指數(shù)函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)。應(yīng)用到值e上的這個函數(shù)寫為exp(x)。還可以等價的寫為ex，這里的e是數(shù)學(xué)常數(shù)，就是自然對數(shù)的底數(shù)，近似等于 2.718281828，還稱為歐拉數(shù)。在高中數(shù)學(xué)中占有一定位置。那么指數(shù)函數(shù)有什么性質(zhì)?如何證明指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性?

指數(shù)函數(shù)有什么性質(zhì)?

指數(shù)函數(shù)一般具有以下性質(zhì)：

(1) 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實(shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮， 同時a等于0函數(shù)無意義一般也不考慮。

(2) 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實(shí)數(shù)集合。

(3) 函數(shù)圖形都是下凹的。

(4) a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

(5) 可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

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(6) 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。

(7) 函數(shù)總是通過(0，1)這點(diǎn),(若Y=Ax+B,則函數(shù)定過點(diǎn)(0,1+b) (8) 顯然指數(shù)函數(shù)無界。

(9) 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

(10)當(dāng)兩個指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關(guān)于y軸對稱，但這兩個函數(shù)都不具有奇偶性。

如何證明指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性?

弄懂以下幾點(diǎn)就可以很輕松的證明直屬函數(shù)的單調(diào)性了：

(1) 指數(shù)函數(shù)的定義域為R，這里的前提是a大于0且不等于1。對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不連續(xù)，因此我們不予考慮，同時a等于0函數(shù)無意義一般也不考慮。

(2) 指數(shù)函數(shù)的值域為(0， +∞)。

(3) 函數(shù)圖形都是上凹的。

(4) a>1時，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;若<a<1，則為單調(diào)遞減的。< p="">

(5)Y=Ax+B,則函數(shù)定過點(diǎn)(0,1+b))(8) 指數(shù)函數(shù)無界。(9)指數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)(10)指數(shù)函數(shù)具有反函數(shù)，其反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，它是一個多值函數(shù)。

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