān)于直線OB對稱的圓的方程。（3）是否存在實(shí)數(shù) ，使拋物線 的取值范圍。
解：
（1）設(shè) ，則由 ，即 ，得 或
因為
所以 ，故
（2）由 ，得B（10，5），于是直線OB方程：由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：得圓心（
設(shè)圓心（ ）則 得 ，
故所求圓的方程為（3）設(shè)P（ ）為拋物線上關(guān)于直線OB對稱的兩點(diǎn)，則
得
即 、于是由故當(dāng) 時，拋物線（3）二：設(shè)P（ ），PQ的中點(diǎn)M（∴ （1）－（2）： 代入∴ 直線PQ的方程為
∴ ∴
[例4] 已知常數(shù) ， 經(jīng)過原點(diǎn)O以 為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（ 方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中 ，試問：是否存在兩個定點(diǎn)E、F使 為定值，若存在，求出E、F的坐標(biāo)，不存在，說明理由。（2003天津）
解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值。
∵ ∴
因此，直線OP和AB的方程分別為 和消去參數(shù) ，得點(diǎn)P（ ，整理，得
① 因為（1）當(dāng)（2）當(dāng) 時，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)E 和F 為合乎題意的兩個定點(diǎn)；
（3）當(dāng) 時，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)E 和F（ ）為合乎題意的兩個定點(diǎn)。
[例5] 給定拋物線C： 夾角的大小，（2）設(shè) 求 在 軸上截距的變化范圍
解：
（1）C的焦點(diǎn)F（1，0），直線 的斜率為1，所以 的方程為 代入方程 ）、B（則有
所以 與
（2）設(shè)A（ ）由題設(shè)
即 ，由（2）得 ，
∴
依題意有 ）或B（又F（1，0），得直線 方程為
當(dāng) 或由 ，可知∴
直線 在 軸上截距的變化范圍為
[例6] 拋物線C的方程為 ）（ 的兩條直線分別交拋物線C于A（ ）兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）且滿足 （（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程
（2）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足 ，證明線段PM的中點(diǎn)在 軸上
（3）當(dāng) ），求解：（1）由拋物線C的方程 ），準(zhǔn)線方程為
（2）證明：設(shè)直線PA的方程為
點(diǎn)P（ ）的坐標(biāo)是方程組 的解
將（2）式代入（1）式得
于是 ，故 （3）
又點(diǎn)P（ ）的坐標(biāo)是方程組 的解
將（5）式代入（4）式得 ，故
由已知得， ，則設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ），由 。則
將（3）式和（6）式代入上式得
即（3）解：因為點(diǎn)P（ ，拋物線方程為由（3）式知 ，代入
將 得因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為
于是， ，
因即 或
又點(diǎn)A的縱坐標(biāo) 滿足當(dāng) ；當(dāng) 時，所以，
[例7] 已知橢圓 和點(diǎn)M（ 的取值范圍；如要你認(rèn)為不能，請加以證明。
解： 不可能為鈍角，證明如下：如圖所示，設(shè)A（ ），直線 的方程為
由 得 ，又 ， ，若 為鈍角，則
即 ，即
即
即∴
∴
【模擬】（答題時間：60分鐘）
1. 已知橢圓 ，定點(diǎn)A（0，3），過點(diǎn)A的直線自上而下依次交橢圓于M、N兩個不同點(diǎn)，且 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
2. 設(shè)拋物線 軸，證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。
3. 如圖，設(shè)點(diǎn)A、B為拋物線 ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。
4. 平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（ ）若C滿足 ，其中 ，求點(diǎn)C的軌跡方程。
5. 橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為 ，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（ ）的準(zhǔn)線 與 軸相交于點(diǎn)A， ，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè) ，過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線 的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明 ；
（3）若 ，求直線PQ的方程。
【試題答案】
1. 解：因為 ，且A、M、N三點(diǎn)共線，所以 ，且 ，得N點(diǎn)坐標(biāo)為
因為N點(diǎn)在橢圓上，所以即所以
由
解得2. 證明：設(shè)A（ ）、B（ ）（ ），則C點(diǎn)坐標(biāo)為（ 、
因為A、F、B三點(diǎn)共線，所以 ，即
化簡得
由 ，得
所以
即A、O、C三點(diǎn)共線，直線AC經(jīng)過原點(diǎn)
3. 解：設(shè) 、 、則 、
， ，
∵ ∴
即又
即 （2） ∵ A、M、B三點(diǎn)共線
∴
即
化簡得 ③
將①②兩式代入③式，化簡整理，得
∵ A、B是異于原點(diǎn)的點(diǎn) ∴ 故點(diǎn)M的軌跡方程是 （ ）為圓心，以4. 方法一：設(shè)C（
由 ，且 ，
∴ 又 ∵ ∴
∴ 方法二：∵ ，∴ 點(diǎn)C在直線AB上 ∴ C點(diǎn)軌跡為直線AB
∵ A（3，1）B（ ） ∴ 5. 解：（1） ；（2）A（3，0），
由已知得 注意解得 ，因F（2，0），M（ ）故
而
（3）設(shè)PQ方程為 ，由
得依題意 ∵
∴ ①及 ③
由①②③④得 ，從而所以直線PQ方程為
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